一個 Gelfand-Kirillov維數(shù) 1的 Hopf代數(shù)的例子

史美華

(浙江外國語學院理工學院,浙江杭州 310012)

一個 Gelfand-Kirillov維數(shù) 1的 Hopf代數(shù)的例子

史美華

(浙江外國語學院理工學院,浙江杭州 310012)

構建了一個 Gelfand-Kirillov維數(shù) 1的 Hopf代數(shù)的例子.從而證明,除了無限循環(huán)群的群代數(shù) kΖ、無限二面體群的群代數(shù) kD和無限維 Taft代數(shù)外,還存在其他的諾特、仿射、正則、素的 Gelfand-Kirillov維數(shù) 1的 Hopf代數(shù).

Hopf代數(shù);Gelfand-Kirillov維數(shù);公開問題;無限 Taft代數(shù)

1 引 言

本文中,k是一個代數(shù)閉域且所有的代數(shù)都是指 k-代數(shù).我們先給出一些定義,一個代數(shù)成為仿射的如果他作為代數(shù)是有限生成的;一個代數(shù)稱為正則的如果它的整體維數(shù)是有限的;一個代數(shù)A稱為素的如果對任意 x,y∈A,如果 xAy=0則 x=0或 y=0.更多的信息見文獻[1].在文獻[2]中,作者提出了以下的公開問題:除了無限循環(huán)群的群代數(shù) kΖ、無限二面體群的群代數(shù) kD和無限為 Taft代數(shù)外是否還有其他的諾特、仿射、正則、素的 Gelfand-Kirillov維數(shù)1的 Hopf代數(shù)?

設 n是一個偶數(shù),定義一個結合代數(shù) A(n,q)如下:它由 x,g,s和 g-1生成,滿足的關系為gg-1=g-1g=1,xg=qgx,xn=1-gn,sx=-xs,s2=1,sg=gs.這里 q∈k是一個 n-次本原單位根.余乘法、余單位和對極分別以以下列方式定義:

本文的主要結果就是證明上面定義的代數(shù)是一個諾特、仿射、正則、素的 Gelfand-Kirillov維數(shù) 1的 Hopf代數(shù),從而我們對上述問題給出了肯定的回答.

我們將不加解釋地利用一些 Hopf代數(shù)常用記號和基本事實,詳見文獻[3].

2 例 子

為了比較,我們回顧一下無限維 Taft代數(shù)的定義.設 n,m和 t均為正整數(shù),q為一個 n-次本原單位根.令 H是一個結合代數(shù),由 x和 g生成,且滿足以下關系

余乘法Δ,余單位ε,和對極 S分別定義為:

這個 Hopf代數(shù) H稱為無限維 Taft代數(shù).容易看到 H是素的當且僅當 qm還是一個 n-次本原單位根.它是諾特、仿射 PIHopf代數(shù),其整體維數(shù)為 1.

命題 2.1 A(n,q)是一個 Hopf代數(shù)

證明 我們將證明分為以下幾步:

步驟 1 Δ是一個代數(shù)同態(tài).為此,只需證:

我們只證式(3),因為其他證明相對很容易.對于式(3),

步驟 2 Δ是余集合的.由步驟 1,只需考慮生成元就行了.即只需證明

對 y=g,y=g-1,y=s和 y=x.但直接計算就可以發(fā)現(xiàn)這是正確的.

步驟 3 S是一個代數(shù)反同態(tài),ε是一個代數(shù)同態(tài).為證 S是一個代數(shù)反同態(tài),只要驗證以下的等式:

只證式(9),其余的證明很簡單.事實上,

從而為證式(9),需證

由于 n是偶數(shù),

ε是一個代數(shù)同態(tài)的證明是容易的,此處不再贅述.

步驟 4 我們有 (ε?id)Δ(z)=z=(id?ε)Δ(z),z′S(z″)=ε(z)=S(z′)z″對 z∈A.

事實上,由步驟 3,只需對 z=g,z=g-1,z=s和 z=x證明即可.但通過直接計算即可得.

