● (通州高級(jí)中學(xué) 江蘇通州 226300)

從一道聯(lián)賽題談導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的3類特殊求解策略

●張春明(通州高級(jí)中學(xué) 江蘇通州 226300)

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試中有這樣一道函數(shù)題：

聯(lián)賽組委會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案是巧妙構(gòu)造系數(shù)，利用柯西不等式求解.解答思路盡管精妙，但技巧強(qiáng)、入口窄.其實(shí)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的方法求解，無需太多技巧就可以解決.

解易求定義域?yàn)閇0,13]，且

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)最值的一個(gè)強(qiáng)有力工具.上述解題過程符合高中生的思維習(xí)慣，入手容易，運(yùn)算簡(jiǎn)單.難點(diǎn)在于求導(dǎo)函數(shù)y′=g(x)=0的零點(diǎn)，常規(guī)代數(shù)解法在這里并不實(shí)際，敏銳的“觀察力”成為解題的關(guān)鍵.反思高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的求法，有如下3種較為困難且比較特殊的題型，值得細(xì)細(xì)品味.

1 零點(diǎn)觀察型

已知導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)或符號(hào)能看出，但利用高中代數(shù)方法無法求解.

圖1

解由g(x)=0,得

即

點(diǎn)評(píng)導(dǎo)數(shù)易求，零點(diǎn)難得，唯“觀察”是破解的最優(yōu)途徑.

2 “再次求導(dǎo)”型

這里所講的“再次求導(dǎo)”有別于二階導(dǎo)數(shù).“再次求導(dǎo)”是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)的局部進(jìn)行二次求導(dǎo)，目的是通過二次求導(dǎo)后的函數(shù)的符號(hào)變化，判斷原函數(shù)的單調(diào)性情況.

(2009年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題)

解法1(適宜填空題)數(shù)形結(jié)合，略.

解法2(適宜解答題)

(1)當(dāng)x=0時(shí)，命題顯然成立.

得

g′(α)=-αsinα<0.

g(α)

即

f′(x)<0,

因此f(x)在區(qū)間(0，1]上單調(diào)遞減,得

f(x)≥f(1)=1，

故

k≤1.

點(diǎn)評(píng)解法2更具一般性.利用“二次求導(dǎo)”挖出零點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)單調(diào)性的判斷.

3 整合重組型

此法常見于利用構(gòu)造法證明不等式的題型中.當(dāng)直接構(gòu)造的函數(shù)難以求得零點(diǎn)時(shí)，可以整合重組函數(shù)表達(dá)式，重組的目標(biāo)是利于求得新函數(shù)的零點(diǎn).

思路1直接構(gòu)造.令

則

思路2可以適當(dāng)考慮適度重組整合.

嘗試途徑1過程表明,此路仍然被卡在零點(diǎn)的得到上，難以奏效(不妨一試).

h′(x)=1+lnx,

q(x)最大=q(1)=0.

由于h(x)的最小值點(diǎn)與q(x)的最大值點(diǎn)并不相等，因此q(x)

點(diǎn)評(píng)“變”的巧，故“求”的簡(jiǎn)單.2條重組途徑看似差異不大，甚至粗看上去途徑1更簡(jiǎn)單，但操作下來卻相去甚遠(yuǎn).這說明在重組的過程中，要敢于嘗試，大膽變形.要選擇適合的方案，多想一點(diǎn)，就少算一點(diǎn).

求導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)是判斷函數(shù)性質(zhì)的前提，文中所提到的3種導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的特殊求解策略是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，也是高考中的熱點(diǎn).深刻理解和熟練掌握,以期發(fā)揮導(dǎo)數(shù)更大的功能！