二維顆粒體系單軸壓縮形成的力鏈結(jié)構(gòu)＊

孫其誠 金 峰 王光謙 張國華

1)(清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

2)(北京科技大學(xué)物理系,北京 100083)

二維顆粒體系單軸壓縮形成的力鏈結(jié)構(gòu)＊

孫其誠1)?金 峰1)王光謙1)張國華2)

1)(清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

2)(北京科技大學(xué)物理系,北京 100083)

(2009年4月5日收到;2009年4月22日收到修改稿)

從接觸力、能量分布和接觸網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā),提出了強(qiáng)力鏈的力大小(Fc)判據(jù)(Fc大于平均接觸力〈F〉)和角度θc判據(jù)(θc=180/〈Z〉,其中〈Z〉是平均配位數(shù)),指出強(qiáng)力鏈和弱力鏈?zhǔn)潜举|(zhì)不同的兩類結(jié)構(gòu)存在于顆粒體系中,其中強(qiáng)力鏈網(wǎng)絡(luò)與體系的宏觀性質(zhì)直接相關(guān).以二維顆粒體系的單軸壓縮為例,計(jì)算發(fā)現(xiàn)了強(qiáng)力鏈長度的冪率分布規(guī)律,分析了側(cè)向壓力系數(shù)與相應(yīng)強(qiáng)力鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的關(guān)系:當(dāng)內(nèi)部強(qiáng)力鏈網(wǎng)絡(luò)充分發(fā)育而不再變化時(shí),側(cè)向壓力系數(shù)趨于穩(wěn)定數(shù)值.

顆粒物質(zhì),力鏈,多尺度結(jié)構(gòu)

PACC:0320,4610

1.顆粒物質(zhì)中的力鏈

顆粒物質(zhì)是大量離散的固體顆粒相互作用而組成的復(fù)雜體系,普遍存在于自然界.顆粒體系具有非連續(xù)和非均勻的基本特征,顆粒間作用力一般大于間隙氣體或液體力而起主導(dǎo)作用,形成顆粒→力鏈→體系的多尺度結(jié)構(gòu),決定著體系的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

早期,人們用實(shí)驗(yàn)檢測(cè)體系局部的顆粒排布規(guī)律并建立起它與宏觀力學(xué)行為的聯(lián)系,比如Oda將砂土的三軸壓縮試驗(yàn)試樣經(jīng)固化處理后從不同的方向切成薄片,然后觀察顆粒接觸點(diǎn)角的分布,發(fā)現(xiàn)顆粒接觸點(diǎn)角向大主應(yīng)力方向集中[1];Matsuoka基于光彈材料及圓鋁棒的直剪試驗(yàn)結(jié)果,從顆粒接觸點(diǎn)角變化規(guī)律出發(fā)推導(dǎo)出滑動(dòng)面上的應(yīng)力剪脹關(guān)系方程[2].在土力學(xué)中,土體與結(jié)構(gòu)接觸面的力學(xué)特性涉及到大變形、局部不連續(xù)等問題,張嘎等采用數(shù)字圖像技術(shù)分析從微觀角度觀察和測(cè)量加載過程中結(jié)構(gòu)面附近土顆粒的運(yùn)動(dòng)[3],分析了觀測(cè)接觸面的應(yīng)變局部化及剪切帶形成,分析了接觸面的變形機(jī)理、確定接觸面厚度等.1979年Cundall和Strack[4]提出了離散元法(distinct element method,DEM),DEM逐漸成為顆粒體系微觀結(jié)構(gòu)研究的有效工具,它能提供顆粒的位移和接觸力等詳細(xì)信息,進(jìn)而確定體系的應(yīng)力、接觸力分布、接觸角分布、接觸時(shí)間數(shù)、組構(gòu)張量、配位數(shù)等統(tǒng)計(jì)力學(xué)和幾何參數(shù),并由此描述宏觀力學(xué)性質(zhì)[5—7].DEM的優(yōu)勢(shì)在于研究顆粒體系的共性問題,闡述內(nèi)在機(jī)理,比如土體應(yīng)力剪脹、濕化機(jī)理、斜坡破壞機(jī)理和砂土剪切帶形成及發(fā)展規(guī)律等,尚不能直接用于具體的工程問題.所以,近期顆粒物質(zhì)研究的主導(dǎo)思想應(yīng)該是基于固體接觸力學(xué)、流體力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理等學(xué)科,建立起顆粒體系宏觀力學(xué)性質(zhì)的微觀理論,并能夠?yàn)楣こ碳夹g(shù)提供所需顆粒體系的性能參數(shù),為土力學(xué)、泥沙運(yùn)動(dòng)力學(xué)和泥石流等學(xué)科的發(fā)展創(chuàng)造條件.

