陳詩谷

一、命題的提出

在實際工作中人們常常會有這樣的問題：在支付給員工的工資、薪金所得全年總額不變的情況下，每個月工資應(yīng)該發(fā)放多少才能使全年工資、薪金所得的個人所得稅金額最小。根據(jù)個人所得稅法律法規(guī)的相關(guān)規(guī)定，工資、薪金所得個人所得稅的應(yīng)納稅額應(yīng)按如下公式計算：

當(dāng)應(yīng)納稅所得額大于0時：

應(yīng)納稅額=應(yīng)納稅所得額×適用稅率－速算扣除數(shù)

=(每月收入額-免稅收入額-法定減除費(fèi)用額-按規(guī)定可扣除的社會保險-按規(guī)定可扣除的住房公積金-按規(guī)定可扣除的捐贈等其他支出)×適用稅率-速算扣除數(shù)

=(每月收入額-按規(guī)定可扣除項目金額總和)×適用稅率-速算扣除數(shù)

=應(yīng)納稅所得額×適用稅率-速算扣除數(shù)

當(dāng)應(yīng)納稅所得額等于0時，應(yīng)納稅額=0。

注：法定減除費(fèi)用額指2000元或4800元。我們假設(shè)月應(yīng)納稅所得額為0時其適用稅率為0。月應(yīng)納稅所得額大于0時其適用稅率指其在表一中對應(yīng)的最高稅率，如月應(yīng)納稅所得額為4000元時，其在表一中對應(yīng)的最高稅率為0.15，故0.15就是應(yīng)納稅所得額為4000元時的適用稅率，如沒有特別說明，以下適用稅率的含義與此相同。

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由于工資、薪金所得適用超額累進(jìn)稅率，月應(yīng)納稅所得額越大，適用的稅率越大，故人們往往會覺得各月的工資發(fā)放較為平均時全年所交的個人所得稅會較少，這時各月的應(yīng)納稅所得額較為平均，其適用稅率亦較為平均，故我們有命題1：在支付給員工的工資、薪金所得全年總額不變的情況下，若各月按規(guī)定可扣除項目金額總和是確定的且不發(fā)放全年一次性獎金，則當(dāng)全年各月工資、薪金所得的月應(yīng)納稅所得額的適用稅率都相等時，全年各月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和是最小的。

當(dāng)我們考慮的時間不是一年而是若干個月時，情況又如何呢？由命題1我們不難有命題2：在支付給員工的m(m為大于0的整數(shù))個月工資、薪金所得總額不變的情況下，若各月按規(guī)定可扣除項目金額總和是確定的且不發(fā)放全年一次性獎金，則當(dāng)這m個月工資、薪金所得的各月應(yīng)納稅所得額的適用稅率都相等時，這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和是最小的。

二、命題的證明

命題1是命題2的特殊情形，只要令m=12，引用命題2就可以證明命題1，故只要證明了命題2，就可以證明命題1。

（一）命題2的證明如下：

設(shè)i為大于0且小于m+1的整數(shù)，第i月的應(yīng)納稅額、應(yīng)納稅所得額、收入額以及按規(guī)定可扣除項目金額總和分別為ti、yi、si、ai，其中ai是確定的正數(shù)。設(shè)各月應(yīng)納稅額、應(yīng)納稅所得額、收入額、按規(guī)定可扣除項目金額總和的m個月之和分別為Tm、Ym、Sm、Am，其中Sm是一大于或等于0的確定正數(shù)。由于ai是確定的正數(shù)，故Am是一確定的正數(shù)。

設(shè)當(dāng)si=sdi時各月應(yīng)納稅所得額的適用稅率都相等，這時yi=ydi，ti=tdi，Tm=Tdm。設(shè)該相等的適用稅率為d，d在表一中對應(yīng)的速算扣除數(shù)為kd。

先用反證法來證明：若Sm、ai是確定的數(shù)值則d的值是唯一的。

假設(shè)d的值不是唯一的，即d可取兩個或兩個以上的值，取其中兩個不同的值c、e，不妨設(shè)0≤c＜e。設(shè)當(dāng)sdi=sci時，ydi=yci，d=c。設(shè)當(dāng)sdi=sei時，ydi=yei，d=e。

由0≤c＜e可知yci≥sci－ai，yei=sei－ai。由表一可知，適用稅率越大，其對應(yīng)的應(yīng)納稅所得額越大，故yci＜yei，故sci－ai＜sei－ai，故sci＜sei，故，這與Sm是一確定值矛盾，從而說明d可取兩個或兩個以上的值的假設(shè)不成立，也就是說d的值是唯一的，故kd的值亦是唯一的。

