何文周

(連云港市錦屏高級中學,江蘇連云港 222000)

1 問題提出

人教版新教材“力的合成”一節(jié)中,我們通過實驗得到分力與合力的運算遵循平行四邊形定則,緊接著課后的“問題與練習”第4題(人教版高中物理必修1第64頁)中辨析分力與合力的關系.大部分學生只能憑自己的感覺來判斷,卻難以讓自己心悅口服;少數(shù)學生試探著用平行四邊形定則作圖分析,或查閱相關資料,也仍然感覺是不得要領,疑惑重重.究其原因,原來此時高一學生的數(shù)學進度還沒學到高中數(shù)學必修4向量中有關的三角形定則內容,而用物理中平行四邊形定則又不能直觀簡明地處理問題.至此,很有必要從物理角度先探討三角形定則由來及應用,不僅直接明了化解課后疑難,而且讓學生從物理實例中感受到數(shù)學向量模型的構建,為數(shù)學的向量學習做好鋪墊,同時為力的分解、運動的合成與分解等矢量方面的分析打下基礎.

2 如何轉化為三角形定則?

圖1

將圖1(a)中平行四邊形的 F1平移到對邊處,如圖 1(b)所示,因為與 F1的大小和方向相同,所以其力的矢量性質不變,即將平行四邊形定則轉化為三角形定則.如果任意給出如圖2(a)的分力F1、F2的關系,如何來表示合力 F?我們可以直接利用三角形定則作出如圖2(b)的合力F.為了構建矢量三角形來探討分力與合力的關系,我們必須要理清矢量三角形中合力與分力的關系.在這矢量三角形中,分力與合力是什么樣關系呢?教學中我們可視表示力的有向線段的箭頭為“龍頭”,箭尾為“龍尾”,于是分力與合力的關系為“龍頭咬龍尾,撞龍頭”,即“龍頭咬龍尾”為兩分力,去“撞龍頭”的是合力.

圖2

3 課后習題的探討

題目.兩個力 F1和F2間的夾角為 θ,兩力的合力為F.以下說法是否正確?

(1)若 F1和 F2大小不變,θ角越小,合力 F越大.

(2)合力F總比分力F1和F2中的任何一個力都大.

(3)如果夾角θ不變,F1的大小不變,只要 F2增大,合力F就必然增大.

教師分析:當 F1和F2大小不變,θ角越小,則合力 F將處在一個動態(tài)的變化過程.我們可以先作出θ=180°到θ=0的幾種矢量三角形圖像(如圖3a)所示,不難看出隨著夾角 θ的變化,分力 F2的箭頭在以線段F2為半徑的圓上(如圖3b),則合力F為分力F1的箭尾到圓上點構成的有向線段.顯然,當兩個力 F1和 F2間的夾角 θ變小時(如圖3c),合力 F越大;其夾角 θ=180°時有最小值F小,夾角 θ=0時有最大值 F大.

圖3

學生討論:①運用三角形定則后,認識到原來物理中合力與分力的關系轉化為三角形邊邊關系,題目中的問(1),合力的大小為圓外一點到圓上的距離.②圖3(c)中合力F與分力F1和F2的大小關系,我們可以清楚的知道:合力可能比兩個分力都小,也可能比兩個分力都大,因此題目(2)的說法是錯誤的.③圖 3中分力F1大于分力 F2,如果 F1等于F2,則合力的大小轉化為圓上一固定點到圓上任意點的距離,而F1小于F2,則合力的大小是圓內一點到圓上任意點的距離關系.

圖4

學生進一步分析:①如圖4(a)所示可知,如果夾角θ小于等于 90°時且保持不變,且 F1的大小不變,當 F2增大,合力 F就必然增大.②而如圖4(b)所示可知,當夾角 θ大于90°時,且 F1的大小不變,當 F2增大,合力F為先減小后增大,圖中當合力 F與分力F2垂直時,有最小合力F小.③在運用矢量三角形探討問題時,不僅要注重作矢量圖進行動態(tài)分析,而且還要注意問題的多解性.綜上分析,題目(3)的說法是錯誤的.