CAPM模型中β系數(shù)的非參數(shù)估計(jì)

○花俊洲 （上海金融學(xué)院 上海 201209）

CAPM模型中β系數(shù)的非參數(shù)估計(jì)

○花俊洲 （上海金融學(xué)院 上海 201209）

在資產(chǎn)定價模型的實(shí)證檢驗(yàn)中，由于證券期望收益與系數(shù)β值之間未必存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，因此使用一般線性回歸方法對β進(jìn)行估計(jì)必然會導(dǎo)致模型的不準(zhǔn)確。作為對這種估計(jì)方法的修正，本文提出了可變系數(shù)回歸模型，利用局部加權(quán)最小二乘估計(jì)方法對模型中的系數(shù)β進(jìn)行估計(jì)，并研究了模型中局部權(quán)系統(tǒng)的決定問題，該模型是一般線性回歸模型的推廣。由于系數(shù)的可變性，使得估計(jì)結(jié)果更適應(yīng)實(shí)際數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而估計(jì)結(jié)果更為精確，該方法也為風(fēng)險(xiǎn)管理和監(jiān)督提供了較為有用的數(shù)理工具。

CAPM β系數(shù) 可變系數(shù)回歸模型 局部加權(quán)最小二乘估計(jì)

一、理論綜述

資產(chǎn)定價問題是近幾十年來西方金融理論中發(fā)展最快的一個領(lǐng)域。投資組合理論由亨利·馬柯維茨（H.M.Markovitz）于1952年創(chuàng)立，形成了現(xiàn)代資產(chǎn)定價理論。它把投資者的投資選擇問題系統(tǒng)闡述為不確定性條件下投資者效用最大化問題，這標(biāo)志著現(xiàn)代證券理論研究進(jìn)入了定量分析階段。馬柯維茨的研究在理論上解決了證券組合的選擇問題，但因其需要巨大的計(jì)算量而難以得到廣泛應(yīng)用。1963年，威廉·夏普（Sharpe）提出了簡化形式的計(jì)算方法，即單指數(shù)模型。1965年前后，Sharp等人提出著名的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM），使投資組合理論應(yīng)用于整個經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。這一模型在現(xiàn)實(shí)的投資組合績效、證券估價、確定資本預(yù)算及管理公共事業(yè)股票中得到了普遍應(yīng)用。

在一組嚴(yán)格的假定下，CAPM模型可簡單地表達(dá)為：

ri=αi+βirM+εi

其中ri表示證券或組合i的期望收益率，αi表示獨(dú)立于市場部分的收益率，rM表示市場組合期望收益率，βi為證券或組合的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，εi為隨機(jī)誤差。

然而，大量的實(shí)證研究又發(fā)現(xiàn)一些CAPM無法解釋的異?，F(xiàn)象，諸如公司的規(guī)模、贏利—價格比、現(xiàn)金流量—價格比、歷史銷售增長率、歷史收益率表現(xiàn)等因素都會對股票的期望收益率產(chǎn)生一定的影響。針對證券收益受多種因素的影響，馬歇爾（Marshell）和布努姆（Blume）等人又提出了多因素模型。

多因素模型（MPM）由于具有較強(qiáng)的解釋性而成為目前投資實(shí)踐中的主導(dǎo)模型。從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，多因素模型通過許多因子來確定證券的價格，所考慮因素的范圍較廣。與CAPM模型僅從證券市場本身的歷史來研究股價不同，多因素模型把證券的價格與通貨膨脹率、失業(yè)率、工業(yè)生產(chǎn)總值、利率水平、匯率水平等經(jīng)濟(jì)因素聯(lián)系起來，從而使模型能更好地反應(yīng)現(xiàn)實(shí)情況。

多因素模型的簡潔表達(dá)如下：

其中：Ij（j=1，2，…，p）表示影響收益率的第j個因素，βij表示證券或組合i對因素Ij的敏感度，其他符號表示同上?？梢钥闯?，多因素模型認(rèn)為股票的超額收益由兩部分組成，即由各因素作用影響的收益部分和無法由各因素解釋的收益部分。

1976年，羅斯（Ross）通過放松有效市場的假設(shè)，提出了套利定價理論（APT），對CAPM模型作了進(jìn)一步修訂，其重要特性是合理且簡單易懂。在均衡狀態(tài)下，所有被選擇的證券組合來自被考察的資產(chǎn)集并滿足無風(fēng)險(xiǎn)就無收益的條件，而且對其風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的定價不依賴于有效市場證券組合的選擇。它假設(shè)任一證券的收益率是由k個因素的線性函數(shù)決定的，其方程為：