在若干光彈實(shí)驗(yàn)和DEM模擬中發(fā)現(xiàn),顆粒非連續(xù)和非均勻的排布從而形成復(fù)雜接觸網(wǎng)絡(luò),是荷載傳遞的路徑.力鏈?zhǔn)穷w粒物質(zhì)研究中的一個(gè)重要概念,Dantu開展的光彈實(shí)驗(yàn)中指明了顆粒內(nèi)部力分布的非均勻性,發(fā)現(xiàn)強(qiáng)力鏈形成樹狀結(jié)構(gòu)[8];Horne于1965年提出了solid paths的概念[9],Edwards和Oakeshott于1989年提出顆粒物質(zhì)中存在架拱現(xiàn)象[10],Bouchaud和Cates等深化了這一概念[11],明確提出力鏈概念.近10年來,人們主要對(duì)接觸力大小進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)測(cè)量,比如采用高精度電子天平稱重法、顯色靈敏復(fù)寫紙壓痕方法和光彈性方法等檢測(cè)顆粒物質(zhì)中某一截面上的接觸力分布情況.但是,實(shí)驗(yàn)方法存在的主要缺陷是無法檢測(cè)弱接觸力,不能對(duì)顆粒物質(zhì)內(nèi)部接觸力進(jìn)行無干擾檢測(cè).

人們逐漸意識(shí)到力鏈作為一準(zhǔn)靜態(tài)結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀力學(xué)性能的影響,但是往往難以采取合適的方法去觀測(cè)力鏈,通常在顆粒體系上有控制的施加干擾,研究顆粒體系所呈現(xiàn)的獨(dú)特規(guī)律,反饋出力鏈?zhǔn)軘_動(dòng)后的演變.比如采用力學(xué)譜技術(shù)[12],研究了砂土振動(dòng)能量耗散的振幅譜、深度譜和頻率譜,得到了在微剪切振動(dòng)下顆粒微觀構(gòu)型和力鏈結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變的證據(jù),這是探測(cè)顆粒體系力鏈分布規(guī)律的一種有效手段. Sanfratello等[13]采用磁共振彈性成像技術(shù)(magnetic resonance elastography,MRE)觀測(cè)和初步描述了三維力鏈.采用DEM方法,則可以更清晰地描述力鏈形態(tài),如圖1所示的點(diǎn)力方向變化時(shí)力鏈的響應(yīng).

圖1 在點(diǎn)力作用下,二維顆粒體系內(nèi)力鏈形態(tài)隨點(diǎn)力方向發(fā)生變化(源自文獻(xiàn)[14])

力鏈不同于接觸力分布、接觸角分布、組構(gòu)張量和配位數(shù)等局部單元的力學(xué)和幾何參數(shù)統(tǒng)計(jì)信息,力鏈?zhǔn)菓?yīng)力傳遞路徑,貫穿了若干單元,它更深刻地揭示了顆粒體系的結(jié)構(gòu)層次與力學(xué)性質(zhì)的關(guān)系,比如外荷載加載方式、體系尺寸、顆粒無序排布和顆粒物性參數(shù)等決定了力鏈結(jié)構(gòu)、而力鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)決定了體系的應(yīng)力傳播模式;當(dāng)外荷載力增大時(shí),力鏈發(fā)生斷裂和重構(gòu)的數(shù)目和頻率等逐漸增加,則體系可能發(fā)生破壞時(shí),從固態(tài)演變?yōu)榱鲬B(tài).這里需要說明的是,力鏈?zhǔn)菓?yīng)力傳播路徑,在外荷載影響下力鏈發(fā)生的斷裂和重構(gòu)是傳遞路徑的變化(一般在d/Vr～10-5—10-7s的時(shí)間內(nèi)瞬間發(fā)生,其中d和Vr分別為顆粒粒徑和Rayleigh波速),此時(shí)力鏈發(fā)生重組,而顆粒間接觸網(wǎng)絡(luò)(亦即顆粒間的拓?fù)潢P(guān)系)未必發(fā)生變化,正如圖1所示的.