當(dāng)d=0時，ydi=0，故tdi=0，故Tdm=0，由于Tm≥0，故Tdm是Tm的最小值。

由于Sm、Am都是確定的數(shù)值且d、kd的值亦是唯一的，故Tdm的值亦是唯一的。

在si-ai≤0的月份，si≤ai，ti=0，故si-sdi≤ai-sdi，因為d＞0，兩邊同乘d有d(si-sdi)≤d(ai-sdi)，即d(si-sdi)≤-dydi，兩邊同加tdi有tdi+d(si-sdi)≤tdi-dydi。由d＞0有kd≥0且tdi=dydi-kd，故tdi-dydi=-kd，故tdi－dydi≤0，故tdi+d(si-sdi)≤0，由于ti=0，故ti≥tdi+d(si-sdi)。

在si-ai＞0的月份，yi=si-ai=sdi-ai＋(si-sdi)=ydi＋(si-sdi)。若si-sdi≥0，因為月應(yīng)納稅所得額為ydi時的適用稅率為d，所以在此基礎(chǔ)上增加si-sdi的月應(yīng)納稅所得額時，該增加的月應(yīng)納稅所得額的適用稅率大于或等于d，故因此而增加的應(yīng)納稅額大于或等于(si-sdi)d，由于月應(yīng)納稅所得額為ydi時對應(yīng)的應(yīng)納稅額為tdi，故ti≥tdi＋(si-sdi)d。若si－sdi＜0，因為月應(yīng)納稅所得額為ydi時的適用稅率為d，所以在此基礎(chǔ)上減少(sdi-si)的月應(yīng)納稅所得額時，該減少的月應(yīng)納稅所得額的適用稅率小于或等于d，故因此而減少的應(yīng)納稅額小于或等于(sdi-si)d，由于月應(yīng)納稅所得額為ydi時對應(yīng)的應(yīng)納稅額為tdi，故ti≥tdi-(sdi-si)d，即ti≥tdi＋(si-sdi)d。

故d＞0時有ti≥tdi＋(si-sdi)d，故

綜上所述，d≥0時Tdm是Tm的最小值。又因為d不能小于0，故命題2成立。

除命題2所述情形外，其他情形下這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和能否取得最小值呢？由上述證明可知，當(dāng)所有月份都有ti=tdi＋(si-sdi)d時，Tm=Tdm，即這時Tm的值是最小的。ti=tdi＋(si-sdi)d意味著yi－ydi=si-sdi且yi-ydi的適用稅率為d，這時yi的適用稅率等于d或者d-0.05。所有月份的yi的適用稅率等于d屬于命題2所述情形。當(dāng)yi的適用稅率為d-0.05且d-0.05＞0時，要使ti=tdi＋(si-sdi)d，則yi必須等于表一中適用稅率為d-0.05時的最大的月應(yīng)納稅所得額，如d=0.2，則yi的適用稅率等于0.15，yi=5000元；當(dāng)yi的適用稅率為d-0.05且d-0.05=0時，要使ti=tdi＋(si-sdi)d，則si必等于ai。由上述分析有命題3：在支付給員工的m(m為大于0的整數(shù))個月工資、薪金所得總額不變的情況下，如果各月按規(guī)定可扣除項目金額總和是確定的，不發(fā)放全年一次性獎金，并且這m個月工資、薪金所得的月應(yīng)納稅所得額分別適用兩個不同的適用稅率：d1及d2（d1、d2為大于或等于0的正數(shù)），d2減d1等于0.05，對于月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d1的月份增加的任意小的收入ε（ε為正數(shù)）元，該等月份因此而增加的應(yīng)納稅所得額為ε元且其適用稅率為d2，那么d2等于各月的月應(yīng)納稅所得額的適用稅率都相等時的適用稅率且這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和是最小的。

（二）命題3的證明如下：

設(shè)月應(yīng)納稅所得額大于b1（b1為大于或等于0的整數(shù)）且小于或等于b2（b2是大于0的整數(shù)）時其在表一中對應(yīng)的適用稅率為d2。設(shè)月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d1的月份有n（n為大于0且小于m的整數(shù)）個。設(shè)這m個月中第j（j為大于0且小于或等于m的整數(shù)）月的月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d2，設(shè)其月應(yīng)納稅所得額為w，則b1＜w≤b2。

將第j月的工資收入減少(w-b1)/2且將其平均分配到月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d1的月份，其他月份的工資收入不作變動，故變化前后的工資收入總額不變。