其中：Eri是第i種資產(chǎn)的期望收益率，F(xiàn)j（j=1，2，…，k）表示第j種因素指數(shù)的收益，βij是第i種資產(chǎn)的收益對第j個因素的靈敏度，εi是第i種資產(chǎn)均值為零的特殊收益。

盡管上述三大資產(chǎn)定價理論在經(jīng)濟(jì)解釋和應(yīng)用上有很大區(qū)別，但在數(shù)學(xué)處理上卻有共同之處，即假定證券期望收益與系數(shù)β值之間存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，并使用一般線性回歸方法對其系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。然而，實(shí)證檢驗(yàn)表明，證券期望收益與β值之間是否存在嚴(yán)格的線性關(guān)系仍然值得懷疑。Black等以及Fama和MecBeth對美國證券市場的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，證券的期望收益與β之間確實(shí)存在一種正的線性關(guān)系，然而在1992年Fama和French采用與以前不同的樣本數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，證券的期望收益與他們所設(shè)計(jì)的β之間幾乎不存在相關(guān)性。陳浪南和屈文洲針對上海證券市場的實(shí)證研究表明，β對股票期望收益的解釋能力并不是很強(qiáng)。

很顯然，假如實(shí)際中證券期望收益與β值之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系時，使用上面的一般線性回歸方法來估計(jì)系數(shù)β，必然會導(dǎo)致結(jié)果的不正確。本文針對這種不足，提出了一個可變系數(shù)的回歸模型，并使用局部加權(quán)最小二乘估計(jì)法來估計(jì)系數(shù)β，使得估計(jì)結(jié)果更為準(zhǔn)確，能夠更加適應(yīng)數(shù)據(jù)自身的變化規(guī)律，也更貼近于數(shù)據(jù)的實(shí)際要求。

二、可變系數(shù)回歸模型的提出

首先來回顧一般采用的線性回歸方法。為了便于數(shù)學(xué)表達(dá)，可以把上述三大定價定理抽象為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型。

定義1（一般線性回歸模型）：假定對某種證券或組合有n組歷史觀測數(shù)據(jù)（Yi，xi），其中Yi表示收益率，xi=（xi1，xi2，…，xip）T表示影響該證券或組合收益率的因素，對于隨機(jī)變量Y1，Y2，…，Yn一般的線性回歸模型如下：

（Ⅰ） Y1，Y2，…，Yn相互獨(dú)立，并且Yi～N（μi，σ2），i=1，2，…，n

其中xi0=1；μi=E（Yi），i=1，2，…，n。

通常情況下，可以用最小二乘方法來對該模型進(jìn)行估計(jì)。

定義2（可變系數(shù)回歸模型）：假定對某種證券或組合在不同的觀測“位置”Vi，有n組歷史觀測數(shù)據(jù)（Yi，xi），i=1，2，…，n，對于隨機(jī)變量Y1，Y2，…，Yn在“位置”V點(diǎn)的可變系數(shù)回歸模型定義如下：

（Ⅰ） Y1，Y2，…，Yn相互獨(dú)立，并且Yi～N（μi，σ2），i=1，2，…，n

其中V∈D，D是一個帶有距離函數(shù)d（·，·）的m維度量空間，V可以解釋為觀測數(shù)據(jù)x所對應(yīng)的“位置”，比如：當(dāng)V=t為一維時間標(biāo)量時，就表示按時間順序觀測到的數(shù)據(jù)x，當(dāng)V=（x，y，z）為三維向量時，就可以表示為在空間地理位置（x，y，z）上觀測到數(shù)據(jù)x，當(dāng)V=（x，y，z，t）為四維空間時，則表示t時刻在空間地理位置（x，y，z）上觀測到數(shù)據(jù)x，如此等等。D中的距離d（·，·）可以根據(jù)問題的實(shí)際背景具體化，除了通常使用的歐氏距離之外，它還可以取作兩觀測點(diǎn)之間的社會環(huán)境、經(jīng)濟(jì)環(huán)境、自然環(huán)境的相似性度量等等。在此基礎(chǔ)上，我們的模型可看成是隨觀測數(shù)據(jù)x的“位置”V變化而變化模型系數(shù)的變系數(shù)回歸模型。β0（·），β1（·），…，βp（·）是p+1個定義在空間D的某一子集上的函數(shù)。

