平面P波在飽和半空間中凹陷地形周?chē)纳⑸湟?guī)律

巴振寧，梁建文，LEE V W

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 南加州大學(xué)土木工程系，洛杉磯 CA90089-2531)

凹陷地形作為最常見(jiàn)的局部場(chǎng)地之一，其對(duì)地震動(dòng)的顯著影響已在多次地震觀測(cè)和震害調(diào)查中得以證實(shí)．20世紀(jì) 70年代初，Trifunac[1]開(kāi)創(chuàng)性地給出了平面 SH波在半圓凹陷周?chē)⑸涠S問(wèn)題的精確解，并研究了波在凹陷周?chē)纳⑸湟?guī)律．隨后，國(guó)內(nèi)外多位學(xué)者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究．求解方法主要有解析法[1-2]和數(shù)值法[3-4]．解析法主要有波函數(shù)展開(kāi)法；數(shù)值法主要包括有限差分法、有限元法、邊界元法、離散波數(shù)法、波源法和邊界法等．

然而，實(shí)際場(chǎng)地常常是飽和兩相介質(zhì)．基于 Biot飽和土中波的傳播理論[5]，Lin等[6]研究了入射平面P和SV波在飽和半空間表面的反射問(wèn)題．文獻(xiàn)[7]采用波函數(shù)展開(kāi)法給出了平面 P波在飽和半空間中凹陷地形周?chē)⑸涞慕馕鼋?，但?duì)波在凹陷周?chē)纳⑸湟?guī)律還有待進(jìn)一步分析．

另外，值得指出的是，文獻(xiàn)[6]在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，引入了臨界孔隙率的概念，模型更接近實(shí)際情況，也使得研究者有可能考察孔隙率接近臨界孔隙率狀態(tài)下飽和局部場(chǎng)地對(duì)波的散射規(guī)律．

文獻(xiàn)[8]采用波函數(shù)展開(kāi)法給出了平面 SV波在飽和半空間中凹陷地形周?chē)⑸涞慕馕鼋?，并?duì)波在凹陷周?chē)纳⑸湟?guī)律(包括孔隙率接近或等于臨界孔隙率狀態(tài)下波的散射規(guī)律)進(jìn)行了深入研究．本文則在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了平面 P波在飽和半空間中凹陷地形周?chē)纳⑸湟?guī)律．

1 模 型

圖1所示為飽和半空間中一圓弧形凹陷地形，圓心位于 o1，半徑 b，弧深 h．根據(jù)兩相飽和多孔介質(zhì)的Biot理論，一圓頻率為ω的平面 P1波以角度θα1入射，其波勢(shì)函數(shù)可以表示為

如果不存在凹陷地形，入射 P1波在飽和半空間自由表面將產(chǎn)生 1個(gè)反射 P1波、1個(gè)反射 P2波和 1個(gè)反射 SV 波．在極坐標(biāo)系 r1-θ1下，P1、P2和 SV 波的波勢(shì)函數(shù)可分別表示為Fourier-Bessel級(jí)數(shù)，即

圖1 飽和半空間中凹陷模型Fig.1 Model of canyon in saturated poroelastic half-space

由于凹陷地形的存在，在半空間中將會(huì)產(chǎn)生如下散射波，其Fourier-Bessel級(jí)數(shù)可分別表示為

式中mJ和分別為第一類(lèi) Bessel函數(shù)和 Hankel函數(shù)．由此，半空間中總的波勢(shì)函數(shù)可表示為

邊界條件為：透水時(shí)，

不透水時(shí)，

由兩相飽和多孔介質(zhì)中位移和應(yīng)力在平面應(yīng)變問(wèn)題中的極坐標(biāo)形式[8]引入邊界條件，就可以求出式(5)～(10)中的所有系數(shù)，然后求得凹陷地形和附近地表的位移以及孔隙水壓．

2 數(shù)值結(jié)果與散射規(guī)律分析

圖2 干土、透水、不透水情況地表位移幅值比較(η＝1.0, n＝0.3, ν＝0.25)Fig.2 Surface displacement of dry poroelastic，drained saturated poroelastic，and undrained saturated,poroelastic half-spaces(η＝1.0, n＝0.3, ν＝0.25)

圖3 干土、透水、不透水情況地表位移幅值比較(η＝3.0, n＝0.3, ν＝0.25)Fig.3 Surface displacement of dry poroelastic，drained saturated poroelastic，and undrained saturated poroelastic half-spaces(η＝3.0, n＝0.3, ν＝0.25)

定義無(wú)量綱頻率η =2a / λβ．式中：a為凹陷地形的半寬；λβ為半空間中剪切波的波長(zhǎng)．在下面的數(shù)值計(jì)算中，凹陷地形埋深h/a=0.5；取飽和半空間介質(zhì)特性[6]：臨界孔隙率 ncr＝0.36，土骨架臨界體積模量Kcr=200,MPa，土顆粒體積模量 Kg＝36,000,MPa，流體體積模量 Kf=2,000,MPa，土顆粒質(zhì)量密度ρg＝2,650,kg/m3，流體質(zhì)量密度ρf=1,000,kg/m3，孔隙率n＝0.1、0.3、0.34和 0.36，相應(yīng)土骨架體積模量Kdry=26,055,MPa、6,167,MPa、2,189,MPa 和 200,MPa，泊松比ν＝0.2、0.3和0.4．