我們認(rèn)為力鏈結(jié)構(gòu)及其演化是顆粒體系的主要矛盾,因此提出了顆?！︽湣w系的多尺度研究框架[15—17],其中微觀尺度是組成顆粒體系的基本單元,即單顆粒,宏觀尺度是指整個(gè)顆粒體系,而細(xì)觀尺度則是強(qiáng)力鏈.深化力鏈概念,從持續(xù)時(shí)間、穩(wěn)定性和能量等分析統(tǒng)計(jì)性質(zhì);開展數(shù)值計(jì)算和室內(nèi)光彈實(shí)驗(yàn)量化細(xì)觀尺度力鏈網(wǎng)絡(luò)的幾何性質(zhì),確定顆粒材料性質(zhì)、級(jí)配等與力鏈網(wǎng)絡(luò)幾何性質(zhì)的關(guān)聯(lián),恰當(dāng)?shù)乜坍嬃︽?概括力鏈的各種主要特征;概括地描述力鏈的演化,確定力鏈的動(dòng)力學(xué)規(guī)律;描述力鏈網(wǎng)絡(luò)在外荷載下的演變規(guī)律,表達(dá)出力鏈網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)如何影響了宏觀力學(xué)性質(zhì)等,都將是構(gòu)建顆粒體系宏觀力學(xué)性質(zhì)微觀理論的關(guān)鍵工作.

本文模擬了12400個(gè)球心共面顆粒的單軸壓縮形成靜態(tài)體系中的力鏈形態(tài),首先提出了強(qiáng)力鏈的角度判據(jù),發(fā)現(xiàn)了強(qiáng)力鏈的長度按冪率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.同時(shí),本文還得到了側(cè)向壓力系數(shù)與空隙率的關(guān)系,并分析了側(cè)壓力系數(shù)與強(qiáng)力鏈能量分布的關(guān)系.

2.單軸壓縮實(shí)驗(yàn)

圖2是顆粒體系的單軸壓縮示意圖.本文模擬所用的顆粒體系由12400個(gè)顆粒組成,顆粒粒徑分別為0.4,0.5和0.6 mm,選取沙粒的物性參數(shù),密度ρ=2650 kg·m-3,彈性模量E=100 MPa,泊松比ν= 0.3,表面摩擦系數(shù)μs=0.3,顆粒間的黏連作用忽略不計(jì),法向和切向接觸力分別采用Hertz理論和Mindlin-Deresiewicz理論計(jì)算.左右邊界距離為99.75 mm,上下邊界初始距離為101.03 mm,邊壁物性參數(shù)選取沙粒的物性參數(shù).如圖2所示,上下邊壁相對(duì)運(yùn)動(dòng)壓縮顆粒體系,左右邊壁不動(dòng),得到不同顆粒體積份額φ的體系.當(dāng)φ從0.827到0.886增加時(shí),相應(yīng)的軸向應(yīng)力σzz和徑向σrr也逐漸增加.對(duì)于φ為某一確定值的體系,上下邊界靜止.為了進(jìn)行靜態(tài)力鏈的統(tǒng)計(jì)分析,讓體系運(yùn)行足夠長的時(shí)間以使得內(nèi)部顆粒的動(dòng)能全部耗散.

3.力鏈接觸力判據(jù)

當(dāng)半徑分別為R1和R2的兩球形顆粒發(fā)生接觸時(shí),接觸半徑為a,接觸力為F和相應(yīng)的彈性能W分別為[18,19]

其中1/R＊=1/R1+1/R2,1/E＊=(1-v12)/E1+(1-ν22)/E2,E1,ν1;E2,ν2分別為顆粒1和顆粒2的楊氏模量和泊松比,δ是顆粒間重疊量.

