鄭美茹，黑 棣，賈 良，呂延軍

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電系，陜西 渭南 714000；2.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性動(dòng)力系統(tǒng),僅用線性理論已不能解釋系統(tǒng)所表現(xiàn)出的某些動(dòng)力行為。由于線性穩(wěn)定性理論的局限性,以往僅研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平衡點(diǎn)解的穩(wěn)定性,而轉(zhuǎn)子總是具有影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的質(zhì)量偏心,而該影響在線性分析中無(wú)法考慮,因此必須運(yùn)用非線性分析方法研究其動(dòng)力學(xué)特性[1-3]。

實(shí)際的轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)嚴(yán)格地說(shuō)來(lái)都是柔性系統(tǒng)，因此，開(kāi)展柔性轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究具有重要的工程意義[4]。Newmark方法是一種常用的動(dòng)力分析數(shù)值計(jì)算方法。由于工程技術(shù)中振動(dòng)分析問(wèn)題的復(fù)雜性,數(shù)值分析方法成為動(dòng)力反應(yīng)分析的重要手段[5-6]。分析了Newmark法在計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)產(chǎn)生的影響計(jì)算精度和計(jì)算穩(wěn)定性的計(jì)算擾動(dòng)效應(yīng)，并將其改進(jìn)形成一種考慮了計(jì)算擾動(dòng)的求解周期響應(yīng)的局部迭代方法。運(yùn)用Runge-Kutta法對(duì)改進(jìn)的Newmark直接積分法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

1 柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

圖1所示為某流體動(dòng)壓滑動(dòng)軸承支承的對(duì)稱柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)力系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)為：

(1)

式中：M,C和K分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；f為軸承的非線性油膜力矢量；Q為施加在轉(zhuǎn)子上的周期激勵(lì)力(與轉(zhuǎn)速同步的不平衡激勵(lì)或汽動(dòng)力激勵(lì))矢量；X為轉(zhuǎn)子的位移矢量。分別表示為：

圖1 流體動(dòng)壓滑動(dòng)軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

2 改進(jìn)的Newmark直接積分法

在時(shí)刻t+Δt的響應(yīng)值應(yīng)滿足動(dòng)力平衡方程：

(2)

由常平均加速度假設(shè)可得:

(3)

(4)

式中：a6=Δt(1-γ);a7=γΔt,其中γ≥0.5;a≥0.25(0.5+γ)2。

(5)

(6)

0.25(0.5+γ)2。

將(5)和(6)式代入(2)式可得關(guān)于Xt+Δt的方程:

(7)

第i個(gè)Δt時(shí)間段的位移增量為：

(8)

(9)

第i個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的加速度增量為:

(10)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)約束條件和Δt時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的加速度增量，可得Δt時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的速度增量為:

(11)

由(8)式、(10)式和(11)式可以進(jìn)一步計(jì)算出ti+1=ti+Δt時(shí)刻系統(tǒng)的位移、速度和加速度:

Xi+1=Xi+ΔXi

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將(15)式改寫(xiě)為:

(17)

將(16)式代入(17)式可得:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

將(18)式和(19)式相加，可得:

(23)

式中：

(24)

(25)

(26)

3 數(shù)值算例及結(jié)果

圖軸承處的軸心軌跡

圖軸承處的準(zhǔn)周期軌跡

圖軸承處的Poincaré映射點(diǎn)列

圖 軸承處y方向的時(shí)間歷程

圖7 軸承處y方向的分岔圖

圖8 圓盤(pán)處y方向的分岔圖

4 結(jié)束語(yǔ)

基于Newmark直接積分法，分析了在計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)產(chǎn)生的、影響計(jì)算精度和計(jì)算穩(wěn)定性的計(jì)算擾動(dòng)效應(yīng)。提出了改進(jìn)的Newmark直接積分法，從而減少了計(jì)算結(jié)果誤差、超越現(xiàn)象和提高了計(jì)算穩(wěn)定性。雖然不可能完全消除Newmark法直接積分的計(jì)算誤差和完全保證其計(jì)算結(jié)果收斂，但能使計(jì)算位移、速度和加速度符合計(jì)算運(yùn)動(dòng)約束條件。應(yīng)用改進(jìn)的Newmark直接積分法得到的數(shù)值結(jié)果展現(xiàn)系統(tǒng)具有周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)等非線性現(xiàn)象。改進(jìn)的Newmark直接積分法具有理論和現(xiàn)實(shí)意義，在振動(dòng)分析中有很好的應(yīng)用價(jià)值。