● (杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江杭州 310023) ● (杭州第十三中學(xué)教育集團(tuán) 浙江杭州 310012)

一道“希望杯”試題的命題背景和推廣

●朱雪華(杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江杭州 310023) ●周云霞(杭州第十三中學(xué)教育集團(tuán) 浙江杭州 310012)

2010年第21屆中學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第一試試題第6題：

( )

A.p>5 B.p<5 C.p<4 D.p=5

對(duì)于初二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以用排除法直接得到答案.愛(ài)好數(shù)學(xué)的學(xué)生會(huì)詢問(wèn)具體該怎么解答，這引起了筆者的思考.

為此，先給出如下定理：

定理若y=f(x)為D上的上凸函數(shù)，滿足a+b=c+d且|a-b|≤|c-d|，則

(1)當(dāng)a=c時(shí),

f(a)+f(b)=f(c)+f(d);

(1)

(2)當(dāng)a≠c時(shí)，

f(a)+f(b)>f(c)+f(d).

(2)

分析由中值定理可知

f(c)-f(a)=f′(ξ)(c-a),其中ξ∈D;

f(b)-f(d)=f′(ζ)(b-d),其中ζ∈D.

不妨假設(shè)a≥b,c≥d，則由|a-b|≤|c-d|,得a-b≤c-d.

(1)當(dāng)a=c時(shí)，由于滿足a+b=c+d必有b=d，因此式(1)成立.

(2)當(dāng)a≠c時(shí)，由假設(shè)易知c>a>b>d,因此ξ∈(a,c),ζ∈(d,b).又f(x)為D上的上凸函數(shù)，則f″(x)<0，可知y=f′(x)在D上為減函數(shù)，由ξ>ζ,得f′(ξ)

c-a=b-d>0，

于是

f′(ξ)(c-a)

從而

f(c)-f(a)

即

f(a)+f(b)>f(c)+f(d).

易得如下推論：

對(duì)于初二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，只需在x>0,y>0時(shí)能證明：

由(a+b-1)3-(a3+b3-1)=3(a+b)(a-1)(b-1)>0，可知式(3)成立.

筆者大膽猜測(cè)此題具有如上所述高等數(shù)學(xué)的背景，同時(shí)本文得到的定理和推論在競(jìng)賽中也有著廣泛的運(yùn)用.

(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析此題參考答案如下:

函數(shù)的定義域?yàn)閇0，13].因?yàn)?/p>

因此

可見(jiàn),上面的證明也是一種優(yōu)美的證法.

此類例子不勝枚舉，本文所述定理和推論亦是證明此類無(wú)理不等式的一種簡(jiǎn)潔的方法.

[1] 匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004.

[2] 葉軍.數(shù)學(xué)奧林匹克教程[M].長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué)出版社,2009.