圖3是F和W隨無量綱接觸力(F與平均力〈F〉的比值)的概率密度分布.內(nèi)插圖中的接觸力分布是我們所熟知的:對(duì)于靜態(tài)顆粒體系,在〈F〉附近達(dá)到最大概率密度分布,僅有40%接觸點(diǎn)上的力大于〈N〉;更重要的是〈F〉前后力的分布規(guī)律截然不同[20,21],當(dāng)F<〈F〉時(shí),概率密度分布數(shù)值隨F的增大而按冪率增加;F>〈F〉時(shí),概率密度分布數(shù)值隨F的增大而按e指數(shù)減小.從彈性能累積圖可以看出,這些40%的接觸點(diǎn)卻占了80%的彈性能,這一接觸力和能量分布規(guī)律與我們得到的等徑顆粒體系的規(guī)律幾乎一致,因此我們猜測(cè)力和能量的這一規(guī)律對(duì)于密集靜態(tài)顆粒體系是普適的,基本不受顆粒物性參數(shù)、φ的影響,更進(jìn)一步的工作正在進(jìn)行中.

圖3 顆粒彈性能累積分布(插圖是接觸力與接觸力平均值比值的分布)

圖4(a)是F>〈F〉的顆粒彈性能量角度分布,成花生形.由圖4(a)可以看出:不同φ對(duì)應(yīng)的彈性能量分布形狀不同:φ=0.827時(shí)矮胖,而φ=0.867時(shí)瘦長,基本與體系中相應(yīng)角度截面上法向應(yīng)力分布一致[22]是顆粒接觸面法向與水平面的夾角,見圖4的示意圖.當(dāng)φ>0.848時(shí),能量分布形狀不再發(fā)生變化.圖 4(b)為φ=0.855時(shí),顆粒體系中總能量和的顆粒彈性能量(分別對(duì)應(yīng)外圍實(shí)線內(nèi)區(qū)域和淺色區(qū)域)的分布情況,兩者的差就是〉的顆粒彈性能量,其分布為基本為各向同性.這說明了F>的顆粒接觸隨著外荷載而發(fā)生相應(yīng)變化,而F的顆粒接觸則沒有反映出外荷載的加載情況.從這個(gè)角度講,的接觸是兩類本質(zhì)不同的接觸,顆粒接觸與體系的宏觀性質(zhì)直接相關(guān).

顆粒接觸力分布和彈性能的角度分布(圖3和圖4)說明:〈F〉前后接觸力本質(zhì)不同,F>〈F〉的接觸力鏈與體系宏觀性質(zhì)直接相關(guān),且占據(jù)了絕大部分體系的能量.因此,可以根據(jù)力的大小把力鏈分為兩類:強(qiáng)力鏈和弱力鏈,而區(qū)分強(qiáng)、弱力鏈的力判據(jù)是

即傳遞大于〈F〉的力鏈為強(qiáng)力鏈,反之為弱力鏈,強(qiáng)、弱兩類本質(zhì)不同的力鏈并存在于顆粒體系中.

圖4 顆粒彈性能的角度分布 (a)不同φ時(shí),F>〈F〉顆粒彈性能量分布;(b)φ=0.848,總彈性能和F>〈F〉顆粒彈性能量分布(F<〈F〉顆粒能量分布放大顯示.右下側(cè)是顆粒間接觸面角度示意圖)

4.力鏈角度判據(jù)

對(duì)于靜態(tài)顆粒體系,人們嘗試建立力鏈網(wǎng)絡(luò)的理論,比如Bouchaud和Socolar提出了有取向的力鏈網(wǎng)絡(luò)概念(directed force chain network),認(rèn)為力鏈?zhǔn)侨舾深w粒組成的線段,每一條線段具有方向和強(qiáng)度,且線段可以連接或斷裂.通過類比膠體內(nèi)微顆粒間的連接結(jié)構(gòu),固定主軸模型(fixed principal axis model)提出力鏈至少由3個(gè)接觸顆粒按線性排列構(gòu)成,其方向與外荷載的最大主應(yīng)力方向一致,主要支撐軸向荷載,僅能承受很小的轉(zhuǎn)動(dòng)或切向滑動(dòng),Oda的早期實(shí)驗(yàn)工作證實(shí)了這一點(diǎn)[1].但是目前還沒有被廣泛認(rèn)可的力鏈定義,對(duì)力鏈還有很多不同的理解.盡管大部分研究者都認(rèn)為力鏈具有準(zhǔn)直線性和傳遞較大力(或應(yīng)力)的特點(diǎn),但是如何定量的體現(xiàn)力鏈的準(zhǔn)直性(即顆粒質(zhì)心連線角度變化閾值θc多大(θc見圖5(a)所示)仍是一個(gè)沒有解決的難題.基于第3節(jié)的力和能量分析,我們認(rèn)為用力判斷強(qiáng)力鏈接觸力閾值Fc=〈F〉.

