● (紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

簡述與年份2010有關(guān)的競賽題

●虞金龍(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

在數(shù)學(xué)競賽中常常會(huì)出現(xiàn)一些與年份有關(guān)的競賽題,可分為條件中有年份與結(jié)論中有年份這2種類型.筆者自編了如下一些與年份2010有關(guān)的賽題.

那么f(1)+f(2)+…+f(2 010)的值是________.

即f(x)為偶函數(shù).因?yàn)?/p>

所以f(x)是以3為周期的函數(shù).從而

f(1)=f(-1)=1，f(2)=f(-1)=1，

f(3)=f(0)=-2,

因此

f(1)+f(2)+…+f(2 010)=

670[f(1)+f(2)+f(3)]=0.

例2設(shè)數(shù)列{an}(n≥0)滿足：

其中m,n∈N,m≥n．

(1)證明：對一切n∈N，有

an+2=2an+1-an+2；

分析(1)在已知關(guān)系式

中，令m=n，可得a0=0.令n=0，可得

令m=n+2，可得

由式(1),得

a2n+2=4an+1-2(n+1),a2=4a1-2=6,

a2n+4=4an+2-2(n+2),a2n=4an-2n，

代入式(2)，化簡得

an+2=2an+1-an+2.

(2)由an+2=2an+1-an+2，得

an+2-an+1=(an+1-an)+2，

因此數(shù)列{an+1-an}是首項(xiàng)為a1-a0=2，公差為2的等差數(shù)列，從而

an+1-an=2n+2，

于是

因?yàn)?/p>

所以

例3正整數(shù)集合的最小元素為4，最大元素為2 010，并且各元素可以從小到大排成一個(gè)公差為k的等差數(shù)列，則并集A17∪A59中的元素個(gè)數(shù)為

( )

A．119 B.120 C.151 D.154

得

從而

|A17∪A59|=|A17|+|A59|-|A1 003|=

119+35-3=151.

例4設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 010]=________.

分析當(dāng)2t≤k<2t+1時(shí)，

[log2k]=t,t=0，1,2，…,

且在區(qū)間[2t,2t+1)中的正整數(shù)有2t.設(shè)f(x)=[log2x]，注意到210=1 024，211=2 048，于是

記

S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8×28+9×29+10×210，

則

2S=1×22+2×23+3×24+4×25+5×26+6×27+7×28+8×29+9×210+10×211，

從而

S=10×211-[21+22+23+24+25+26+27+28+29+210]=10×211-211+2=18 434，

因此

[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 010]=

18 434-37×10=18 064.

例5已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2 010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2 010|(x∈R)，且f(a2-3a+2)=f(a-1),則a的值有

( )

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)

分析由題設(shè)知f(x)為偶函數(shù)，則考慮當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，恒有

f(x)=2×(1+2+3+…2 010)=2 011×2 010.

于是當(dāng)-1≤a2-3a+2≤1，且-1≤a-1≤1時(shí)，恒有

f(a2-3a+2)=f(a-1).

f(a2-3a+2)=f(a-1).

故選D．