盡管可變系數(shù)線性模型形式上看起來很具體，但它實(shí)際包含了許多熟知的線性回歸模型作為其特例，如：

（Ⅰ）如果βj（V）=βj，j＝0，1，…，p是p+1個未知常數(shù)，那么模型（1）便是一般線性回歸模型。

（Ⅱ）取D?RP，V=x且β1（x）=…=βp（x）=0，則模型（1）便為μ=β0（x）；由于β0（x）是任意函數(shù)，所以這正是非參數(shù)回歸模型。

（III）如果取D=[0，+∞)，V=t是第t個觀測值在被獲得的時間點(diǎn)，那么模型（1）便為：μt=β0（t）+β1（t）xt1+…+βp（t）xtp，t=t1，t2，…，tn。這個模型便是熟知的動態(tài)線性回歸模型。

因此，可變系數(shù)回歸模型，是原來的一般線性回歸模型的推廣。對于模型（1），可以通過下面的局部加權(quán)最小二乘方法來估計(jì)系數(shù)。

南通歷史上有許多英雄人物，深受儒家經(jīng)內(nèi)圣外王思想的影響，努力在各方面完善自我提升自身的修養(yǎng)能力，在此基礎(chǔ)上，憑借著“己欲立而立人，己欲達(dá)而達(dá)人”的理念，將自身理想信念外擴(kuò)，從而造福桑梓服務(wù)社會。

三、可變系數(shù)回歸模型的估計(jì)

利用非參數(shù)回歸中局部擬合的思想，通過對對數(shù)似然函數(shù)施加適當(dāng)?shù)木植繖?quán)，再利用極大似然原理得到所關(guān)心的局部估計(jì)量，適合非參數(shù)回歸擬合問題。這種思想自提出以后，目前已得到廣泛的研究，本文正是利用這種思想來進(jìn)行局部加權(quán)估計(jì)的。

一般地，給定任何一點(diǎn)V∈D，這里xT=（x1，x2，…，xp）∈M，對所有的觀測點(diǎn)（Yi；xi1，xi2，…xin）i=1，2，…，n，它們均提供了μ=EY在給定點(diǎn)V的信息，這些信息可用以估計(jì)系數(shù)β0（V），β1（V），…，βp（V），然而不同的觀測值對在給定點(diǎn)處V的系數(shù)估計(jì)有不同的重要性，這種重要程度可以通過一組權(quán)來對相應(yīng)似然函數(shù)中的各項(xiàng)作調(diào)整。

設(shè)在給定點(diǎn)V處的一組權(quán)為：w1（V），w2（V），…，wn（V），其中第i個權(quán)wi（V），相對應(yīng)于第i個觀測數(shù)據(jù)（Yi；xi1，xi2，…，xip）。

對于模型（1），不難求得（yi，y2，…，yn）的對數(shù)似然函數(shù)：

按照局部似然方法，在給定點(diǎn)處V相應(yīng)于權(quán)wi（V），i=1，2，…，n的局部加權(quán)似然函數(shù)（為方便計(jì)，仍記為lnL（β（V）；y1，y2，…，yn））為：

定義2對給定的點(diǎn)V∈D，使（3）式達(dá)到最大值的β（V）的值，記為：β^（V）=（β^0（V），β^1（V），…β^p（V））T，稱為β（V）在給定點(diǎn)處V的局部加權(quán)最大似然估計(jì)量。

由于變系數(shù)回歸模型的局部加權(quán)最大似然估計(jì)量的推導(dǎo)類似于一般線性回歸模型的推導(dǎo)，因此可以不加證明地給出如下結(jié)論。

定理1對于變系數(shù)回歸模型（1），β（V）在給定點(diǎn)V處的局部加權(quán)最大似然估計(jì)量由如下方程組來決定：

定理2對于變系數(shù)回歸模型（1），假定對于任意點(diǎn)V∈D，矩陣XTW1（V）X的逆矩陣均存在，那么β（V）在給定點(diǎn)V處的局部加權(quán)最大似然估計(jì)量為：

并且，W1（V）=diag（W1（V），W2（V），…Wn（V））為n階對角權(quán)矩陣。

證明過程如下：

由定理1，可知似然方程為：

上式可表示為矩陣形式：

其中，β（V）=（β0（V），β1（V），…βp（V）），其他表示同上。

假定對于任意點(diǎn)V∈D，矩陣XTW1（V）X的逆矩陣均存在，則在給定點(diǎn)V處的參數(shù)估計(jì)值可表示為：β^（V）={XTW1（V）X}-1XTW1（V）Y。

