楊 峻, 王 紅

(1.安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南安陽455002;2.南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 天津300071)

基于控制拉格朗日函數(shù)法的車載倒立擺的穩(wěn)定性

楊 峻1, 王 紅2

(1.安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南安陽455002;2.南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 天津300071)

在自由系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)基礎(chǔ)上,通過更改其中動(dòng)能函數(shù)的度量張量,構(gòu)造了控制拉格朗日函數(shù).說明了控制拉格朗日函數(shù)法在系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中的使用方法和步驟,并運(yùn)用此方法研究了車載倒立擺的穩(wěn)定性,得出了相關(guān)結(jié)論.

倒立擺;控制拉格朗日函數(shù);動(dòng)能;穩(wěn)定性

0 引言

倒立擺是動(dòng)力學(xué)和控制理論中的一個(gè)經(jīng)典問題,被普遍認(rèn)為是檢驗(yàn)控制算法(如PID控制器、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制、遺傳算法等)的基準(zhǔn).倒立擺的穩(wěn)定性問題被廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)械制造等相關(guān)領(lǐng)域[1].控制拉格朗日函數(shù)法是研究歐拉-拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程所能描述的眾多物理系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效方法.這種方法的指導(dǎo)原則是尋求一種閉環(huán)系統(tǒng)的控制律,然后用線性化等方法確定平衡的穩(wěn)定性[2].

本文首先介紹控制拉格朗日函數(shù)法,然后運(yùn)用這個(gè)方法來研究車載倒立擺的穩(wěn)定性.

1 控制拉格朗日函數(shù)法

控制拉格朗日函數(shù)法是在力學(xué)系統(tǒng)的自由拉格朗日函數(shù)(即系統(tǒng)的動(dòng)能減去勢(shì)能)[3-5]基礎(chǔ)上,靠修改系統(tǒng)動(dòng)能來構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),它能夠描述閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué),稱為控制拉格朗日函數(shù).

假設(shè)系統(tǒng)所在的位形空間為Q,且具有形式Q=S×G,其中G是一個(gè)李群,用直接控制G中變量的方法來控制S中的變量.假定G在Q上有變化時(shí),拉氏函數(shù)保持不變,這里的變化只在G上發(fā)生.在下面給出的例子中,拉氏函數(shù)的不變特性等同于它在G變量中是循環(huán)的.因此,得出了自由系統(tǒng)的守恒定律.在我們的構(gòu)造方法中,仍要保持拉氏函數(shù)不變的特性,故而會(huì)帶來一個(gè)改進(jìn)的守恒定律.

Q的切空間[6]可被分成水平和垂直兩大部分.對(duì)于Q上一點(diǎn)q處Q的每一切向量vq,可寫出唯一分解式vq=Ho rvq+Vervq,使得垂直部分是G的切向量,水平部分則由式(1)唯一定義,

其中,vq和wq是任意切向量.這種對(duì)向量的分解可直觀地看作是分成了兩塊,一塊是按對(duì)稱性或群方向上的(垂直部分),另一塊是按外形或內(nèi)部方向上的(水平部分).例如,在一個(gè)振動(dòng)分子中,這種分解相當(dāng)于分子的自旋和振動(dòng)模式.

對(duì)式(1)作一個(gè)修改,勢(shì)能保持不變,修改包含3方面內(nèi)容:1)選取一個(gè)不同的水平空間,記作Horτ;2)一個(gè)作用在水平向量上的度量變換g→gσ;3)一個(gè)作用在垂直向量上的度量變換g→gρ.控制拉氏函數(shù)等于修改后的動(dòng)能減去勢(shì)能,Lτ,σ,ρ=[gσ(Ho rτvq,Ho rτwq)+gρ(Verτvq,Verτwq)]-V(q),其中,V是勢(shì)能.與這個(gè)拉氏函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程是閉環(huán)系統(tǒng)方程,這些方程中出現(xiàn)的與控制變量對(duì)應(yīng)的新條件將作為控制輸入.

以ξQ表示對(duì)應(yīng)于李代數(shù)元素ξ的極小生成元,新的水平空間由形如Horτvq-[τ(v)]Q(q)的向量組成,其中τ是消去了垂直向量的1形式[6].

在車載倒立擺的實(shí)例中,可以取gρ=g(即ρ不必要出現(xiàn)),引入一個(gè)標(biāo)量σ,只用gσ去修改群方向上的原始度量g,這樣,控制拉氏函數(shù)具有形式

概括起來,一般的做法是:

a)從一個(gè)具有拉氏函數(shù)和對(duì)稱群G的力學(xué)系統(tǒng)開始,其中拉氏函數(shù)具有動(dòng)能減勢(shì)能的形式(在下面的車擺系統(tǒng)的例子中,對(duì)稱群指的是水平方向).

b)寫出自由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程.

c)引入τ,σ,ρ,給出控制拉氏函數(shù).

d)寫出與控制拉氏函數(shù)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程,在方程的對(duì)稱變量中迅速得到控制律u.

e)選取τ,σ,ρ,使得受控的原始系統(tǒng)的歐拉-拉格朗日方程(即帶控制輸入的含有拉氏函數(shù)L的歐拉-拉格朗日方程)與針對(duì)控制拉氏函數(shù)Lτ,σ,ρ的歐拉-拉格朗日方程相匹配.用歐拉-拉格朗日方程消去加速度來確定反饋控制律u,這樣,反饋控制律有可能只依賴于速度.

f)自由選取τ,σ,ρ,用線性化方法或能量-動(dòng)力法來確定平衡的穩(wěn)定性.

