● (紹興市中等專業(yè)學(xué)校 浙江紹興 312000)

議高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的立體幾何問(wèn)題

●張佩麗(紹興市中等專業(yè)學(xué)校 浙江紹興 312000)

立體幾何問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中多以選擇、填空題的形式出現(xiàn).本文將立體幾何在競(jìng)賽中出現(xiàn)的問(wèn)題作一簡(jiǎn)單歸納，旨在拋磚引玉.

1 體積與體積比問(wèn)題

例1如圖1，在四面體ABCD中，P，Q分別為棱BC與CD上的點(diǎn)，且BP=2PC，CQ=2QD．R為棱AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A，B到平面PQR的距離的比值為_(kāi)_______．

(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題)

分析點(diǎn)A,B到平面PQR的距離分別為三棱錐APQR與BPQR的以三角形PQR為底的高,因此其比值等于這2個(gè)三棱錐的體積比．因?yàn)?/p>

又

得

所以點(diǎn)A，B到平面PQR的距離的比為1∶4．

圖1

圖2

說(shuō)明本題還可通過(guò)求出平面PQR與AB的交點(diǎn)來(lái)求此比值.如圖2,在面BCD內(nèi)，延長(zhǎng)PQ，BD交于點(diǎn)M，則M為面PQR與棱BD的交點(diǎn)．由Menelaus定理，知

而

于是

在面ABD內(nèi)，作射線MR交AB于點(diǎn)N，則N為面PQR與AB的交點(diǎn)．由Menelaus定理,知

而

于是

因此點(diǎn)A,B到平面PQR的距離的比為1∶4．

2 翻折問(wèn)題

圖3

圖4

圖5

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)一種虛線，沿虛線翻折可成原來(lái)的三棱錐(指三棱錐的3個(gè)面);

(2)求這個(gè)三棱錐外接球的體積.

分析要解決此剪拼問(wèn)題必須弄清4個(gè)面都直角三角形的三棱錐形狀，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)其中有3個(gè)直角三角形必須有1條直角邊長(zhǎng)相等.

(1)如圖4,取AD的中點(diǎn)H，連結(jié)HC,HB，則HC,HB為設(shè)計(jì)的虛線.

(2)如圖5,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體.可視長(zhǎng)方體的對(duì)角線為HB，其長(zhǎng)就是外接球的直徑

因此

說(shuō)明第(2)小題還可利用取BH的中點(diǎn)O，證明OB=OH=OA=OC的方法求外接圓的體積.

3 最值問(wèn)題

圖6

分析分別沿BB1,A1C1和A1B1將E，F(xiàn)所在平面展開(kāi)到同一平面內(nèi)，分別計(jì)算得

或

或

圖7

4 軌跡問(wèn)題

( )

A．拋物線 B．雙曲線 C．直線 D．圓

分析作PF⊥AD于點(diǎn)F，作EF⊥AD于點(diǎn)E，連結(jié)EF，則PE是點(diǎn)P到直線A1D1的距離.由題意得，PE2-PM2=1.又PE2=PF2+1，從而PM=PF.在平面ABCD內(nèi)，由拋物線定義知，所求點(diǎn)P的軌跡是拋物線.故選A.

說(shuō)明本例用解析法求出點(diǎn)的軌跡方程，把立體幾何中的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面解析幾何中的軌跡問(wèn)題加以求解.

5 綜合問(wèn)題

例5正四棱錐P-ABC中相鄰2個(gè)側(cè)面所成二面角的大小為θ，則θ的取值范圍是

( )

說(shuō)明本題體現(xiàn)了有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化.隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的逐步深入，對(duì)有限與無(wú)限思想的考查力度會(huì)不斷加大.這是高考命題的一個(gè)新趨勢(shì).

例6已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1cm,一只小蟲(chóng)從一個(gè)頂點(diǎn)沿棱爬到其余3個(gè)頂點(diǎn)是等可能的.

(1)這只小蟲(chóng)從點(diǎn)A出發(fā)，走了7cm，回到點(diǎn)A，中間經(jīng)過(guò)點(diǎn)A一次，有多少種不同的路線？

分析(1)這只蟲(chóng)子第2次回到點(diǎn)A，第1次回到點(diǎn)A可能是第2次，第3次，第4次，第5次,共4種情況.

(2)這只小蟲(chóng)爬行7cm有37種不同的爬法，其中回到點(diǎn)A的情況有以下幾種：

①中間沒(méi)回到點(diǎn)A；②中間回到點(diǎn)A一次；③中間回到點(diǎn)A兩次.

解(1)這只蟲(chóng)子第2次回到點(diǎn)A，若第1次回到點(diǎn)A是第2次，則有32×23種.同理可得,第1次回到點(diǎn)A是第3次，第4次，第5次，均有32×23種，故共有32×23×4=288種不同的路線.

(2)這只小蟲(chóng)爬行7cm有37種不同的爬法，其中回到點(diǎn)A的情況有以下幾種：

①中間沒(méi)回到點(diǎn)A；②中間回到點(diǎn)A一次；③中間回到點(diǎn)A兩次.

若中間沒(méi)回到點(diǎn)A，有3×25種不同的爬法；若中間回到點(diǎn)A一次，有32×23×4種不同的爬法；若中間回到點(diǎn)A兩次，只有第2次，第4次，或第2次，第5次，或第3次，第5次回到點(diǎn)A這3種可能，有33×2×3種.故回到點(diǎn)A的情況共有

3×25+32×23×4+33+2×3=546,

因此

得

n=182.

說(shuō)明第(2)小題也可用遞推思想，記Pn(n∈N*)為這只小蟲(chóng)從點(diǎn)A出發(fā)，走了ncm回到點(diǎn)A的概率,則

從而