C2區(qū)域上薛定諤方程解的二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)

韓 斌,陶祥興

(1.寧波大學(xué) 理學(xué)院,浙江 寧波315211;2.浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州310023)

1 引 言

一般地,常常假設(shè)A(x)=(aij(x))是實(shí)的對(duì)稱矩陣,滿足一致橢圓條件:

其中常數(shù)λ＞1,并且對(duì)任意的 x,y∈Ω,存在正常數(shù)l,使得

在本文,主要考慮薛定諤方程的Dirichlet問(wèn)題

其中γ是在Ω邊界上的跡算子。筆者將在文中的定理給出:若對(duì)n/(n+1)＜p≤1,f是Hapt(Ω)上的一個(gè)分布,則在W10,2(Ω)中Dirichlet問(wèn)題(1)存在唯一的弱解,而且解的二階導(dǎo)數(shù)2u∈ Lp(Ω)。

國(guó)內(nèi)外的科學(xué)家們?cè)谶^(guò)去的幾十年對(duì)這類問(wèn)題作了一系列的討論。1964年,Kadlec在文獻(xiàn)[1]中指出,如果 Ω是有界凸區(qū)域且 f∈L2(Ω),則Possion方程-Δu=f的Dirichlet問(wèn)題解u的二階導(dǎo)數(shù)2u∈L2(Ω)。后來(lái)在1993年,Adolfsson[2]把Kadlec的結(jié)論推廣到對(duì)任意的 f∈Lp(Ω),2u ∈ Lp(Ω),其中1＜p≤2。在本文中,筆者不僅要把這些結(jié)論應(yīng)用到所討論的更為一般的薛定諤方程,還要考慮當(dāng)0＜p≤1,f在Hardy空間 Hpat(Ω)時(shí)解的可積性。在區(qū)域 Ω上 Hardy空間,Hp(Ω)定義如下:

其中S(Ω)是區(qū)域Ω上的許瓦茲函數(shù)類,所定義的Hardy空間是在全空間上的,那么對(duì)于區(qū)域上的Hardy空間怎么定義呢?這里將要用到原子分解技術(shù)。

定義1.1[3]假設(shè)0＜p≤1,a(x)是一個(gè)有界可測(cè)函數(shù)。如果下列的條件一和條件二成立,稱a(x)是p-原子;如果條件一和條件三成立,稱a(x)是局部p-原子;如果條件一和條件四成立,稱a(x)是(p,Ω)-原子。

條件三:方體Q的邊長(zhǎng),l(Q)≥1,或當(dāng)l(Q)＜1時(shí)條件二成立;條件四:Q ?Ω且diam(Q)≤dist(Q,?Ω)≤4diam(Q)。

具體到本文中,只考慮Hp(Ω)=(Ω)的情形,因?yàn)閷?duì)任意的f∈(Ω),文獻(xiàn)[3]的作者證明了如果Ω是有界連通的Lipschitz區(qū)域或是Lipschitz上方圖,f存在如下的原子分解:

其中{ak(x)}是一列p-原子,它們的支集Qk包含在Ω中,可以注意到這里定義的(Ω)就是文獻(xiàn)[3]中所定義的(Ω)。因?yàn)閷?duì)任意的C2區(qū)域是Lipschitz區(qū)域,文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論在本文中也成立。

應(yīng)用Lax-Milgram定理,對(duì)任意f∈L2(Ω),Dirichlet問(wèn)題(1)有唯一的可解性(見(jiàn)第二部分定理2.5),因此對(duì)任意的原子a(x),Dirichlet問(wèn)題(1)唯一可解。由于涉及方程的弱解,有必要定義(Ω)對(duì)偶空間,它就是以α(p)=n(1-p)/p為指標(biāo)的H?lder連續(xù)函數(shù)空間Cα(p)(Ω),其中n/n+1＜p ＜1。現(xiàn)在能下定義了,對(duì)任意的試驗(yàn)函數(shù) ψ(x)∈ Cα(p)(Ω)∩(Ω),如果 u ∈ W1,20(Ω)∩ W1,p(Ω)滿足

就說(shuō)在Hp意義下u是Dirichlet問(wèn)題(1)的解。

本文的主要結(jié)論是:

定理1.2 Rn中的開(kāi)區(qū)域Ω是C2區(qū)域,位勢(shì)V(x)∈Bn。若 f∈Hpat(Ω)且對(duì)任意的n/(n+1)＜p＜1,m(V,x)f∈(Ω),m(V,x)將在第二部分定義。則Dirichlet問(wèn)題(1)存在唯一解u∈(Ω)∩W1,p(Ω)。而且估計(jì)式

