孫向東，劉擁軍，陳雯雯，賈智寧，黃保續(xù)

（中國(guó)動(dòng)物衛(wèi)生與流行病學(xué)中心，山東青島 266032）

1 簡(jiǎn)介

異常值對(duì)于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性具有不良影響，重視異常值的檢測(cè)，分析其產(chǎn)生的原因，為發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、改進(jìn)方法提供了契機(jī)。箱線圖法是檢驗(yàn)數(shù)據(jù)中異常值的最常用方法。與格拉布斯法（Grubbs）、3σ 法、z分?jǐn)?shù)法等不同的是，箱線圖法既可以用作服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)異常值的判斷，也可以用作不服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)異常值的判斷，從而拓展了這種方法的適用范圍。

箱線圖（Boxplot）也稱(chēng)箱須圖（Box-whisker Plot），是美國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家John W.Tukey于1977年發(fā)明的[1]。箱線圖法利用數(shù)據(jù)中的五個(gè)統(tǒng)計(jì)量：最小值、下四分位數(shù)（Q1）、中位數(shù)（Q2）、上四分位數(shù)（Q3）與最大值來(lái)描述數(shù)據(jù)[2-4]。箱線圖可用于：（1）鑒別數(shù)據(jù)中的異常值，包括離群值和極端值；（2）判斷數(shù)據(jù)的偏態(tài)和尾重；（3）比較幾組數(shù)據(jù)的形狀。本文僅討論其在異常值鑒別中的應(yīng)用。

箱線圖根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)繪制，既不需要事先假定數(shù)據(jù)服從特定的概率分布，也沒(méi)有對(duì)數(shù)據(jù)作任何限制性要求，能夠真實(shí)、直觀地表現(xiàn)數(shù)據(jù)形狀的本來(lái)面貌。箱線圖判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)以四分位數(shù)和四分位距為基礎(chǔ)，較多數(shù)據(jù)的變化對(duì)四分位數(shù)影響不大，所以箱線圖判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)具有較強(qiáng)的魯棒性（Robust），檢測(cè)結(jié)果比較客觀。箱線圖法采用中位數(shù)代替平均數(shù)檢測(cè)異常值是統(tǒng)計(jì)檢測(cè)方法上的一大改進(jìn)。箱線圖法能夠有效克服數(shù)據(jù)中存在異常值時(shí)，不能測(cè)出異常值的這種掩蓋效應(yīng)（masking effect）[5]。

2 箱線圖的結(jié)構(gòu)

箱線圖由參照系（坐標(biāo)軸）、標(biāo)志物（箱體、上下四分位線、中位線、異常值截?cái)帱c(diǎn)）、檢測(cè)數(shù)據(jù)（箱體兩端的延伸線、異常值）三種成分構(gòu)成，具體見(jiàn)圖1。其中箱體的兩端分別對(duì)應(yīng)下四分位數(shù)Q1和上四分位數(shù)Q3，Q1和Q3之間稱(chēng)作四分位距（Inter Quartile Range，IQR）。上四分位點(diǎn)右邊1.5倍IQR和下四分位點(diǎn)左邊1.5倍IQR位置對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是異常值截?cái)帱c(diǎn)，異常值截?cái)帱c(diǎn)之間是內(nèi)限。上四分位點(diǎn)右邊3倍IQR和下四分位點(diǎn)左邊3倍IQR位置對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是極端值截?cái)帱c(diǎn)，極端值截?cái)帱c(diǎn)之間是外限。異常值截?cái)帱c(diǎn)以外的數(shù)據(jù)稱(chēng)作異常值，其中在內(nèi)限與外限之間的異常值為溫和異常值或離群值（Outlier，mild outliers），在外限以外的為極端異常值或極端值（Extreme，extreme outliers）。

箱線圖的結(jié)構(gòu)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) N（0，1）之間的比較見(jiàn)圖 2。其中Q3與Q1之間包含了50%的數(shù)據(jù)點(diǎn)，異常值截?cái)帱c(diǎn)之間包含了99.3%的數(shù)據(jù)點(diǎn)，非異常值誤判為異常值的概率不大于0.7%。

3 箱線圖繪制方法

第一步，計(jì)算相關(guān)值。計(jì)算下四分位數(shù)Q1、中位數(shù)Q2、上四分位數(shù)Q3的值，并計(jì)算四分位距Q3－Q1，以及 Q3＋1.5×IQR、Q1－1.5×IQR、Q3＋3×IQR、Q1－3×IQR 等值。