θc的確定涉及復(fù)雜的機(jī)理,需考慮接觸面的咬合、內(nèi)嵌等幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及自鎖平衡等力學(xué)行為.顯然,θc的數(shù)值對(duì)力鏈長度影響比較大,隨著θc的增加,可供尋找的顆粒數(shù)目增加,連接成力鏈的概率增加,特別是長力鏈的數(shù)目和概率會(huì)增加.不同的研究者對(duì)θc的取值也不同,具有很大的隨意性,例如, Peters等[23]取θc為45°,而P?schel和Schwager[24]取θc為30°,且他們均未對(duì)取上述θc取值的理由做進(jìn)一步說明.我們?cè)?jīng)嘗試忽略變形面的咬合和內(nèi)嵌的等幾何行為,僅考慮顆粒表面的自鎖機(jī)理,而簡單取θc=arctan(μs).對(duì)于顆粒表面摩擦系數(shù)μs=0.3, θc=17°的情況,由于θc取值過小,找到的力鏈數(shù)目較少,不能很好的復(fù)現(xiàn)整個(gè)力鏈網(wǎng)絡(luò).顯然,確定θc值時(shí)僅考慮顆粒表面的自鎖機(jī)理是不太合理的,還應(yīng)更多的考慮力鏈網(wǎng)絡(luò)幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn).我們認(rèn)為,θc的數(shù)值應(yīng)由其配位數(shù)Z的平均值〈Z〉來確定,滿足

〈Z〉綜合反映了顆粒物性(μs、彈性模量和泊松比等)、級(jí)配、顆粒體積份額φ等幾何參數(shù)和物性參數(shù)對(duì)顆粒體系幾何結(jié)構(gòu)的影響.

圖5(b)為我們模擬得到的系統(tǒng)的平均顆粒配位數(shù)〈Z〉隨體積份額φ的變化曲線.由圖5(b)可知, φ=0.848時(shí)〈Z〉=4.00,亦即一個(gè)顆粒周圍約平均有4個(gè)顆粒與之發(fā)生接觸,那么θc=180/〈Z〉=45°; φ=0.827時(shí),〈Z〉=3.487,θc=52°;φ=0.886時(shí),顆粒排布更密集,〈Z〉=4.335,θc=42°.

利用〈Z〉確定θc值后,可以尋找系統(tǒng)中存在的各個(gè)力鏈.如果定義F>〈F〉的接觸力鏈為強(qiáng)力鏈,可進(jìn)一步找出系統(tǒng)中的強(qiáng)力鏈.如圖5(a)所示,判斷一條強(qiáng)力鏈的過程如下:設(shè)顆粒A為起始顆粒,如果顆粒A,B間作用力大于接觸力平均值,則A, B首先連成力鏈的一段;與顆粒B接觸的顆粒有3個(gè),只有C和D處于θc的角度范圍之內(nèi);若只有B和D間的力大于平均力,則D構(gòu)成該力鏈上的第三個(gè)顆粒;如果在θc的角度內(nèi)有多個(gè)顆粒大于平均力,則選取角度最小的顆粒;依此類推,可以確定一條完成的力鏈.圖6是尋找到的強(qiáng)力鏈.顆粒擠壓結(jié)合成網(wǎng)絡(luò)(見圖5(a)),但是接觸網(wǎng)絡(luò)上傳遞的荷載相差很大(圖6(b)中粗、細(xì)線表示當(dāng)?shù)亟佑|連線力的大小),基于上述的判斷準(zhǔn)則提取出強(qiáng)力鏈(見圖6(c)),分析這些強(qiáng)力鏈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(比如長度分布、相互間交接情況等)就成了需要解決的關(guān)鍵問題之一.

圖5 判斷力鏈角度示意圖 (a)顆粒間的連接;(b)在本工作中,〈Z〉隨φ的分布

圖6 顆粒連接網(wǎng)絡(luò)及提取出的強(qiáng)力鏈(φ=0.848,〈Z〉=4.00,θc=45°,Fc=〈F〉) (a)顆粒接觸網(wǎng)絡(luò);(b)接觸力大小差異較大,大于〈F〉的接觸用粗線表示;(c)依據(jù)(2),(3)式提取出的強(qiáng)力鏈

由圖6(b),(c)可以看出,對(duì)于φ=0.848,基于θc=45°,Fc=〈F〉提取出的強(qiáng)力鏈網(wǎng)絡(luò)是合理的,基本提取出了所有接觸力大于〈F〉的接觸,沒有出現(xiàn)強(qiáng)力鏈過少而不能復(fù)現(xiàn)整體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的情況.