圖2～圖 4分別給出了入射波 P1頻率η=1.0、3.0和 5.0三種情況下，半空間介質(zhì)孔隙率 n＝0.3、泊松比ν=0.25，入射角度θα1＝0°、30°、60°（因篇幅所限，未給出1αθ=85°的結(jié)果)，干土情況、透水情況和不透水情況對(duì)凹陷地形附近地表水平和豎向位移幅值的影響．圖中的地表位移幅值已由入射波的位移幅值正規(guī)化．可以看出，圖2(η =1.0)中對(duì)應(yīng)干土情況的地表位移幅值與文獻(xiàn)[2]單相彈性半空間結(jié)果相同．從圖 2～圖 4還可以看出，透水情況和不透水情況地表位移幅值比較接近，說(shuō)明邊界滲透條件對(duì)地表位移幅值的影響并不是很大．相反，飽和情況(透水或不透水)與干土情況的差別卻很大：當(dāng)波掠入射時(shí)，干土情況地表位移幅值遠(yuǎn)大于飽和情況地表位移幅值；飽和情況與干土情況的地表位移出現(xiàn)相位漂移，飽和情況地表位移波長(zhǎng)相對(duì)較大，這與SV波入射情況[8]相同，是由于波在凹陷地形附近的干涉造成的．對(duì)于掠入射情況，可以觀察到在波的入射端(x/a＜?1)出現(xiàn)駐波現(xiàn)象．

圖4 干土、透水、不透水情況地表位移幅值比較(η＝5.0, n＝0.3, ν＝0.25)Fig.4 Surface displacement of dry poroelastic，drained saturated poroelastic，and undrained saturated poroelastic half-spaces(η＝5.0, n＝0.3, ν＝0.25)

表1 自由場(chǎng)和凹陷地形分別引起的最大地表位移幅值比較(η＝3.0)Tab.1 Maximal normalized surface displacement amplitudes due to free field and canyon(η=3.0)

為了進(jìn)一步比較干土、透水情況和不透水情況下波在凹陷地形附近散射規(guī)律的差別，分別給出了η＝3.0和5.0兩種情況下自由場(chǎng)和凹陷地形分別引起的最大地表位移幅值比較，見(jiàn)表 1和表 2．可以看出，透水情況和不透水情況的自由場(chǎng)地表位移幅值比較接近，而飽和情況和干土情況的自由場(chǎng)地表位移幅值相差較大，尤其是在波入射角度較大情況(如θα1=85°)，這也是圖2～圖4中透水情況和不透水情況地表位移幅值比較接近、飽和情況(透水或不透水)與干土情況的差別比較大的主要原因．從表1、表2還可以看出，當(dāng)波垂直入射時(shí)(θα1=0°)，凹陷地形的存在會(huì)引起水平位移，且在最大地表水平位移幅值中，不透水情況最大，透水情況次之，干土情況最?。f(shuō)明不透水情況下波型轉(zhuǎn)換最顯著，透水情況次之，干土情況最少．隨著入射角度的增大(θα1=30°、60°和85°)，干土情況下凹陷地形引起的最大地表位移幅值大于飽和情況下引起的最大地表位移幅值．

圖5和圖6分別給出了透水和不透水情況下，半空間介質(zhì)泊松比ν=0.25，入射波 P1頻率η=1.0、3.0和5.0，入射角度θα1=45°，分別對(duì)應(yīng)孔隙率 n=0.1、0.3、0.34和 0.36(臨界狀態(tài))情況的凹陷地形附近地表水平和豎向位移幅值．可以看出，當(dāng)入射頻率較低時(shí)，隨著孔隙率的增大，水平位移幅值逐漸減小，豎向位移幅值則逐漸增大，這主要是由其自由場(chǎng)決定的；當(dāng)入射頻率較高時(shí)，凹陷地形引起的散射場(chǎng)起主導(dǎo)作用，隨著孔隙率的減小，地表位移幅值逐漸增大．當(dāng)孔隙率較低時(shí)，邊界滲透條件對(duì)地表位移幅值的影響很小，而當(dāng)孔隙率較大時(shí)，邊界滲透條件的影響則不可忽視：不透水情況下，水平和豎向地表位移幅值的峰值均相對(duì)較大；這與 SV 波入射情況[8]有著相同的結(jié)論．從圖中還可以看出，隨著入射頻率的升高，孔隙率的影響逐漸增大；不透水情況下孔隙率的影響相對(duì)較大．

表2 自由場(chǎng)和凹陷地形分別引起的最大地表位移幅值比較(η＝5.0)Tab.2 Maximal normalized surface displacement amplitudes due to free field and canyon(η=5.0)

圖5 孔隙率對(duì)地表位移幅值的影響(透水情況, θ α1 =45°,ν=0.25)Fig.5 Normalized surface displacement for different porosities(drained case, θ α1 =45°,ν=0.25)