進(jìn)行上述變化后，第j月的工資收入減少了(w－b1)/2，該月份因此而減少的月應(yīng)納稅所得額為(w-b1)/2，減少后的月應(yīng)納稅所得額為w-(w-b1)/2＝(w＋b1)/2，由于b1＜w≤b2，故b1＜(w＋b1)/2≤(b2＋b1)/2＜b2，故減少后的月應(yīng)納稅所得額的適用稅率仍然為d2，故變化后減少的應(yīng)納稅額為d2(w-b1)/2。

由b1＜w及n＞0可得(w-b1)/(2n)＞0。因為月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d1的月份增加任意小的收入ε元時，該等月份因此而增加的應(yīng)納稅所得額為ε元且其適用稅率為d2，所以進(jìn)行上述變化后，月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d1的每一月份的工資收入都增加(w-b1)/(2n)，因此而增加的應(yīng)納稅所得額為(w-b1)/(2n)且其適用稅率為d2，即變化后該等月份的月應(yīng)納稅所得額的適用稅率變?yōu)閐2，該等月份因此而增加的總的應(yīng)納稅額為nd2(w-b1)/(2n)=d2(w-b1)/2，等于變化后第j月減少的應(yīng)納稅額，而除第j月及月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d1的月份外，其他月份的應(yīng)納稅額沒有變化，故變化后這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和和變化前相等。由于月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d1的月份在上述變化后其月應(yīng)納稅所得額的適用稅率為d2，故變化后這m個月工資、薪金所得的各月應(yīng)納稅所得額的適用稅率都相等，由命題2的證明可知，該相等的適用稅率的值是唯一的，故該相等的適用稅率的值為d2，引用命題2可知變化后這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和是最小的，故變化前這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和亦是最小的，故命題3成立。

三、命題的應(yīng)用

由于各月應(yīng)納稅所得額都相等的時候，各月應(yīng)納稅所得額的適用稅率必相等，故只要求出各月應(yīng)納稅所得額都相等時的月應(yīng)納稅所得額，就可以得出各月應(yīng)納稅所得額的適用稅率都相等時的適用稅率d，運(yùn)用命題2及命題3就可以確定使m個月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和最小的月應(yīng)納稅所得額的取值范圍。當(dāng)d＞0時，設(shè)月應(yīng)納稅所得額大于b（1b1為大于或等于0的整數(shù)）且小于或等于b（2b2是大于0的整數(shù)）時其在表一中對應(yīng)的適用稅率為d。具體運(yùn)用步驟如下：

（一）若Sm-Am≤0，則最優(yōu)工資發(fā)放方案為：各月的工資都少于或等于當(dāng)月按規(guī)定可扣除項目金額總和。這時各月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額m個月之和有最小值0。

（二）若Sm-Am＞0，各月應(yīng)納稅所得額都相等時有Ym，這時各月的月應(yīng)納稅所得額=Ym/m=(Sm-Am)/m，由表一可確定d、kd、b1及b2，則最優(yōu)工資發(fā)放方案有兩種：（1）每個月的月應(yīng)納稅所得額都大于b1且小于或等于b2；（2）1個月以上（含1個月）m個月以下（不含m個月）的月應(yīng)納稅所得額為b1，其余月份的月應(yīng)納稅所得額都大于b1且小于或等于b2。由命題2的證明可知，這時各月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額m個月之和有最小值(Sm-Am)d-mkd。

（三）將每月的應(yīng)納稅所得額加上每月按規(guī)定可扣除項目金額總和就可以得出每月的工資發(fā)放額。

如某人20x9年預(yù)計全年工資收入為81600元，每月稅前可扣除的社會保險費(fèi)為300元，1至6月每月稅前可扣除的公積金為500元，7至12月每月稅前可扣除的公積金為600元，每月都沒有免稅收入及稅前可扣除的捐贈等其他支出，假定每月的法定減除費(fèi)用額為2000元，則m=12，S12=81600（元），A12=300×12+500×6+600×6+2000×12=34200（元），各月應(yīng)納稅所得額都相等時的月應(yīng)納稅所得額=(S12－A12)/12=(81600-34200)/12=3950（元）。由表一可知d=0.15，b1=2000（元），b2=5000（元），kd=125，故最優(yōu)工資發(fā)放方案有兩種：（1）每個月的月應(yīng)納稅所得額都大于2000元且小于或等于5000元；（2）1個月以上（含1個月）12個月以下（不含12個月）的月應(yīng)納稅所得額為2000元，其余月份的月應(yīng)納稅所得額都大于2000元且小于或等于5000元。這時全年各月工資、薪金所得的個人所得稅應(yīng)納稅額之和的最小值是(81600－34200)×0.15－125×12=5610（元）。將每月的應(yīng)納稅所得額加上每月按規(guī)定可扣除項目金額總和就可以得出每月的工資發(fā)放額（具體計算過程略）。