2 車載倒立擺的穩(wěn)定性

現(xiàn)將上述思想應(yīng)用于車載倒立擺系統(tǒng),并討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性.首先給出車擺系統(tǒng)的拉氏函數(shù),設(shè)s表示S軸上小車的位置,θ表示擺與垂直方向的夾角,l為擺長(zhǎng),M,m分別是小車和擺錘的質(zhì)量,g為重力加速度,如圖1所示.這里,位形空間Q=G×S=R×S1,R表示車的坐標(biāo)s,S1表示擺角θ.速度的相空間TQ坐標(biāo)為(s,θ,˙s,˙θ).

圖1 車載倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)Fig.1 Motion of inverted pendulum on a cart

相對(duì)于實(shí)驗(yàn)標(biāo)架的車速是˙s,相對(duì)于實(shí)驗(yàn)標(biāo)架的擺速是向量

系統(tǒng)的動(dòng)能恰為車和擺動(dòng)能的總和,

拉氏函數(shù)是動(dòng)能減去勢(shì)能,于是有

其中,勢(shì)能V=m g l cosθ.為方便起見,將拉氏函數(shù)改寫為

其中,α=m l2,β=m l,γ=M+m,D=-m g l均為常數(shù),注意有αγ-β2>0.

關(guān)于s和θ的動(dòng)量分別是ps=γ˙s+βcosθ˙θ與pθ=α˙θ+βcosθ˙s.

相對(duì)平衡狀態(tài)定義為θ=0,˙θ=0,˙s=0.由于D<0,故是不穩(wěn)定的.

逐步形成以鳳山古鎮(zhèn)、白云古洞、云霧山、窟窿山等自然景觀與郭小川故居、豐寧剪紙，豐寧布糊畫等人文景觀相結(jié)合的鄉(xiāng)村旅游發(fā)展節(jié)點(diǎn)，重點(diǎn)發(fā)展鄉(xiāng)村旅游體驗(yàn)、休閑農(nóng)業(yè)旅游產(chǎn)品，規(guī)劃項(xiàng)目形態(tài)為旅游民俗村與休閑農(nóng)莊等基礎(chǔ)配套設(shè)施，重點(diǎn)挖掘鄉(xiāng)村文化，形成文化底蘊(yùn)，使豐寧東北鄉(xiāng)村旅游穩(wěn)步發(fā)展。

由于s是一個(gè)循環(huán)變量,故包含作用于小車的控制力u(沒有直接的力作用到擺上)的車擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

下面根據(jù)前述方法,通過修改自由車擺系統(tǒng)拉氏函數(shù)的動(dòng)能,來構(gòu)造控制拉氏函數(shù).

最一般的s不變水平1形式為τ=κ(θ)dθ,σ是一個(gè)標(biāo)量,利用式(2),有

因?yàn)樽兞縮仍是循環(huán)的,按照前述步驟,靠觀察守恒律的變化來尋找反饋控制量.聯(lián)系新的拉氏函數(shù)Lτ,σ,有守恒律

對(duì)于動(dòng)量ps,有

這樣,當(dāng)控制力加于小車時(shí),確定出了(5)式的條件.

仍利用控制拉氏函數(shù),象(4)式一樣,計(jì)算得到θ的方程為

下一步要選取κ和σ,使包含控制拉氏函數(shù)的方程(6)能匹配被控小車的θ方程(3).根據(jù)(5)式給出的控制律,被控小車的θ方程為

比較方程(6)和(7),有σγ[κ(θ)]2=-βκ(θ)cosθ.由于σ為常量,令κ(θ)=κcosθ,其中,κ是一常數(shù)(故σ= -β/γκ).

接下來代換(5)式中θ¨及κ(θ),得到非線性控制律

考察閉環(huán)系統(tǒng)的線性化情形,會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)

對(duì)于車擺系統(tǒng)(3),當(dāng)κ滿足(9)式時(shí),便得出系統(tǒng)穩(wěn)定化的反饋控制律(8).

簡(jiǎn)單的計(jì)算表明,ζ的分母不為零,因?yàn)棣葷M足sin2θ

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是:首先,系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全可以在力學(xué)的背景下完成,可以用能量的觀點(diǎn)來理解;其次,盡管穩(wěn)定性是依靠控制外力實(shí)現(xiàn)的,但仍保留有系統(tǒng)機(jī)械能的一種延伸,可以把它理解為關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)和控制外力的一種聯(lián)合能量.

[1] 郭曉麗,方建印.Lyapunov穩(wěn)定性逆定理的另一種證明[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2004,36(2):22-24.

[2] 宋軍烈,肖軍,徐心和.倒立擺系統(tǒng)的Lagrange方程建模與模糊控制[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,23(4): 333-336.

[3] 高為炳.運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,1987.

[4] 秦元?jiǎng)?王聯(lián),王慕秋.運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1981.

[5] 沈惠川,李書民.經(jīng)典力學(xué)[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2006.

[6] 陳省身,陳維桓.微分幾何講義[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

Stabilization of the Inverted Pendulum on a Cart by the Method of Controlled Lagrangian

YANG Jun1, WANG Hong2
(1.School of M athem atics and Statistics,Anyang Norm al University,A nyang 455002,China; 2.School of M athem atical Sciences,N ankai University,Tianjin 300071,China)

A controlled Lagrangian by modifying the metric tensor of Lagrangian for the uncontrolled system is constructed.The methods and step s of using controlled Lagrangian fo r the research of system stabilization are introduced.Then the stabilization of the inverted pendulum on a cart is studied by this app roach.And relevant conclusions are draw n.

inverted pendulum;controlled Lagrangian;kinetic energy;stabilization

O 302

A

1671-6841(2010)03-0051-03

2009-12-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)10171081;2005年天津市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目.

楊峻(1973-),男,講師,碩士,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究,E-mail:yumoym@163.com.