于 洋

(浙江海洋學(xué)院,舟山 316000)

鏈-索-鏈型懸鏈錨泊線靜力問題的若干算式

于 洋

(浙江海洋學(xué)院,舟山 316000)

在無流速、忽略拉伸變形的假定條件下,對鏈-索-鏈型懸鏈錨泊線的靜力問題進(jìn)行了理論研究。以隱函數(shù)方程的形式給出了海底錨鏈離底部分長度的計(jì)算式,以參數(shù)方程的形式給出了懸鏈線形狀及張力的解析解,所有結(jié)果均為無因次表達(dá)式。

懸鏈線;錨泊;靜力特性;解析解

Abstract:A theoretical study on the static performance of catenary chain-wire-chain mooring line is carried out in this paper based on the assumption condition that there is no current and deformation of the line is neglected.The length of the chain cable that is hauled up from seabed is determined by an implicit equation,the coordinates and tensions at each points of the catenary line are of analytical solutions described by parametric equations.All of the results are shown in non-dimensional type.

Key words:catenary line;mooring;static performance;analytical solution

0 前言

中等水深條件下的海洋浮體定位,常采用鏈-索-鏈錨泊系統(tǒng),利用懸鏈線特性為浮體提供恢復(fù)力[1]。該錨泊線主要由錨鏈和鋼索組成,在海底錨樁一端和水面浮體一端分別采用一段錨鏈,錨鏈之間由鋼纜連接。在錨泊線上有的安裝沉子或浮子以改善錨泊性能[2]。錨或錨樁只承受水平作用力,因而要求海底錨鏈在錨(樁)處要與地面保持相切。對于這種復(fù)合錨泊線,一般采用數(shù)值方法進(jìn)行靜力計(jì)算,并需考慮水流作用和錨泊線拉伸變形的影響[3～5]。然而,在無流、無浮子或沉子條件下,如忽略錨泊線拉伸變形,則可以得到其靜力問題的理論解——以隱函數(shù)方程和解析解的形式給出其計(jì)算公式。

1 懸鏈線基本公式

假定無流速,海底平坦,且忽略錨泊線拉伸變形(單一類型錨鏈線如圖1所示),將坐標(biāo)系 XOZ的原點(diǎn)O取在錨鏈懸鏈線與海底的切點(diǎn)處,則懸鏈線上距原點(diǎn)長度L的點(diǎn)的坐標(biāo)可寫為[6,7]

可見,該坐標(biāo)滿足以L為參變量的參數(shù)方程。當(dāng)懸鏈線上距原點(diǎn)長度L0時,Z=H,有

圖1 單一錨泊線示意圖

式(1～2)中:w為水中錨泊線單位長度重量;F為水平外力;L0為懸鏈線長度。

2 鏈-索-鏈型錨泊線海底錨鏈離底部分的長度

圖2所示的整個錨泊線由L1、L2和L3段組成,其中L1和L3段為錨鏈;L2段為鋼索。L4為海底錨鏈被拉起的長度。為求解出L4,分別將L1段和L2段按照懸鏈線形狀延長直至與水平線相切(圖中虛線部分)。L1段延長長度記為L1′;L2段延長長度記為 L2′。在三個切點(diǎn)處分別建立坐標(biāo)系 XOZ、X′O′Z′和X"O"Z"。于是 ,利用式(2),并結(jié)合圖 2,有

圖2 組合錨泊線及其局部延長線

另外 ,對 L1′段和(L2+L2′)段、L3段與 L2′段進(jìn)行受力分析 ,可得

上面各式中:w1、w2和 w3分別為L1、L2和L3段錨泊線在水中的單位長度重量。

現(xiàn)對上面各參數(shù)作無因次化,令

對于一個具體錨泊線來講,上式中 n1、n3、l1和l2均為已知量,所以式(9)就是關(guān)于 l4的隱函數(shù)方程。給定某一外力 f后,可利用式(9)數(shù)值求解出 l4。當(dāng) n1=n3=1時,該式則退化為普通的懸鏈線方程。

如果令 l4=0,n3=1,則式(9)變?yōu)?/p>

將式(7)代入式(3)、(4),連同式(5)一起代入式(6),并進(jìn)行無因次化,化簡后可得到:

利用該方程可求出l3段錨鏈剛好完全臥底時的臨界外力 fcr。如果實(shí)際外力 f

3 懸鏈線上各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

因?yàn)檎麄€錨泊線由三段懸鏈線組成,所以應(yīng)先在各自的坐標(biāo)系中求出其懸鏈線坐標(biāo),再通過坐標(biāo)平移至同一個坐標(biāo)系中。

3.1 三段懸垂線在各自坐標(biāo)系中的參數(shù)方程

參照式(1),可得L4段在 XOZ坐標(biāo)系中的懸鏈線方程:

3.2 坐標(biāo)原點(diǎn)O′和O"在坐標(biāo)系 XOZ中的坐標(biāo)

利用L4段和L2′段縱、橫長度之差,可以求出O′點(diǎn)在 XOZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo):

3.3 坐標(biāo)系平移之后的懸鏈線坐標(biāo)

