成泰民, 曹連剛, 葛崇員, 孫樹生

(沈陽化工大學(xué)數(shù)理系,遼寧沈陽 110142)

正交曲線坐標(biāo)系中的角動量算符

成泰民, 曹連剛, 葛崇員, 孫樹生

(沈陽化工大學(xué)數(shù)理系,遼寧沈陽 110142)

由不同正交曲線坐標(biāo)系的單位基矢之間的變換矩陣,推導(dǎo)出角動量算符之間的普遍變換規(guī)律.并且在正交曲線坐標(biāo)系中給出 Hamilton算符▽及角動量算符的表示.討論球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系之間的單位基矢之間的變換矩陣及角動量算符之間的變換規(guī)律.并討論在球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系中^L2算符的處理.

正交曲線坐標(biāo)系; 幺正算符; 角動量算符; Hamilton算符▽

在一有心力場的系統(tǒng)中,從有心力的力心引出的各個空間方向是等價的,所以相對于力心而言角動量是守恒的.同理,在具有軸對稱性的外場中,沿該對稱軸方向的角動量分量是守恒的.這些是在經(jīng)典力學(xué)及量子力學(xué)中同樣都成立的守恒律.但是在經(jīng)典力學(xué)中 L×L=0,而在量子力學(xué)中 ^L×^L=i?^L.這是在角動量理論部分量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的最主要不同之處.球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系中的角動量算符的表示,一般都采用球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系中位置矢量沿基矢的分量與直角坐標(biāo)系中沿 (x,y,z)軸方向的分量關(guān)系處理的[1-4].這種處理較繁瑣,并且 Ham ilton算符▽、拉普拉斯算符▽2在球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)中的表示在物理學(xué)中經(jīng)常用到.因?yàn)榍蜃鴺?biāo)、柱坐標(biāo)、直角坐標(biāo)都屬于正交曲線坐標(biāo)系,因此,在正交曲線坐標(biāo)系中表示上述算符及探討不同正交曲線坐標(biāo)系之間的變換規(guī)律,找出普遍規(guī)律,具有重要的意義.

1 角動量算符在不同正交曲線坐標(biāo)系中

的變換規(guī)律[5-6]

正交曲線坐標(biāo)系 (u,v,w)中的單位基矢的表示及正交關(guān)系如下:

正交曲線坐標(biāo)系 (u,v,ω)中的 Ham ilton算符▽的表示為:

角動量算符在正交曲線坐標(biāo)系 (u,v,ω)中表示為 ^L=^r×^p.因在坐標(biāo)空間中 ^r是自表示,所以 ^r=r=r1e1+r2e2+r3e3,并且動量算符在坐標(biāo)空間中表示為 ^p=-i?▽.

由(5)式可知,角動量算符在正交曲線坐標(biāo)系 (u,v,ω)中矩陣形式表示如下:

同理在另一正交曲線坐標(biāo)系 (u′,v′,ω′)中矩陣形式表示如下:

其中 ^r=r=r1′e1′+r2′e2′+r3′e3′,e1′、e2′、e3′是另一正交曲線坐標(biāo)系 (u′,v′,ω′)的單位基矢,其表示如下:

為了得到角動量算符的表示在不同的正交曲線坐標(biāo)系之間的變換規(guī)律,首先須知道不同的正交曲線坐標(biāo)系的單位基矢之間的變換規(guī)律.由(3)式與 (11)式可得:

所以不同正交曲線坐標(biāo)系的角動量算符之間的變換規(guī)律如下:

2 討 論

2.1 角動量算符在球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系[7]

令 (u,v,ω)?(x,y,z),(u′,v′,ω′)?(r,θ,φ),并且由 (3)式、(11)式,可求得如下結(jié)果:

在 (17)式的推導(dǎo)中,利用了 x=r sinθcosφ、y= r sinθsinφ、z=r cosθ關(guān)系.

由 (9)式與 r=rer(即 r1′=r,r2′=r3′=0),可得球坐標(biāo)下的角動量算符矩陣表示如下:

(22)式這一關(guān)系只在直角坐標(biāo)系上成立,在球坐標(biāo)系 (即=≠++)和柱坐標(biāo)系 (即=^L·^L≠)中不成立.這是因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的單位基矢是常矢量,但是對隨位置矢量的變化,單位基矢發(fā)生變化的正交曲線坐標(biāo)系而言,必須考慮單位基矢相對于坐標(biāo)的變化率不為零條件[8](即如/?φ=-sinθer-).