特別地，若對一切的1≤i≤n及任意點(diǎn)V∈D，設(shè)定W1（V）=1，那么（6）式就變?yōu)椋篨TY=XTXβ。

此即我們熟知的一般線性回歸模型的正則方程。

四、局部權(quán)系統(tǒng)的決定

1、Gauss局部權(quán)系統(tǒng)

如前所述，對任意給定點(diǎn)V∈D，第i個權(quán)值W1（V）；（i=1，2，…，n）反映了第i組觀測xi=（xi1，xi2，…，xip）T及Yi對估計(jì)點(diǎn)V處的參數(shù)βk（V）；（k=0，1，…，p）的重要性。一般來說，距給定點(diǎn)V∈D較近的觀測數(shù)據(jù)對V點(diǎn)處的參數(shù)估計(jì)影響應(yīng)該較大，而相距較遠(yuǎn)的觀測數(shù)據(jù)對給定點(diǎn)V處的參數(shù)估計(jì)影響應(yīng)該較小，甚至為零。而在變系數(shù)廣義線性模型中，觀測值xi=（xi1，xi2，…，xip）T以及x=（x1，x2，…，xp）T所對應(yīng)的D中的點(diǎn)Vi和V之間的距離以d（Vi，V）來度量。因此，對于較小的d（Vi，V）所對應(yīng)的觀測點(diǎn)，我們賦予較大的權(quán)值，反之，對于較大的d（Vi，V）所對應(yīng)的觀測點(diǎn)，則賦予較小的權(quán)值。

下面采用Gauss局部權(quán)系統(tǒng)：

在給定點(diǎn)V∈D處，以d（Vi，V）的Gauss函數(shù)為該點(diǎn)的權(quán)，即：

其中λ＞0稱為光滑參數(shù)。當(dāng)λ→0時，只有在觀測點(diǎn)V∈D處，觀測值xi權(quán)才為1，其他各觀測點(diǎn)的權(quán)值均趨于零。當(dāng)λ→∞，對于一切i=1，2，…，n均有Wi（V）→1，這時，參數(shù)β（V）的局部加權(quán)最大似然估計(jì)即是通常的最大似然估計(jì)。

2、局部權(quán)系統(tǒng)中光滑參數(shù)的確定

光滑參數(shù)的確定問題是非參數(shù)回歸中所研究的一個重要課題，針對不同的光滑方法，已經(jīng)有各種各樣的光滑參數(shù)確定方法。在此，我們將利用交叉證實(shí)方法（cross-validation）來確定前面所給的局部權(quán)系統(tǒng)中的光滑參數(shù)λ的值。

由前面可知，在每一給定點(diǎn)V處有觀測值Yi

五、結(jié)語

本文主要解決了如下問題。

第一，實(shí)證表明，資產(chǎn)定價模型中，證券期望收益與系數(shù)β值之間未必存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，針對這種情形，提出了可變系數(shù)回歸模型替代原先的一般線性回歸模型來估計(jì)系數(shù)β，該模型放松了線性的假定，使模型更適應(yīng)實(shí)際數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。

第二，利用局部加權(quán)最小二乘估計(jì)方法對可變系數(shù)回歸模型中的系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

第三，研究了模型中的局部權(quán)系統(tǒng)以及其中光滑參數(shù)的決定問題。

從理論角度考慮，該模型由于系數(shù)的可變性，使得估計(jì)結(jié)果更加適應(yīng)實(shí)際數(shù)據(jù)變化規(guī)律，從而估計(jì)結(jié)果更為精確，該方法也為資產(chǎn)定價研究、風(fēng)險(xiǎn)管理和監(jiān)督提供了較為有用的數(shù)理工具。但由于我國的實(shí)際情況，對于復(fù)雜數(shù)理模型的應(yīng)用尚缺乏一定的條件，主要是缺乏好的金融數(shù)據(jù)，大部分金融機(jī)構(gòu)都沒有能夠保留良好的橫截面數(shù)據(jù)和時間序列數(shù)據(jù)，這給實(shí)證也帶來了不小的麻煩。后續(xù)的研究中，我們將克服這些困難，著重于該模型在實(shí)際中的檢驗(yàn)。

（注：本文受上海市教育委員會科研創(chuàng)新項(xiàng)目（09YZ409）、上海教育委員會重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（J51601）資助。）

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（責(zé)任編輯：李文斐）

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