三維復(fù)Ginzburg-Landau方程的一些精確解

羅森月，楊榮暉，鐘澎洪

（1.廣東廣播電視大學(xué)工程技術(shù)系,廣東廣州510091；2.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,云南昆明650091；3.北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京100124）

三維復(fù)Ginzburg-Landau方程的一些精確解

羅森月1，楊榮暉2，鐘澎洪3

（1.廣東廣播電視大學(xué)工程技術(shù)系,廣東廣州510091；2.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,云南昆明650091；3.北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京100124）

通過(guò)輔助函數(shù)法與齊次平衡原理,得到了三維復(fù)Ginzburg-Landau方程的一些精確周期波和扭結(jié)波解.

Ginzburg-Landau;輔助函數(shù)法;周期波;扭結(jié)

0 引言

復(fù)Ginzburg-Landau方程(CGLE）描述了定性或是定量的各類物理現(xiàn)象：從非線性波到二階相變，從超導(dǎo)、超流體和玻色愛(ài)因斯坦凝聚到晶體場(chǎng)理論，甚至在弦理論中都能找到相關(guān)的物理背景.在物理學(xué)中，有大量關(guān)于CGLE這一非線性方程的研究.本文中，筆者研究如下CGLE：

其中：u是定義在n＋1維空間－時(shí)間Rn＋1上的復(fù)值函數(shù)；Δ是Rn上的拉普拉斯算子；ρ＞0,γ,μ是實(shí)參數(shù).

在數(shù)學(xué)和物理的各學(xué)科分支中，對(duì)方程(1)都有廣泛的研究.本文主要對(duì)方程(1)的精確解進(jìn)行構(gòu)造.在非線性科學(xué)中，(1)的解的適定性和孤立波特性已有很多結(jié)果.例如：變系數(shù)三維CGLE的亮孤立子和暗孤立子解的穩(wěn)定性[1]；關(guān)于二維CGLE的同宿軌理論和精確孤立子解[2].在一些假定的特殊條件下，文獻(xiàn)[3-4]求出了CGLE一些孤立子的解.最近，三維CGLE解的存在性和唯一性已被證明[5].本文中，筆者使用雅可比橢圓函數(shù)方法[6]和輔助函數(shù)法[7]及齊次平衡原則，得到一些三維CGLE新的精確解，其中包括周期波和扭結(jié)波解.

1 輔助函數(shù)法

考慮三維CGLE(1)：

將(2)代入方程(1)并消去eiωt，得到

將實(shí)部和虛部分離，得到

將(5)代入方程(3)和(4)，得到非線性常微分方程組

其中：A＝α12＋α22＋α32.

作輔助函數(shù)

其中F(ξ)滿足如下方程：

利用f″和f3關(guān)于F的最高階相同（即齊次平衡原理），得m＋2＝3m，即m＝1，由此得到

其中：a0,a1是待定常數(shù).

將(9)代入式(6)和(7)，得

在（10）和（11）中讓F的不同次冪的系數(shù)分別為0，得到如下代數(shù)方程：

解方程(12)～(15)得到

2 解的情況

當(dāng)q0,q2,q4取不同的值時(shí)，由(8)得到方程(1)的解如下(Jacobi橢圓函數(shù))：

當(dāng)q0＝1,q2＝－(1＋R2),q4＝R2時(shí)，F(xiàn)(ξ)＝sn(ξ,R)(模為R的橢圓正弦函數(shù))是常微分方程(8)的解，則將該解代入(16)可得到(1)的解：

事實(shí)上，參照文獻(xiàn)[8]中橢圓函數(shù)的定義方法，可以得到方程(8)更多的解.當(dāng)q0,q2,q4取不同值時(shí)，可得到(1)的解，見(jiàn)表1.

表1 當(dāng)q0,q2,q4取不同值時(shí)，方程(1)的解的情況

[1]FANG Fang,XIAO Yan.Stability of chirped bright and dark soliton-like solutions of the cubic complex Ginzburg-Landau equation with variable coefficients[J].Optics Communications,2006,268(12)：305-310.

[2]DAI Zhengde,LI Zhitian,LIU Zhenjiang,et al.Exact homoclinic wave and solition solutions for the 2D Ginzburg-Landau equation[J].Physics Letters A,2008,372(17)：3 010-3 014.

[3]DAI Zhengde,LI Shaolin,DAI Qingyun,et al.Singular periodic soliton solutions and resonance for the Kadomtsev-Petviashvili equation,Chaos[J].Solitions and Fractals,2007,34(4)：1 148-1 153.

[4]AKHMEDIEV N,ANKIEWICZ A.Solitons：Nonlinear Pulses and Beams[M].London：Chapman&Hall,1997.

[5]李棟龍，郭柏靈，劉旭紅.三維復(fù)Ginzburg-Landau方程的整體解的存在唯一性[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)：A輯,2004,19(4)：409-416.

[6]ZHONG Penghong,YANG Ronghui,YANG Ganshan.Exact periodic and blow up solutions for 2D Ginzburg-Landau equation [J].Physics Letters A,2008,373：19-22.

[7]ZHOU Yubin,WANG Mingliang,MIAO Tiande.The periodic wave solutions and solitary wave solutions for a class of nonlinear partial differential equations[J].Physics Letters A,2004,323(1/2)：77-88.

[8]李志斌.非線性數(shù)學(xué)物理方程的行波解[M].北京：科學(xué)出版社,2007：142-146.

Some Exact Solutions to a Kind of 3D Complex Ginzburg-Landau Equation

LUO Senyue1,YANG Ronghui2,ZHONG Penghong3
(1.Department of Engineering Technology,Guangdong Radio and TV University,Guangzhou Guangdong510091,China; 2.Department of Mathematics,Yunnan Nationalities University,Kunming Yunnan650091,.China; 3.Department of Mathematics,Beijing University of Technology,Beijing100124,China)

By the method of auxiliary function together with the homogeneous balance principle,some exact periodic wave and kink wave solutions are obtained for a kind of 3D Complex Ginzburg-Landau equation.

Ginzburg-Landau;auxiliary function method;periodic wave;kink

O415

A

1009－8445（2010）02－0006－03

（責(zé)任編輯：陳靜）

2010－01－10

羅森月(1982－)，女，廣東清遠(yuǎn)人，廣東廣播電視大學(xué)助教，碩士.