● (杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310024)

一個圖形的演變與推廣

●吳鋒刃(杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310024)

幾何圖形變幻莫測，一個個精美的結(jié)論更是賞心悅目，幾何思維獨特且具有豐富內(nèi)涵，分析綜合法、定性推導(dǎo)和定量計算使我們感受證法的曲折離奇；一題多解，各種證法層出不窮、千姿百態(tài)；類比聯(lián)想、加深推廣，讓人體會到碩果累累，美不勝收.本文將從欣賞數(shù)學(xué)的視角，從一個學(xué)生熟悉的圖形開始入手，探討一些幾何題之間的縱橫聯(lián)系，由表及里加深認(rèn)識、推廣，以期能鍛煉大家的幾何思維、感受幾何的獨特魅力.

1 圖形的基點梳理

如圖1，PA，PB切圓于點A，B，OP交AB于點M，PEF為割線，延長EM交圓于點G，很容易獲得以下熟悉的結(jié)論：

圖1

圖2

結(jié)論1O，G，P，E四點共圓，O，M，E，F(xiàn)四點共圓.

由OM·MP=AM2=ME·MG和PE·PF=PA2=PM·PO可得.

結(jié)論2PM平分∠EPG，MA平分∠EMF.

由點O,G,P,E共圓,得

∠EPM=∠OGM=∠OEM=∠GPM.

由點O,M,E,F共圓,得

∠EMP=∠OFE=∠OEF=∠OMF.

結(jié)論3MP與圓的交點H是△PEG的內(nèi)心.

結(jié)論4圓上任意一點E滿足EM∶EP=AM∶AP(Apollonius circle).

由結(jié)論3可得EH平分∠MEP,從而

故動點E在M,P確定的Apollonius circle上面.

2 圖形的縱向思考

(2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析由結(jié)論2可知，MK平分∠FME.又OP⊥AB，可得MP為∠FME的外角平分線，從而

于是

亦稱點P，K調(diào)和分割線段EF.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

思考2如圖3，過圓外一點P向圓作2條切線，切點為A，B，過點P作割線PEF，PCD，F(xiàn)C和ED交AB于點M,過PM作割線PST,求證：

(1997年中國數(shù)學(xué)競賽試題)

圖3

圖4

例1如圖4,H為銳角三角形PBC的垂心，由點P向以BC為直徑的圓作切線，切點為E，F(xiàn),求證:點E，H，F(xiàn)共線.

(1996年中國數(shù)學(xué)競賽試題)

顯然,這是思考2問題中的一個特殊情形.

圖5

圖6

思考3如圖5，P是△ABC內(nèi)一點，D,E分別是△APB和△APC的內(nèi)心，且AP,BD,CE相交于一點，證明:∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC.

(第37屆IMO試題改編)

∠PAB+∠PCB=∠PAC+∠PBC,

即

∠PBC-∠PCB=∠PAB-∠PAC.

而由結(jié)論1和結(jié)論2,可知∠PCB=∠OPB,即

∠PBC-∠PCB=∠POB=2∠PAK.

由結(jié)論4可知AK平分∠BAC,從而

∠PAB-∠PAC=2∠PAK，

故結(jié)論成立.

思考4如圖7，E，F(xiàn)，G，H是圓O上的4個點，F(xiàn)E，HG交于點P，F(xiàn)H，EG交于點Q，過點P作圓O的2條切線，切點為R，S，則點Q，S，M，R共線.

而由塞瓦定理和梅氏定理可得

因此P,K調(diào)和分割線段EF(注意這一結(jié)論的證明與圓O無關(guān).對于一般四邊形，只要FE,HG交于點P，F(xiàn)H,EG交于點Q即可)，點K在SR上.同理可證點K′也在SR上，從而點Q,S,M,R共線.

進一步很容易發(fā)現(xiàn)，點O為△PMQ的垂心(證明略).

圖7

圖8

3 圖形的推廣嘗試

嘗試1圖7中除點P，K調(diào)和分割線段EF外，還有點Q，M調(diào)和分割線段SR(思考2已證明)，Q，M調(diào)和分割線段KK′，且E,F,G,H這4點共圓這一條件也并非必須.即：如圖8,有以下結(jié)論：G,M調(diào)和分割線段BA(這一結(jié)論圖7中已經(jīng)給出)，F(xiàn),E調(diào)和分割線段MN，或表述為

而

嘗試2如圖9，E，F(xiàn)，G，H是圓O上的4個點，F(xiàn)E，HG交于點P，過點P作圓O的割線分別交圓O于點L，M，分別交對角線EH，F(xiàn)G于點S，T，交EG，F(xiàn)H于點Q，C，則

圖9

圖10

因此

以上3個結(jié)論的等式若采用解析法證明,則更為簡便，可將與圓的交點、與四邊形對角線的交點、與四邊形的兩邊的交點歸結(jié)為同一問題.證明如下:

x2+y2-1+λ(y-k1x+k1a)(y-k2x+k2a)=0.

它既可表示對角線所在的曲線方程,又可表示邊所在的曲線方程.設(shè)割線PLM的方程為y=k(x-a)，聯(lián)立后得

即

亦即

-a2(x1+x2)+2ax1x2=-2a+x1+x2,

代入x1+x2和x1x2驗證即得所證命題成立.