宋澤成

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

在現(xiàn)行的教材中，都把形如

的方程稱為歐拉方程，（其中 a1,a2,…, an是常數(shù)），并給出了其解法，如果定義形式僅局限于此，對(duì)于更深刻的理解歐拉方程，掌握歐拉方程的應(yīng)用很不利，因此有必要將其從形式到解法進(jìn)行推廣，使其應(yīng)用更廣泛。

1 推廣的歐拉方程及解法

定義1 形如

的方程（其中 a, b, a1, a2,… ,an均為常數(shù)）稱為推廣的歐拉方程。

a=1，b=0則方程(2)轉(zhuǎn)化成方程(1)，因此方程(1)是方程(2)的特殊情況。

在方程（2）中令t=ax+b，則

代入(2)中得

即方程(2)也可轉(zhuǎn)化方程(1)，進(jìn)一步可按方程(1)的解法求解方程(2)。

例1 求方程

的通解。

解 作變換 z= 2 x+ 1，則有

代入原方程得

方程(4)的通解為 y = c1z+c2z2

原方程的通解為

定義2 形如

的方程稱為非齊歐拉方程（其中 a1, a2,… ,an為常數(shù)）。當(dāng)f( x) = 0時(shí)，方程(1)稱為齊歐拉方程。

一般地，可先求齊歐拉方程的通解，然后利用常數(shù)變易法求非齊歐拉方程的通解，但比較麻煩，因此對(duì)于 f( x)的一些特殊情況可以直接作變換將其轉(zhuǎn)化成常系數(shù)的線性方程，再利用歐拉待定指數(shù)函數(shù)法求解。

例2 求非齊歐拉方程

的通解。

解 作變換 x=eu，于是方程化為

利用待定系數(shù)法，求得(6)的通解為

將 u x=e代入上式，得到原方程的通解為

其中c1, c2為任意常數(shù)。

例3 求非齊歐拉方程

的通解。

解 作變換x=eu，于是方程化為

利用待定系數(shù)法，求得方程(7)的通解為

將x=eu代入上式，得到原方程的通解為

其中c1, c2為任意常數(shù)。

2 二階齊歐拉方程一種特殊解法

定理 對(duì)于二階齊歐拉方程

如果 a1=-a2，那么 y=x( x ≠ 0)是方程的一個(gè)特解，其通解為

代入方程(8)左邊得，左=a1x+a2x；又 a1=-a2，所以左=0=右，即y=x是方程（8）的特解。

通解的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

例4 求歐拉方程

的通解。

解 因?yàn)閍1=1，a2=-1，所以y=x是原方程的一個(gè)特解，那么方程的通解為

計(jì)算整理得