基于VaR約束的均值-絕對(duì)偏差投資組合優(yōu)化模型及實(shí)證研究

武敏婷，孫 瀅，高岳林

（北方民族大學(xué) 信息與系統(tǒng)科學(xué)研究所，銀川 750021）

近年來,隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展,把智能優(yōu)化方法應(yīng)用于投資組合問題已成為更廣闊的研究領(lǐng)域。劉俠,初紅霞等用粒子群算法解決證券投資組合問題。本文引入約束機(jī)制,提出帶有約束的多目標(biāo)決策模型,并用帶有罰函數(shù)處理機(jī)制的粒子群算法求解證券組合模型最優(yōu)解問題。

1 基于VaR約束的均值-絕對(duì)偏差(VaR-MAD)證券組合優(yōu)化模型

設(shè)證券市場(chǎng)有n種證券,第i種證券的收益率為ri,證券組合的收益率為r=(r1,r2,…，rn)T,證券公司投資于每種證券的金額是任意的,又設(shè)在每種收益率水平上的投資者足夠多,證券公司投放于每種證券的權(quán)重為證券組合的權(quán)重向量為x=(x1,x2,…，xn)T,記第i種證券與第j種證券的協(xié)方差為σij,證券組合的標(biāo)準(zhǔn)差和回報(bào)率分別為σp和rp,E(rp)表示證券組合的期望收益率。

定義1:

稱為VaR約束,其中,c為常數(shù)。

式(1)表示證券組合收益率rp超過-VaR的概率不低于c,就證券組合而言,當(dāng)n充分大時(shí),由中心極限定理可認(rèn)為其組合收益率近似地服從正態(tài)分布。因此,為討論方便，設(shè)證券組合的收益率服從正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，在正態(tài)分布下，證券公司風(fēng)險(xiǎn)承受能力的VaR約束可以轉(zhuǎn)化為Φ-1(c)σp-VaR≤r0，其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，r0為給定的一個(gè)常數(shù)。

定義2:

稱為絕對(duì)偏差，其中T為歷史數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

投資者往往在追求高收益的同時(shí)要求承受最低的風(fēng)險(xiǎn)，因此構(gòu)成了該決策的多目標(biāo)問題。在投資者追求低風(fēng)險(xiǎn)和高收益的前提下，可以得到證券組合投資的多目標(biāo)規(guī)劃模型如下:

因此，基于VaR約束的多目標(biāo)均值-絕對(duì)偏差模型為:

式中，r=(r1,r2,…，rn)T為證券組合中n種證券的期望收益率，x=(x1,x2,…，xn)T為投資權(quán)重，B=(σij)n×n是 n 種證券的協(xié)方差矩陣。

為求解方便，我們把多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，形式如下:

其中，λ，r0均為常數(shù)。λ可以反映投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，λ越大，投資者越重視收益，屬于激進(jìn)派;反之，投資者越重視風(fēng)險(xiǎn)，屬于保守派。

2 模型的求解

2.1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法是從鳥類飛行得到啟發(fā)而提出的優(yōu)化算法，它將每個(gè)優(yōu)化問題的解看作搜索空間中的一只鳥，在搜索空間中以一定的速度飛行，這個(gè)速度根據(jù)它本身的飛行經(jīng)驗(yàn)和同伴的飛行經(jīng)驗(yàn)來動(dòng)態(tài)調(diào)整，第i個(gè)粒子在n維空間里的位置表示為矢量 X=(x1，x2，…，xn)，飛行速度表示為矢量V=(v1，v2，…，vn)。每個(gè)粒子都有一個(gè)適應(yīng)值，自己到目前為止發(fā)現(xiàn)的最好位置(psb)，現(xiàn)在的位置Xip以及到目前為止整個(gè)群體的最好位置pgb。

PSO也是基于迭代的優(yōu)化工具。對(duì)于第k次迭代，每個(gè)粒子是按照下列公式進(jìn)行變化：

rand()是[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，c1和 c2被稱作學(xué)習(xí)因子，ω是慣性權(quán)重加權(quán)系數(shù)，如果ω較大，則算法的全局搜索能力較強(qiáng)；反之，局部搜索能力較強(qiáng)。

本文通過采用群體適應(yīng)度方差和平均粒距判斷算法[9]是否出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，如果算法陷入局部收斂，則通過對(duì)適應(yīng)值較差的部分粒子進(jìn)行變異，從而跳出局部最優(yōu)解進(jìn)行全局搜索。

2.2 模型的求解

對(duì)于多目標(biāo)問題來說,本中用加權(quán)法將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo),結(jié)合罰函數(shù)處理機(jī)制又將其轉(zhuǎn)化為無約束問題,利用自適應(yīng)粒子群算法進(jìn)行求解,運(yùn)用混合罰函數(shù)的自適應(yīng)粒子群算法,具體的混合算法流程如下:

Step1:隨機(jī)初始化粒子群:群體規(guī)模為n,包括粒子的隨機(jī)位置與速度，并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使它滿足約束條件

