熊佩英

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一類Filippov平面系統(tǒng)的閉軌

熊佩英

(湖南城市學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系, 湖南 益陽,413049)

利用微分包含理論和點(diǎn)變換的方法, 對一類Filippov平面系統(tǒng)的滑模解和閉軌的存在性進(jìn)行了研究, 同時給出了閉軌存在的必要條件.

平面系統(tǒng)；閉軌；微分包含

我們考慮以下平面系統(tǒng)

盡管它結(jié)構(gòu)簡單卻應(yīng)用廣泛, 按我們的知識水平來看, 系統(tǒng)(1)的動力學(xué)性質(zhì)還沒有得到完整的研究. 雖然對它的研究已有許多進(jìn)展, 但存在的結(jié)果主要集中在存在性、唯一性、穩(wěn)定性以及解的漸近性, 很少有關(guān)于周期解的結(jié)果[1-2, 4]. 對系統(tǒng)(1)的研究最早由 Andronov, Vitt 和 Khaikin在20世紀(jì)30年代完成. 在文獻(xiàn)[5]中, 作者考慮了具一條不連續(xù)相交線的平面系統(tǒng). 本文將考慮具兩條不連續(xù)相交線的平面系統(tǒng)：

然后去掉*可得:

則系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)換成等價系統(tǒng):

利用微分包含理論, 我們得到以下兩個引理.

對于初值問題(5), 我們運(yùn)用文獻(xiàn)[4,p77]中的定理1可得引理2.

自我持續(xù)振動出現(xiàn)在許多生物、物理和工程系統(tǒng)中, 在平面系統(tǒng)中出現(xiàn)的自我持續(xù)振動是周期振動. 我們將研究系統(tǒng)(4)的周期振動的存在性.

通過計算, 我們得到無滑模運(yùn)動的閉軌存在的重要結(jié)果.

由式(6)得:

因此, 定理1中a成立.

注：由引理1和引理3可知, 系統(tǒng)(4)沒有具滑模運(yùn)動的閉軌.

[1] Bacciotti A, Ceragioli F. Stability and stabilization of discontinuous systems and nonsmooth Lyapunov func- tions[J]. Esaim-Cocv, 1999, 4(2): 361-376.

[2] Forti M, Nistri P. Global convergence of neural networks with discontinuous neuron activations[J], IEEE Trans. Cir- cuits Syst I, 2003, 50: 1421-1435.

[3] Andronov A A, Vitt A A, Khaikin S E. Theory of oscillators[M]. Oxford: Pergamon, 1966: 151, 157, 443- 446, 501.

[4] Filippov A F. Differential equations with discontinuous righthand sides[A]. Mathematics and its Applications (Soviet Series)[C]. Boston, MA: Kluwer Acadmic, 1988.

[5] Giannakopoulos F, Pliete K. Planar systems of piece-wise linear differential equations with a line of discon- tinuity[J]. Nonlinearity, 2001, 14(6): 1611-1632.

Closed trajectory in a class of planar Filippov systems

XIONG Pei-ying

(Department of Mathematics and Computer Science, Hunan City University, Yiyang 413049, China)

Using the theory of differentialinclusions and the method of point transformation, existence of sliding motionsolutions and closed trajectory in a class of planar Filippov systems are investigated. Synchronously, the necessary conditions was given for the existence of closed trajectory.

planar system; closed trajectory; differential inclusion

O 175.12

A

1672-6146(2010)03-0007-02

10.3969/j.issn.1672-6146.2010.03.004

2010-07-06

國家自然科學(xué)基金資助(10771055)；湖南省教育廳資助(09B019)

熊佩英(1964-), 女, 副教授, 碩士, 主要研究方向為微分方程理論及應(yīng)用.