其中常數(shù)C不依賴f。

筆者將在第二部分給出算子L的Green函數(shù)的一些性質(zhì),第三部分證明Dirichlet問(wèn)題(1)的L2估計(jì),并且給出主要結(jié)論的證明。在沒(méi)有特別聲明的情況下,常數(shù)C并不是固定的,它只是表示非無(wú)窮大的數(shù),其所依賴的主要是n,l及B n條件下的常數(shù)Cn。

2 重要的引理和Green函數(shù)的估計(jì)

在此,筆者將會(huì)指出當(dāng)f∈L2(Ω)時(shí),帶奇異位勢(shì)的薛定諤方程Lu=f在C2區(qū)域上存在解屬于(Ω),然后給出對(duì)于薛定諤算子的Green函數(shù)的估計(jì)。為此,需要利用關(guān)于位勢(shì)V輔助函數(shù)的一些性質(zhì)。對(duì)q ≥n/2,假設(shè)V ∈ Bq,用

來(lái)定義輔助函數(shù)m(V,x)。顯而易見(jiàn),0＜m(V,x)＜∞。例如,假設(shè)V(x)=|P(x)|且P(x)是個(gè)k次多項(xiàng)式 ,則

注2.6 回顧以上的討論,可以注意到如果f 1=0,則定理2.5的結(jié)論對(duì)任意的無(wú)界區(qū)域Ω仍然成立。

對(duì)于Dirichlet問(wèn)題,由雙層位勢(shì)理論[9]可知,薛定諤方程Lu=0存在G(x,y)。因?yàn)?V ≥0,所以

其中常數(shù)C＞0及x,y∈Ω。而且利用文獻(xiàn)[6]中的引理2.7或文獻(xiàn)[8]中的引理1.21,能夠得到下面關(guān)于Green函數(shù)的估計(jì),這里略去了證明。

引理2.7 假設(shè)k是非負(fù)的整數(shù),則對(duì)任意的x,y∈Ω有

其中Ck＞0。

推論2.8 假設(shè)k是非負(fù)的整數(shù),則對(duì)任意的x,y∈Ω有

其中Ck＞0。

證明 利用引理2.7的估計(jì),類似于文獻(xiàn)[10]中定理3.2和定理3.3的方法直接推出推論中的估計(jì)。

為了得到Green函數(shù)G(x,y)一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì),需要如下的引理:

其中最后一個(gè)不等式中利用了引理2.1。至此就完成了引理的證明。

推論2.11 k為非負(fù)的整數(shù)。對(duì)任意x,y∈ Ω,則

其中Ck＞0。

3 解的二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)

在此,主要致力于在C2區(qū)域Ω上討論薛定諤方程的可解性,即定理1.2的證明。在偏微分方程中,解弱的或經(jīng)典的可微性常常可通過(guò)差分算子來(lái)導(dǎo)出。

定義3.1 假設(shè)u(x)是區(qū)域Ω上的可測(cè)函數(shù)記

現(xiàn)在,這部分剩下的就是關(guān)于u(x)的一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)。對(duì)任意的C2區(qū)域,通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換和旋轉(zhuǎn),不失一般性,假設(shè) Ω是局部的C2上方圖,即

其中 φ是一個(gè)瓗n-1上的C2函數(shù),滿足 φ(0)=0。令 Φ:Ω→Ω-是邊界?Ω上的關(guān)于xn軸的反射,定義為:Φ(x′,xn)=(x′,2φ(x′)-xn)。定義A(x)=aij(x)是一n維的實(shí)值對(duì)稱矩陣函數(shù),當(dāng) x∈ Ω時(shí),A(x)=Aij(x);當(dāng) x ∈ Ω-時(shí) ,A(x)=B(x),其中 B(x)=(Φ′(x))TA(x)(Φ′(x))。至于在 Ω上的函數(shù)u,當(dāng) x∈ Ω-,定義u-(x)=(u? Φ-1)(x),并且對(duì)任意的x∈ Ω,u=u(x);對(duì)任意的x∈ Ω-u=-u-(x)。記算子L=-div(B(x)?)+V(x),其中V(x)和下面要用到的f(x)的定義同u的定義類似。由文獻(xiàn)[12]不難看到,L仍然是具有有界可測(cè)系數(shù)的散度型自伴一致橢圓算子。而且對(duì)x∈瓗n,L u(x)=f(x)。則利用第二部分的結(jié)論可知

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