區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一種新排序算法

史文雷, 徐 蕾

(衡水學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,河北衡水 053000)

區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一種新排序算法

史文雷, 徐 蕾

(衡水學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,河北衡水 053000)

針對(duì)區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣元素表示的特點(diǎn),定義了區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的等價(jià)矩陣族,得到了區(qū)間數(shù)互補(bǔ)矩陣一致性檢驗(yàn)方法.通過(guò)構(gòu)造一種新的求解區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的權(quán)重區(qū)間的決策模型,得到一種排序算法.最后給出一個(gè)算例,描述此方法的應(yīng)用.

區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣;一致性;排序;模糊互補(bǔ)判斷矩陣

1 引 言

由于客觀事物的復(fù)雜性、不確定性以及人們思維的模糊性和決策信息的不完全性等,決策信息有時(shí)是以區(qū)間數(shù)的形式表達(dá)的.利用元素兩兩比較的方法,人們?cè)趯?shí)踐中往往會(huì)構(gòu)造出兩類(lèi)區(qū)間數(shù)判斷矩陣,一類(lèi)是互反型區(qū)間數(shù)判斷矩陣(考慮元素的重要性程度之比),一類(lèi)是互補(bǔ)型區(qū)間數(shù)判斷矩陣(考慮元素的重要性程度之差).目前對(duì)區(qū)間判斷矩陣的研究大都集中在互反型的[1-4],而對(duì)互補(bǔ)型的研究則相對(duì)較少[5-7].這不能滿(mǎn)足區(qū)間數(shù)層次分析法的理論與應(yīng)用需求.為此,本文提出互補(bǔ)型區(qū)間數(shù)層次分析的一種排序方法.首先通過(guò)構(gòu)造包含區(qū)間數(shù)互補(bǔ)矩陣全部信息的等價(jià)矩陣族,給出了檢驗(yàn)區(qū)間數(shù)互補(bǔ)矩陣一致性的目標(biāo)規(guī)劃方法;然后以區(qū)間數(shù)互補(bǔ)矩陣的等價(jià)矩陣族構(gòu)造模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣為約束,通過(guò)優(yōu)化方法,得到了區(qū)間數(shù)互補(bǔ)矩陣的權(quán)重區(qū)間.

2 區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一致性

為方便,記N={1,2,…,n}.

定義1[8]設(shè)矩陣A=(aij)n×n.若有0≤aij≤1,并且aij+aji=1,則稱(chēng)矩陣A是模糊互補(bǔ)判斷矩陣.滿(mǎn)足以上兩者,并且對(duì)?i,j,k∈N,有aij=aik-ajk+0.5,則稱(chēng)A是一致性模糊互補(bǔ)矩陣.

定義2[9]稱(chēng)A=(Aij)n×n為區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣,如果它滿(mǎn)足

(i)Aii=[0.5,0.5](?i∈N);

(ii)Aij=A,i≠j;

(iii)Aij=[a,a],0≤a≤a≤1.

引理1 3階模糊互補(bǔ)判斷矩陣A=(aij)n×n為一致性矩陣的充要條件是:a12=a13-a23+0.5.

證用數(shù)學(xué)歸納法易證,故略.

事實(shí)上,上述等式可用矩陣表示為

由于區(qū)間數(shù)互補(bǔ)矩陣中的元素表示方案的重要性程度之差,因此其中的元素可以唯一的表示成以上形式.對(duì)于區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣,由于它的元素表示方案的重要性程度之比,因此它被唯一的表示成Aij={x|x=(a)λ(a)1-λ,λ∈[0,1]}[10].

定義3 稱(chēng)矩陣DA={D=(dij)|λij∈[0,1],i,j=1,2,…,n}為區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣A=(Aij)n×n, Aij=[a,a]的等價(jià)矩陣族.其中dij=λija+(1-λij)a,1＜i≤j≤n,λij∈[0,1],dji=1-dij.

從引理2可知,用此方法表示區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的等價(jià)矩陣族是合理的,并且保留了原判斷矩陣的所有信息.

定義4 如果區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣A=(Aij)n×n,Aij=[,]的等價(jià)矩陣族DA中至少包含一個(gè)一致性模糊互補(bǔ)判斷矩陣,則稱(chēng)矩陣A是一致的.

若矩陣D是模糊一致的,由定理1可知d1j=d1k-djk+0.5,1＜j＜k≤n成立.即

定理2 區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣A=(Aij)n×n為一致的充要條件是(2)有解.