Step2:將粒子的psb設(shè)置為當(dāng)前位置，pgb設(shè)置為初始種群中最佳粒子的位置；

Step3:計(jì)算粒子的適應(yīng)值:適應(yīng)度模型(4)的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算,其中Q為一充分大的正數(shù)，

用式(7)來評(píng)價(jià)每個(gè)粒子的適應(yīng)度并進(jìn)行排序,判斷算法收斂準(zhǔn)則是否滿足,如果滿足,轉(zhuǎn)向Step9;否則,執(zhí)行Step4;

Step4:對(duì)于粒子群中的所有粒子,執(zhí)行如下操作:

(1)根據(jù)式(5)、(6)更新粒子的位置與速度；

(2)如果粒子適應(yīng)度優(yōu)于psb的適應(yīng)度,psb設(shè)置為新位置；

表1 六種證券在八年的年收益率數(shù)據(jù)

表2 當(dāng)固定λ變化時(shí)VaR-MAD模型的證券投資比重

表3 當(dāng)固定λ變化時(shí)VaR-MAD模型的六種指標(biāo)

表4 當(dāng)固定r0變化時(shí)VaR-MAD模型證券投資比重

表5 當(dāng)固定r0變化時(shí)VaR-MAD模型的六種指標(biāo)

表6 當(dāng)λ=0.6時(shí)MAD模型和VaR-MAD模型的投資比重

表7 當(dāng) λ=0.6時(shí)MAD模型和VaR-MAD模型的不同指標(biāo)

(3)如果粒子適應(yīng)度優(yōu)于pgb的適應(yīng)度,pgb設(shè)置為新位置；

Step5:計(jì)算群體適應(yīng)度方差和平均粒距，并計(jì)算f(pgb)；

Step8:判斷算法收斂準(zhǔn)則是否滿足，如果滿足,執(zhí)行Step9,否則,轉(zhuǎn)向 Step4；

Step9:輸出pgb,算法運(yùn)行結(jié)束。

3 實(shí)證分析

本文借鑒文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù),如表1所示。假設(shè)給定的VaR=5%，c=95%，即Φ-1(c)=1.65，即該證券公司的風(fēng)險(xiǎn)承受能力為:在置信度為95%的情況下，最大損失不低于5%。

設(shè)六種不同證券的投資權(quán)重x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)T，我們將上面的數(shù)據(jù)帶入到本文中的模型(5)中進(jìn)行求解，在MATLAB中用智能優(yōu)化算法-自適應(yīng)粒子群算法來實(shí)現(xiàn),取學(xué)習(xí)因子c1=2,c2=2組合權(quán)重因子為μ=0.5，最大和最小慣性權(quán)重分別為ωend=0.9，ωini=0.4種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)Tmax=100。懲罰因子Q=1000,我們分情況討論，當(dāng) r0為一定值 0.2時(shí)，取λ=0、0.1,0.4,0.6,0.8;1當(dāng)λ為一定值0.6時(shí)，取r0=0.2,0.4,0.6,0.8,十種情況分別運(yùn)行20次,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析,運(yùn)行結(jié)果如表2-表5。當(dāng)λ取0.6時(shí),又用粒子群算法求解MAD模型,運(yùn)行結(jié)果與VaR-MAD模型比較(表6和表7)。

我們從表2～5四個(gè)表可以看出:當(dāng)VaR約束閾值r0為一定值時(shí)，(1)隨著λ的增大，證券1、3和4的比重增大，而其余三種證券的比重減小;(2)λ反映投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好程度，隨著其值的增大，收益增大，風(fēng)險(xiǎn)增大，而收益的波動(dòng)程度相對(duì)減小,風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)程度增大。當(dāng)λ為一定值時(shí)，(3)隨著VaR約束閾值的增大,證券1、2和5的比重增大,而其余三種證券的比重減小;(4)VaR約束對(duì)收益的影響不是很大,主要作用是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的控制,在收益一定的情況下，使得風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小。以上結(jié)論比較符合客觀實(shí)際。

由表6和表7，我們可以看出,本文中建立的VaR-MAD模型與MAD模型相比，前者使投資者在一定收益的水平下,風(fēng)險(xiǎn)得到了有效控制。

當(dāng)r0=0.20時(shí)，我們得到VaR-MAD模型的有效前沿（見圖 1）：

4 結(jié)束語

本文通過增加約束對(duì)證券組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制和優(yōu)化，該方法既能控制證券公司的潛在風(fēng)險(xiǎn)損失，又能兼顧證券公司的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，提高證券公司投資決策的科學(xué)性。在實(shí)際操作過程中，決策者可根據(jù)對(duì)客觀實(shí)際情況的把握,證券公司的資本充足情況以及有關(guān)證券公司投資證券的法律、法規(guī)等，采用定性和定量相結(jié)合的分析方法,對(duì)組合證券的收益、風(fēng)險(xiǎn)和投資權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化選擇，使決策更符合客觀現(xiàn)實(shí)。

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