首先將式(13)～式(16)平移至 XOZ坐標(biāo)系中?？紤]到原點(diǎn)O,即切點(diǎn)位置隨外力大小而變,故隨后再平移至以錨(樁)處為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中(僅橫坐標(biāo)改變)。為方便,橫、縱坐標(biāo)仍用 x、z表示。L1段平移后方程為

上面各式中,Δl如式(27),其中 ls2為外力小于臨界力時,懸鏈線中鋼索的長度,由式(10)確定。

4 懸鏈線各點(diǎn)張力

當(dāng)外力 f大于臨界力fc時,懸鏈線上各點(diǎn)無因次張力由式(28)、式(29)求出:

當(dāng)外力 f小于臨界力fc時,tx同式(28),tz由下式求出:

5 算例

設(shè)某懸鏈錨泊線的頂端錨鏈長L1=220 m;單位長度水中重量 w1=2 730 N/m;海底錨鏈長L3=400 m;單位長度水中重量 w3=2 340 N/m;中間鋼索長L2=1 200 m;單位長度水中重量w2=780 N/m。錨泊線頂端距海底高度為 H=500 m。當(dāng)錨泊線頂端索受水平外力F分別為1 000 kN和1 800 kN時,求懸垂線坐標(biāo)及張力。

解:

步驟1:對各物理量進(jìn)行無因次化

l1=L1/H=0.44;l2=L2/H=2.4;l3=L3/H=0.8;n1=w1/w2=3.5;n3=w3/w2=3.0;f1=F1/(w2H)=1 000 000/(780×500)=2.564;f2=F2/(w2H)=1 800 000/(780×500)=4.615。

步驟2:求出海底錨鏈剛好全部臥在海底時臨界外力 fcr

此步驟作為下一步計(jì)算判斷之用。因?yàn)楹５族^鏈剛好全部臥在海底時,l4=0,故將 f視為未知量,由式(10)數(shù)值求解(本文采用二分法,步驟3與4的數(shù)值求解亦采用該方法),得 fcr=3.675。

步驟3:當(dāng)外力 F=1 000 kN(f1=2.564)時的懸鏈線形狀與張力

因?yàn)?f1

由于底部錨鏈全部臥底,故只需利用式(21)～式(24)計(jì)算懸垂部分鋼索和頂部錨鏈的懸鏈線坐標(biāo)。并注意在這4個式子中,l4=0,l2=1.9875。

懸鏈線張力由式(28)～式(31)計(jì)算,同樣有 l4=0,l2=1.9875。

步驟4:當(dāng)外力 F=1 800 kN(f2=4.615)時的懸鏈線形狀與張力

因?yàn)?f2>fcr,故需由式(9)數(shù)值解出海底錨鏈被拉起的無因次長度,得l4=0.1077,實(shí)際長度為500×0.1077=53.85 m。懸鏈線總的無因次長度為l1+l2+l4=0.44+2.4+0.1077=2.9477,實(shí)際長度為500×2.9477=1 473.85 m。

因?yàn)?l4>0,所以懸鏈線坐標(biāo)由式(21)～式(26)計(jì)算,懸鏈線中各點(diǎn)的張力運(yùn)用式(28)～式(31)計(jì)算。

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果,將兩種外力條件下的懸鏈線坐標(biāo)繪于圖3中,懸鏈線張力繪于圖4中(均已換算成有因次物理量)。圖4給出了錨鏈線張力沿著懸鏈線的變化情況,其橫坐標(biāo)表示懸鏈線長度,L=0對應(yīng)的是錨鏈線與海底的切點(diǎn);縱坐標(biāo)為錨鏈線張力。在曲線中部,對應(yīng)的是懸鏈線中鋼索部分,由于單位長度重量較小,錨泊線張力增加趨勢較緩;而在曲線右端部,對應(yīng)的是頂端錨鏈,由于單位長度重量較大,錨鏈線張力快速增加。

6 結(jié)語

在無流速、錨泊線無拉伸變形的假定條件下,推導(dǎo)出了鏈-索-鏈懸鏈線靜力特性的理論解。懸鏈線形狀與張力以參數(shù)方程的形式給出了較為簡單的解析解。在計(jì)算懸鏈線張力時,該參數(shù)為從懸鏈線與水平線切點(diǎn)起算的懸鏈線長度。在計(jì)算懸鏈線形狀時,該參數(shù)亦為懸鏈線長度,但分為三部分,分別在圖2所示的三個坐標(biāo)系中單獨(dú)定義,并沒有隨懸鏈線坐標(biāo)平移而改變,故出現(xiàn)每一段懸鏈線長度l的取值范圍不同的情況,即彼此不連續(xù)。但計(jì)算出的懸鏈線形狀在連接點(diǎn)處是光滑、連續(xù)的。從物理意義上講,這是由式(7)的力平衡關(guān)系所決定的。海底錨鏈被拉起的部分的長度,以隱函數(shù)方程的形式給出,具體計(jì)算時還需要采用數(shù)值方法。

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Solutions of Static Performance of A Catenary Chain-Wire-Chain Mooring Line

YU Yang
(Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316000,China)

U675.922

A

1001-4500(2010)02-0006-05

2009-09-02; 修改稿收到日期:2010-01-15

浙江省科技計(jì)劃重大項(xiàng)目資助(2008C03010)

于 洋(1963-),男,教授,從事船舶與海洋工程流體力學(xué)、航海技術(shù)研究。