第二步，繪制標(biāo)志物。繪制數(shù)軸，度量單位和數(shù)據(jù)的單位一致，起點(diǎn)比最小值稍小，長(zhǎng)度比該數(shù)據(jù)全距稍長(zhǎng)；繪制箱體，在Q1和Q3對(duì)應(yīng)的位置繪制箱體左右兩個(gè)邊，Q2對(duì)應(yīng)的位置繪制中位線，詳見(jiàn)圖3（A）；繪制截?cái)嗑€，在Q3＋1.5×IQR和Q1－1.5×IQR對(duì)應(yīng)的位置繪制異常值截?cái)嗑€，在Q3＋3×IQR和 Q1－3×IQR對(duì)應(yīng)的位置繪制極端值截?cái)嗑€，詳見(jiàn)圖 3（B）。

第三步，描線、點(diǎn)。確定數(shù)據(jù)中不是異常值的最小值和最大值點(diǎn)，分別用直線連結(jié)這兩個(gè)點(diǎn)與矩形兩端，用“ ?！睒?biāo)出離群值，用“*”標(biāo)出極端值，詳見(jiàn)圖 3（C）。

4 實(shí)證分析

以仔豬價(jià)格數(shù)據(jù)為例，演示運(yùn)用SPSS繪制箱線圖的方法檢測(cè)來(lái)自148個(gè)調(diào)查點(diǎn)的仔豬市場(chǎng)價(jià)格數(shù)據(jù)中是否有異常數(shù)據(jù)（見(jiàn)表1）。

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（1）啟動(dòng)SPSS 打開(kāi)SPSS軟件，激活數(shù)據(jù)管理窗口。

（2）數(shù)據(jù)準(zhǔn)備 把數(shù)據(jù)輸入SPSS軟件的數(shù)據(jù)編輯窗口。定義變量名：采樣點(diǎn)的變量名定義為Spot；輸入原始數(shù)據(jù)，仔豬價(jià)格變量名定義為Price。

（3）操作步驟 點(diǎn)擊Analyze菜單、Descriptive Statistics...過(guò)程中的Explore，彈出Explore對(duì)話框，如圖4。

點(diǎn)擊“Plots”，打開(kāi)繪圖對(duì)話框，選中“Histogram”選項(xiàng)，如圖 5。

點(diǎn)擊“Continue”按鈕。返回“Explore”對(duì)話框，點(diǎn)擊“OK”鍵，完成計(jì)算。圖6是檢驗(yàn)結(jié)果。

結(jié)果顯示第144~147號(hào)地點(diǎn)采樣數(shù)據(jù) 60、70、72 和 80 為離群值，第148號(hào)地點(diǎn)采樣數(shù)據(jù)100為極端值。

SPSS軟件自動(dòng)生成的箱線圖中，沒(méi)有繪制異常值截?cái)嗑€和極端值截?cái)嗑€。

5 處理異常值原則討論

處理異常值的方式包括：（1）保留；（2）剔除；（3）替換，即用非異常值替換異常值；（4）修正，在找到實(shí)際原因時(shí)修正異常值。

對(duì)檢出的異常值，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)進(jìn)行判斷：（1）若無(wú)充分理由，則不得剔除或修正異常值；（2）如果有充分理由，表現(xiàn)統(tǒng)計(jì)上高度異常的，可以剔除或進(jìn)行修正；（3）被檢出的異常值，被剔除或修正的觀測(cè)值及其理由應(yīng)予記錄以備查詢。

對(duì)于本例各個(gè)檢出的異常值進(jìn)行電話核實(shí)，60、70、72 和 80 四個(gè)離群值為當(dāng)?shù)貙?shí)際仔豬價(jià)格，100這個(gè)極端值為錄入員誤報(bào)，實(shí)際值為44元/千克。經(jīng)過(guò)修正，這些值全部用于動(dòng)物衛(wèi)生狀況評(píng)估分析中。

[1]Tukey John W.Exploratory Data Analysis[M].Reading，MA:Addison-Wesley，1977:23-24.

[2]Michael Frigge，David C.Hoaglin and Boris Iglewicz.Some Implementationsof the Boxplot[J].The American Statistician，1989，43:50-54.

[3]Yoav B.Opening the Box of a Boxplot[J].The American Statistician，1988，42:257-262.

[4]Rousseeuw PJ，Ida Ruts,Tukey J W.The Bagplot:A Bivariate Boxplot[J].The American Statistician，1999，53:382-387.

[5]Bendre S M,Kale B K.Masking Effect on Tests for Outliers in Exponential Models[J].Journal of the American Statistical Association，1985，80:1020-1025.