θc越小尋找到的強(qiáng)力鏈就越接近直線形,我們還嘗試計(jì)算了θc=30°,35°和40°的情況(見圖7).由圖7可知,θc的變化對(duì)短力鏈變化不大,說明短力鏈更接近于直線型;而長力鏈部分則受θc的變化影響較大,即θc較大時(shí)找到的長力鏈多.但是長力鏈(比如n>8)僅占總強(qiáng)力鏈量的10%左右,并且長力鏈易于斷裂,是相對(duì)不穩(wěn)定的.因此,θc從30°到45°范圍內(nèi),(4)式對(duì)于n<8都適用,這說明盡管在壓縮過程中局部顆粒間的相對(duì)位置和連接都可能發(fā)生了變化,但是顆粒間強(qiáng)力鏈長度的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不變.

圖7 強(qiáng)力鏈長度分布規(guī)律

5.側(cè)向壓力系數(shù)K

徑向應(yīng)力σrr與軸向應(yīng)力σzz的比值K=σrr/σzz,稱為側(cè)壓力系數(shù).Janssen假設(shè)K為常數(shù)來解釋糧倉軸向壓力按指數(shù)規(guī)律趨向一飽和值,但是糧倉的K值與顆粒材料性質(zhì)等有著復(fù)雜的關(guān)系,一些細(xì)節(jié)有待進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)測(cè)量[25—27].K也是巖土工程分析中的一個(gè)基本參數(shù),其具體取值需要進(jìn)行完整的應(yīng)力分析計(jì)算才能確定.一般認(rèn)為,K與顆粒材料的內(nèi)摩擦角直接相關(guān),而顆粒材料的摩擦涉及顆粒的表面滑動(dòng)摩擦和間嵌入和聯(lián)鎖的咬合摩擦兩個(gè)本質(zhì)不同的機(jī)理,兩者共同概化為內(nèi)摩擦角:土粒表面越粗糙、棱角越多、φ越大,則顆粒材料的內(nèi)摩擦角大.從力鏈角度來看,此時(shí)對(duì)應(yīng)的力鏈結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定,因此顆粒材料的內(nèi)摩擦角是內(nèi)部力鏈結(jié)構(gòu)和強(qiáng)度隨外荷載響應(yīng)的體現(xiàn),要深入理解內(nèi)摩擦角和K需從理解力鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)入手.

圖8是模擬得到的K隨φ的變化曲線.由圖8可以看出當(dāng)φ<0.848時(shí),K較大;當(dāng)φ≥0.848時(shí), K=0.54.一般而言,三維圓柱砂土的側(cè)限試驗(yàn)中K≈0.4—0.5,略小于本文得到的結(jié)果.對(duì)比圖8(b)和(c)顆粒體系內(nèi)部力鏈網(wǎng)絡(luò)情況,φ=0.827時(shí)K較大可能與體系不足夠密實(shí),力鏈沒有充分發(fā)育有關(guān),其方向在統(tǒng)計(jì)上按照隨機(jī)分布.隨著上下邊壁的擠壓,φ增加,體系不斷密實(shí),新力鏈不斷生成,且力鏈的方向逐漸轉(zhuǎn)向σzz方向,分配到側(cè)壁上的份額逐漸較小,當(dāng)φ≥0.848時(shí)K穩(wěn)定地趨于0.54,此時(shí)體系足夠密實(shí),力鏈充分發(fā)育,而幾乎不再發(fā)生變化.