證充分性.由于(2)有解,從而存在一組λ=(λ12,λ13,…,λn-1,n)T,使得目標(biāo)函數(shù)成立.由模糊一致矩陣的充要條件知,至少存在一個(gè)模糊一致矩陣D=(dij)n×n,即A是一致的.

必要性.由于A=(Aij)n×n是一致的,從而至少存在一個(gè)矩陣D是模糊一致矩陣,此時(shí)可有λ=(λ12,λ13,…,λn-1,n)T與D對(duì)應(yīng),即(2)有解.

3 決策模型

由于(2)式有解,即存在一個(gè)模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣,可以利用文獻(xiàn)[11]中的排序公式

得到模糊互補(bǔ)判斷矩陣的排序.代入得到

為求解區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的權(quán)重,可構(gòu)造如下的優(yōu)化模型.

進(jìn)而可以用Wi=[minωi,maxωi]表示區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣中第i個(gè)方案的權(quán)重區(qū)間,在實(shí)際應(yīng)用中可取β=(n-1)/2.

定理3 若區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣A=(Aij)n×n是一致的,則得到權(quán)重的任何局部最優(yōu)解也是全局最優(yōu)解.

證由于目標(biāo)函數(shù)和約束都是閉區(qū)間上的線性函數(shù),從而都是凸集,由文獻(xiàn)[12]知,對(duì)于凸規(guī)劃此結(jié)論成立.

4 算 例[5]

設(shè)對(duì)一決策問(wèn)題,有四個(gè)方案x1,x2,x3,x4可供選擇,專(zhuān)家在某一準(zhǔn)則下利用0.1-0.9標(biāo)度對(duì)決策方案進(jìn)行兩兩比較,得到如下的判斷矩陣.

利用(3)式的線性規(guī)劃模型,用MATLAB軟件求得各方案的區(qū)間權(quán)重為

從而由區(qū)間數(shù)的中心大小,得到方案的排序?yàn)閤2?x1?x4?x3,此排序結(jié)果與[4]一致.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了一種區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法.對(duì)于區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣不是一致的情況,還需要進(jìn)一步研究.本文對(duì)模糊互補(bǔ)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn),區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一致性問(wèn)題的研究有一定的參考價(jià)值,同時(shí)為進(jìn)一步研究其排序方法提供了一個(gè)思路.

[1] 達(dá)慶利,徐澤水.不確定多屬性決策的單目標(biāo)最優(yōu)化模型[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2002,17(1)：50-55.

[2] Stan Lipovetsky,Asher Tishleer.Interval estimation of priorities in the AHP[J].European Journal of Operational Research,1999(14)：153-164.

[3] 王緒柱,劉進(jìn)生,魏毅強(qiáng).不確定型AHP判斷矩陣的一致性概念及權(quán)重[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,1994,14(7)：16-22.

[4] 吳小歡,覃菊瑩,呂躍進(jìn).區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性及權(quán)重計(jì)算[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2007,21(5)：113-119.

[5] 徐澤水.區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種實(shí)用方法[J].運(yùn)籌與管理,2001,10(1)：16-19.

[6] 周宏安,劉三陽(yáng).區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種新方法[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,33(2)：292-294.

[7] 黃松,黃衛(wèi)來(lái).區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的拓?fù)渑判蚍椒╗J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2006,20(5)：84-89.

[8] 姚敏,張森.模糊一致矩陣及其在軟科學(xué)中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程,1997,15(2)：54-57.

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[10] 韋蘭用,韋振中.區(qū)間數(shù)判斷矩陣中區(qū)間數(shù)的運(yùn)算[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2003,33(9)：75-79.

[11] 呂躍進(jìn).基于模糊一致矩陣的層次分析法的排序[J].模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng),2002,16(2)：79-85.

[12] R Horst,P M Pardalos,N V Thoai.全局最優(yōu)化[M].黃紅選譯.北京：清華大學(xué)出版社,2003.

A New Ranking Method in the Interval Number Complementary Judgement Matrix

S H I Wen-lei, XU Lei
(College of Economics and Management,Hengshui University,Hengshui 053000,China)

By structuring equivalent matrix of interval number complementary judgement matrix,it gets a method for checking the consistency and a new decision making model of interval number complementary judgement matrix.Finally, a numerical example is given to describe the use.

intervalnumber complementary judgementmatrix;consistency;ranking;fuzzy complementary judgement matrix

C934

A

1672-1454(2010)03-0112-04

2007-10-23;[修改日期]2008-01-22

河北省科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展指導(dǎo)計(jì)劃項(xiàng)目(05457291);衡水學(xué)院一般課題(2009029,2009035)