由步驟 1～4,可知A(n,q)是一個 Hopf代數(shù).對于這個 Hopf代數(shù),下面的引理是顯然的.

引理 2.2 A(n,q)是諾特、仿射的.

對于一個代數(shù)B,我們用 GK(B)來表示B的 Gelfand-Kirillov維數(shù).

引理 2.3 A(n,q)是 PI代數(shù)且 GK(A(n,q))=1.

證明 顯然,A(n,q)作為 k〈g〉?kZ-模是一個有限模.由于 kZ是交換的,Gelfand-Kirillov維數(shù)為 1,所以由文獻[1]的命題 8.2.9(ii)知A(n,q)是 PI代數(shù)且 GK(A(n,q))=GK(kZ) =1.

對于一個代數(shù)B以及子集 I?B.我們用 (I)來表示 I生成的理想.B的整體維數(shù)記為 gl. dimB.對于B-模N,其投射維數(shù)記為 p.dimBN.

引理 2.4 gl.di mA(n,q)=1.

證明 我們用M來表示平凡A(n,q)-模 k.由于文獻[4],只需證 p.di mA(n,q)M=1.

顯然 x不是零化子,因為 xM=0,所以M不是自由A(n,q)-模的子模,這意味 p.dimA(n,q)M≠0.

設 I=(x),因為 x不是零化子,所以作為 A(n,q)-模,A(n,q)x?A(n,q)這意味 p. dimA(n,q)(A(n,q)/I)=1,從而對任意自由 A(n,q)/I-模 F,我們有 p.dimA(n,q)F=1注意到 A/I?k(Zn×Z2).這是半單的 (由于我們已經(jīng)假定存在 n-次本原單位根且 n是偶數(shù)),所以(A(n,q)/I)M是自由 A(n,q)/I-模的直和項.從而 p.dimA(n,q)M=1.

引理 2.5 A(n,q)是素的.

證明 由素的定義,直接計算可以得到.

定理 2.6 A(n,q)一個諾特、仿射、正規(guī)、素的 Gelfand-Kirillov維數(shù) 1的 Hopf代數(shù)且與kZ,kD和無限維 Taft代數(shù)不同構.

證明 由命題 2.1和引理 2.2-2.5知,A(n,q)是一個諾特、仿射、正規(guī)、素的 Gelfand-Kirillov維數(shù) 1的 Hopf代數(shù).

直接考慮這些 Hopf的代數(shù)的類群元素,就可以發(fā)現(xiàn)他們是互不同構的.

[1]McConnell J C,Robson J C.Noncommutative Noetherian Rings[M].New York:JohnW iley and Sons,1987.

[2]Lu D M,Wu Q S,Zhang J.Homological integral of Hopf algebras[J].TransAMS,2007,259(10):4945-4975.

[3]Montgomery S.HopfAlgebras and TheirActions on Rings[M].Chicago:DepaulUniversity,1993:82.

[4]LorenzM E,LorenzM.On crossed prouducts of hopf algebrs[J].Proc AMS,1995,123(1):33-38.

An Example of Hopf Algebras of Gelfand-Kirillov D i mension 1

SH IMeihua
(School of Science and Technology,Zhejiang International StudiesUniversity,Hangzhou 310012,China)

This paper defines a new algebraA(n,q),and proves thatA(n,q)is a Noetherian, affine,regular and prime Hopf algebra of Gelfand-Kirillov dimension 1 and hence gives an ans wer to an open question:Infinite cyclic group algebrakΖ、infinite dihedral group and infinite dimensional Taft algebras are examples of affine prime regular Hopf algebras of GK-dimension 1.

Hopf algebra;Gelfand-Kirillov dimension;open question;infinite Taft algebra

O153.3

A

1671-6574(2010)05-0092-04

2010-08-14

課題項目:浙江省 2009年度教師教育科研項目

史美華(1963-),女,浙江嘉興人,浙江外國語學院理工學院教授.