球坐標(biāo)系的單位基矢的偏導(dǎo)數(shù)如下:

由 (19)式得:

根據(jù) (24)式、(25)式和球坐標(biāo)系的單位基矢之間的正交性 er·eθ=eθ·eφ=eφ·er=0,也可以得到(23)式的結(jié)果.

2.2 角動量算符在柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系

令 (u,v,ω)?(x,y,z),(u′,v′,ω′)?(ρ,φ, z),并且由 (11)式,可求得如下結(jié)果:

在(26)式的推導(dǎo)中,利用了 x=ρcosφ、y= ρsinφ、z=z關(guān)系.

由(14)式、(16)式、(26)式,可得柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的單位基矢之間的變換矩陣如下:

由 (9)式與 r=ρeρ+zez(即 r1′=ρ,r2′=0, r3′=z),可得柱坐標(biāo)下的角動量算符的矩陣表示如下:

由 (15)式、(27)式、(28)式可得:

在柱坐標(biāo)系利用 (22)式計算 ^L2,比利用柱坐標(biāo)系的單位基矢偏導(dǎo)數(shù)方法繁瑣.

柱坐標(biāo)系的單位基矢的偏導(dǎo)數(shù)如下:

由(31)式和柱坐標(biāo)系的單位基矢之間的正交性 eρ·eφ=eφ·ez=ez·eρ=0,按后一種方法計算如下:

2.3 角動量算符在球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系

由普遍方法也可以處理,但已知 2.1、2.2前提下,利用不同的正交曲線坐標(biāo)系的單位基矢之間變換矩陣 T(u,v,ω)→(u′,v′,ω′)的幺正性,能夠容易得到下列結(jié)果.

由 (13)式得

根據(jù) (33c)式、(36)式、(18)式、(35b)式可得:

由 (15)式得:

[1] 林辛未,殷傳宗.量子力學(xué)中的角動量[M].重慶:西南師范大學(xué)出版社,2008:49-54.

[2] 尹鴻鈞.量子力學(xué)[M].合肥:中國科技大學(xué)出版社,1999:106-108.

[3] 周世勛.量子力學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2003:60-63.

[4] 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué) (卷Ⅰ)[M].北京:科學(xué)出版社,1990:167-169.

[5] 郭碩鴻.電動力學(xué)[M].2版.北京:高等教育出版社,1997:340-346.

[6] 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué) (物理類專業(yè)用,第二冊)[M].2版.北京:高等教育出版社,1991:251-257.

[7] 錢伯初.量子力學(xué) [M].北京:高等教育出版社, 2006:332-333.

[8] 成泰民,孫樹生.正交曲線坐標(biāo)系中的單位基矢的導(dǎo)數(shù)[J].大學(xué)物理,2010,29(6):27-29.

AngularMomentum Operators in O rthogonal Curvilinear Coordinate System s

CHENG Tai-m in, CAO L ian-gang, GE Chong-yuan, SUN Shu-sheng
(Shenyang University of Chem ical Technology,Shenyang 110142,China)

Using the transform ation m atrix be tween the unit basis vectors in deferent or thogonal curvilinear coordinate system s,we deduce the general form of the transform ation be tween the angularm om entum operators in these coordinate system s.We give the representations of Ham ilton operator▽ and angular mom entum operators in the orthogonal curvilinear coordinate system.We discuss the transform ation m atrix of unit basis vectors am ong the spherical coordinate system,cylindrical coordinates system and rectangular coordinates system,and the transform ation betw een the angularm om entum operators.Furtherm ore,we discuss the treatm ent of L2operator in different coordinate systems.

orthogonal curvilinear coordinates system; unitary operator; angularm om entum operators; Ham ilton operator▽

O413.1

A

1004-4639(2010)04-0365-05

2010-07-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10647138);遼寧省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目(20060667)

成泰民(1970-),男,遼寧沈陽人,副教授,博士,主要從事理論物理學(xué)教學(xué)及磁性物理研究工作.