圖8 K和S與φ的關(guān)系

類比K的定義,我們定義強(qiáng)力鏈的側(cè)向能量比值S=Wzz/Wrr,其中Wzz和Wrr分別為徑向和軸向的彈性能量.根據(jù)(1)式可知,當(dāng)變形極小時(shí),S～F5/3～K5/3,考慮到S的定義很容易得到

模擬計(jì)算給出的S隨φ的變化關(guān)系如圖8所示,對(duì)比S-φ和K-φ關(guān)系,表明強(qiáng)力鏈的側(cè)向能量比值可能也是由力鏈的配位數(shù)目決定的.K是顆粒體系的

6.結(jié)論

1.顆粒體系具有顆粒→力鏈→體系的多尺度結(jié)構(gòu),其中顆粒的非連續(xù)性和非均勻性是顆粒體系一個(gè)基本宏觀力學(xué)關(guān)系,而S是強(qiáng)力鏈的能量分布,這說明了強(qiáng)力鏈對(duì)顆粒體系宏觀力學(xué)性質(zhì)的決定作用.的基本特征,形成復(fù)雜接觸網(wǎng)絡(luò),這為外荷載的傳遞路徑提供了物理基礎(chǔ).但是,力傳遞路徑與接觸網(wǎng)絡(luò)在概念上有本質(zhì)的不同:力鏈?zhǔn)橇τ羞x擇地沿著接觸網(wǎng)絡(luò)傳遞的路徑,接觸網(wǎng)絡(luò)是顆粒排布的幾何結(jié)構(gòu);力鏈對(duì)外荷載加載方式和體系幾何特征極其敏感,及時(shí)在同一接觸網(wǎng)絡(luò)中隨著外荷載加載方式的輕微變化而使得力鏈形態(tài)千差萬異;

2.在確定強(qiáng)力鏈判據(jù)后,計(jì)算發(fā)現(xiàn)強(qiáng)力鏈和弱力鏈?zhǔn)切再|(zhì)本質(zhì)不同的兩類力鏈存在于顆粒體系中.在特定外荷載和幾何條件下,強(qiáng)力鏈發(fā)生頻繁斷裂和重構(gòu),決定著顆粒體系應(yīng)力傳播模式、破壞機(jī)理好流動(dòng)本構(gòu)關(guān)系等

3.本文初步揭示了強(qiáng)力鏈形態(tài)力學(xué)性質(zhì)相關(guān),下一步要分析強(qiáng)力鏈的壓縮剛度和彎曲剛度、力鏈長度、力鏈交點(diǎn)間距離以及力鏈半徑等,進(jìn)而形成強(qiáng)力鏈網(wǎng)絡(luò),分析它的力學(xué)性能與顆粒體系力學(xué)性質(zhì)的關(guān)聯(lián),這將是我們下面工作的重點(diǎn);另外一個(gè)分析強(qiáng)力鏈網(wǎng)絡(luò)的途徑是分析強(qiáng)力接觸的單元結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(比如采用Laman/Henneberg結(jié)構(gòu)描述),分析單元間的關(guān)聯(lián)進(jìn)而形成力鏈網(wǎng)絡(luò).

感謝中南大學(xué)物理系蔣亦民教授提出了寶貴建議.

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PACC:0320,4610

Force chains in a uniaxially compressed static granular matter in 2D＊

Sun Qi-Cheng1)?Jin Feng1)Wang Guang-Qian1)Zhang Guo-Hua2)

1)(State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)
2)(Department of Physics,University of Science and Technolog Beijing,Beijing 100083,China)

5 April 2009;revised manuscript

22 April 2009)

Granular matter is a large assemblage of dense-packing particles.The interparticle forces are transmitted through heterogeneous chain architecture.The force chains would display different responses as external loading varies,and it would be directly related to the macroscopic mechanical properties of the granular system.Therefore,understanding the properties of force chains is fundamental to the study in granular systems.In this work,we firstly analyzed three characteristic time scales involved in processes occurring in granular systems,and proposed three dimensionless numbers to measure their relative importance. Secondly,a series of numerical simulations were conducted on a uniaxial compression system consisting of 12400 polydispersed particles.Our results showed that the shape of force distributions are unaffected by system preparation history and packing fractions in the range from 0.855 to 0.886,but mainly affected by the static surface friction.By defining three conditions for evaluating strong force chain,the probability distribution of force chain length was found in the form of power law with an exponent of 1.72,which is independent of packing fractions and static surface frictions in this static system.

granular materials,force chain,multi-scale modeling

＊國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):2007CB714101,2010CB731504),清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主課題項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):2008-ZY-6)資助的課題.

?E-mail:qcsun@tsinghua.edu.cn

＊Project supported by the National KeyBasic Research Programof China(Grant Nos.2007CB714101,2010CB731504)and the Research Fundof the State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering(Grant No.2008-ZY-06).

?E-mail:qcsun@tsinghua.edu.cn