● (紹興市高級(jí)中學(xué) 浙江紹興 312000)

簡(jiǎn)議分類討論方法的應(yīng)用

●金定森(紹興市高級(jí)中學(xué) 浙江紹興 312000)

解題總是在一定范圍(論域)內(nèi)進(jìn)行的.解題中有時(shí)要將題目條件包含的全體對(duì)象分成若干類,然后逐類討論.因此,分類討論是數(shù)學(xué)解題的一種重要策略.在分類時(shí),首先要明確分類的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn).有時(shí)還要對(duì)第一次分出的各類進(jìn)行再分類,這就是第二級(jí)分類；類似地有第三級(jí)分類；……，這種進(jìn)行多次分類的現(xiàn)象叫做連續(xù)分類.合理的分類不但是正確解題的出發(fā)點(diǎn)，而且是簡(jiǎn)捷解題的基礎(chǔ).

分類的原則是：不重不漏，即每一個(gè)題設(shè)包含的對(duì)象都必須在而且只在所分的一類中.為此，在分類時(shí)必須做到：(1)一次分類只按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；(2)連續(xù)分類則按層次逐級(jí)進(jìn)行.

1 由概念引起的分類

( )

分析由題意得

即f(x)等價(jià)于{sinx,cosx}min.故選C.

2 按圖形位置分類

例2若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是________(寫出所有可能的值).

分析要構(gòu)造出滿足條件的四面體，關(guān)鍵是根據(jù)三角形知識(shí)確定每個(gè)面上的3條棱，排除{1,1,2}，可得{1,1,1}；{1,2,2}；{2,2,2}，用這3類面(三角形)在空間中構(gòu)造出滿足條件的一個(gè)四面體.這就要進(jìn)行分類討論！

圖1

3 按模的剩余類分類

例3求出所有的自然數(shù)n，使3個(gè)整數(shù)n，n+8，n+16都為質(zhì)數(shù).

分析現(xiàn)將所有自然數(shù)n按模為3的剩余類分成3類：n=3k，3k+1，3k+2.

當(dāng)n=3k時(shí)，只有k=1時(shí)，3個(gè)整數(shù)3，11，19都是質(zhì)數(shù)；

當(dāng)n=3k+1時(shí)，

n+8=3k+1+8=3(k+3)

不是質(zhì)數(shù)；

當(dāng)n=3k+2時(shí)，

n+16=3k+2+16=3(k+6)

不是質(zhì)數(shù).

故滿足題設(shè)的自然數(shù)只有一個(gè)3.

4 按數(shù)的大小分類

例4從寫有數(shù)字111到999的3位數(shù)(其中的任一位數(shù)字不為0)卡片中任取1張，取得的3位數(shù)中任意2個(gè)數(shù)碼之和能被第3個(gè)數(shù)碼整除的3位數(shù)有________個(gè).

分析設(shè)取得的符合要求的3位數(shù)的3個(gè)數(shù)碼分別為a,b,c.

(1)若a

a+b<2c,

而a+b能被c整除，只有

a+b=c.

因?yàn)閍+c能被b整除，b+c也能被a整除，所以這樣的數(shù)組有1,2,3;2,4,6;3,6,9.組成的3位數(shù)共有18個(gè).

(2)若a=b

c=2a.

這樣的數(shù)組有1,1,2;2,2,4;3,3,6;4,4,8.組成的3位數(shù)有12個(gè).

(3)若a=b=c,組成的3位數(shù)有9個(gè).

綜上所述,符合題意的3位數(shù)共有39個(gè).

5 按相對(duì)位置分類

例5將7×7的棋盤中的2個(gè)方格染成黃色，其余的均染成綠色.若一種染色法可由另一種染色法經(jīng)過將棋盤平面旋轉(zhuǎn)后得到，則這樣的2種染法應(yīng)看作是同一種染色法，則有( )種不同的染色法.

A．298 B．300 C．306 D．309

分析將這個(gè)問題作如下分類討論：

(1)當(dāng)染成黃色的方格中有1個(gè)方格為棋盤中心格時(shí)，共有12種染法；

(2)當(dāng)中心方格未染色，但染成黃色的2個(gè)方格關(guān)于中心對(duì)稱時(shí)，也有12種染法；

(3)當(dāng)染成黃色的2個(gè)方格不屬于以上2種情況時(shí)，有48×46÷2÷4=276種染色法.

綜上所述,共有12+12+276=300種染色法.

6 制造“抽屜”分類

例6求證：從任意n個(gè)整數(shù)a1，a2，…，an中，一定可以找到若干個(gè)數(shù)，使它們的和可被n整除.

證明考察如下的n個(gè)和:

a1，a1+a2，…，a1+a2+…+ak，…，a1+a2+…+an.

若其中至少有1個(gè)能被n整除，則結(jié)論成立.

若其中沒有1個(gè)能被n整除,則將他們按模的剩余類至多可分為余數(shù)為1，2，…，n-1的n-1個(gè)類.因此,這n個(gè)整數(shù)中至少有2個(gè)整數(shù)a1+a2+…+ak和a1+a2+…+ak+…+al(l>k)對(duì)模n有相同的余數(shù).這時(shí),和數(shù)

ak+1+…+al=(a1+a2+…+ak+…+al)-

(a1+a2+…+ak),

顯然可被n整除，即結(jié)論成立.