圖6 孔隙率對(duì)地表位移幅值的影響(不透水情況, θ α1 =45°,ν=0.25)Fig.6 Normalized surface displacement for different porosities(undrained case, θ α1 =45°,ν=0.25)

圖7 和圖8分別給出了透水和不透水情況下，半空間介質(zhì)孔隙率 n=0.3，入射波 P1頻率分別為η=0.25、1.0、3.0 和 5.0，入射角度θα1=45°，分別對(duì)應(yīng)泊松比ν=0.2、0.3、0.4情況的凹陷地形附近地表水平和豎向位移幅值．可以看出，隨著泊松比的增大，水平位移幅值逐漸減小，豎向位移幅值則逐漸增大，這主要是由其自由場(chǎng)決定的．泊松比較小時(shí)，邊界滲透條件對(duì)位移幅值的影響較大；泊松比較大時(shí)，邊界滲透條件對(duì)位移幅值的影響較小，這與 SV波入射情況[8]有著相同的結(jié)論．從圖中還可以看出，隨著入射頻率的升高，泊松比的影響逐漸增大．

圖9～圖 11分別給出了半空間地表和凹陷地形表面孔隙水壓力(不透水情況)的分布情況．計(jì)算參數(shù)為：孔隙率 n=0.1、0.3和 0.36，半空間介質(zhì)泊松比ν=0.25，入射角度θα1=0°、30°、60°，入射波 P1頻率η=1.0、3.0和5.0．圖中的孔隙水壓幅值已由入射波的應(yīng)力幅值正規(guī)化．從圖中可以看出，當(dāng)孔隙率較小時(shí)，孔隙水壓幅值較小但空間變化比較劇烈；隨著孔隙率的增大，孔隙水壓逐漸增大但空間變化逐漸平緩．這是因?yàn)榭紫堵试酱?，土骨架越軟，則孔隙水承擔(dān)越多的能量，孔隙水壓自然也越大；同時(shí)孔隙率越大，孔隙水越多，孔隙壓力變化也就越平緩．當(dāng)孔隙率達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)，土骨架模量非常小，激勵(lì)能量主要由 P1波承擔(dān)[6]，孔隙水壓顯著增大，與 SV 波入射情況[8]差別很大(SV波入射時(shí)能量主要由 S波和 P2波承擔(dān)[6]，而S波不產(chǎn)生孔隙水壓)．從圖中還可以看出，當(dāng)入射頻率較高時(shí)，孔隙水壓幅值較大且孔隙水壓的空間變化比較復(fù)雜，這說(shuō)明頻率較高的波更易激起孔隙水壓．

圖7 泊松比對(duì)地表位移幅值的影響(透水情況, θ α1 =45°,n=0.3)Fig.7 Normalized surface displacement for different Poisson’s ratios(drained case, θ α1 =45°,n=0.3)

圖8 泊松比對(duì)地表位移幅值的影響(不透水情況, θ α1 =45°,n=0.3)Fig.8 Normalized surface displacement for different Poisson’s ratios(undrained case, θ α1 =45°,n=0.3)

圖9 地表孔隙水壓(n=0.1，ν =0.25)Fig.9 Pore pressure at surface(n=0.1，ν =0.25)

圖10 地表孔隙水壓(n=0.3, ν=0.25)Fig.10 Pore pressure at surface(n=0.3, ν=0.25)

圖11 地表孔隙水壓(n=0.36, ν=0.25)Fig.11 Pore pressure at surface(n=0.36, ν=0.25)

3 結(jié) 論

(1)飽和情況(透水或不透水)與干土情況地表位移的差別很大，飽和情況與干土情況的地表位移出現(xiàn)相位漂移，飽和情況地表位移波長(zhǎng)相對(duì)較大．

(2)當(dāng)孔隙率較低時(shí)，邊界滲透條件對(duì)地表位移幅值的影響很小，而當(dāng)孔隙率較大時(shí)，邊界滲透條件的影響則不可忽視：不透水情況下，水平和豎向地表位移幅值的峰值均相對(duì)較大．隨著入射頻率的升高，孔隙率的影響逐漸增大，而且不透水情況下孔隙率的影響相對(duì)較大．

(3)隨著泊松比的增大，水平位移幅值逐漸減小，豎向位移幅值則逐漸增大．泊松比較小時(shí)，邊界滲透條件對(duì)位移幅值的影響較大；泊松比較大時(shí)，邊界滲透條件對(duì)位移幅值的影響則較?。S著入射頻率的升高，泊松比的影響逐漸增大．

(4)當(dāng)孔隙率較小時(shí)，孔隙水壓幅值較小但空間變化比較劇烈，隨著孔隙率的增大，孔隙水壓逐漸增大但空間變化逐漸平緩．當(dāng)孔隙率達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)，孔隙水壓顯著增大，這與 SV波入射情況完全不同．當(dāng)入射頻率較高時(shí)，孔隙水壓幅值較大，且孔隙水壓的空間變化比較復(fù)雜．

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