高 瑋,洪世煌

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州310018)

0 引 言

符號(hào)模式矩陣是指元素取自集合{+,-,0}的矩陣,簡(jiǎn)稱符號(hào)模式。對(duì)于給定實(shí)矩陣B=(bij),由bij的符號(hào)為元素所組成的矩陣稱為B的符號(hào)模式,記為sgn B。用Qn表示全體n階符號(hào)模式組成的集合。對(duì)任意A∈Qn,所有與A有相同符號(hào)模式的實(shí)矩陣組成的集合{B|sgn B=A}稱為A所決定的定性矩陣類,記為Q(A)。一個(gè)實(shí)矩陣B是冪零的是指對(duì)某個(gè)正整數(shù)k,有Bk=0,即B的特征多項(xiàng)式為g(x)=xn。若存在實(shí)矩陣B∈Q(A)是冪零的,則稱符號(hào)模式A蘊(yùn)含冪零。將符號(hào)模式A中的某些非零元用零代替后得到的符號(hào)模式稱為A的子模式,也稱A為的母模式。每個(gè)符號(hào)模式都是其自身的母模式和子模式。如果對(duì)任意一個(gè)n次首項(xiàng)系數(shù)為1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式g(x),在n階符號(hào)模式A的定性矩陣類Q(A)中至少存在一個(gè)實(shí)矩陣B,使得B的特征多項(xiàng)式為g(x),則稱A為譜任意符號(hào)模式。如果一個(gè)譜任意符號(hào)模式的任意非零元被零取代后所得到的符號(hào)模式不是譜任意的,則稱該譜任意符號(hào)模式為極小譜任意符號(hào)模式。譜任意符號(hào)模式一定是蘊(yùn)含冪零的。研究譜任意符號(hào)模式矩陣的問(wèn)題最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)1中,該文基于隱函數(shù)存在定理,給出了證明一個(gè)符號(hào)模式和它的所有母模式都是譜任意的方法(見(jiàn)下面引理1)。文獻(xiàn)2給出了第一個(gè)n≥2階譜任意符號(hào)模式,文獻(xiàn)3-5等分別給出了一些譜任意符號(hào)模式。目前,尋找非零元個(gè)數(shù)最小的譜任意符號(hào)模式仍然是符號(hào)模式矩陣研究中一個(gè)重要的問(wèn)題。本文運(yùn)用冪零—雅可比方法給出了一類n≥4階極小譜任意符號(hào)模式矩陣。

1 冪零—雅可比方法

設(shè)x1,…,xn是n個(gè)變量,fi是關(guān)于x1,…,xn的函數(shù)(i=1,2,…,n),且對(duì)于所有的i,j∈{1,…,n},都存在。雅可比行列式是一個(gè)n階行列式,它的(i,j)元素為(1≤i,j≤n)。

引理1 設(shè)A是階符號(hào)模式,存在B=(bij)∈Q(A)為冪零矩陣,且B中至少有n個(gè)非零元,記為…,binjn。用變量x1,…,xn,替換B中這n個(gè)非零元得到的矩陣記為X,并設(shè)X的特征多項(xiàng)式為gx(x)=det(xI-X)=xn+f1xn-1+…+fn-1x+fn。若雅可比行列式在冪零點(diǎn)(x1,…,xn)=(bi1j1,…,binjn)處不等于零,則A的任意母模式都是譜任意的[1,3]。

上述引理所給出的方法稱為冪零—雅可比方法。

2 主要結(jié)果

本文討論下面一n類階符號(hào)模式矩陣A(其中n≥4且1≤k≤n-3):

取實(shí)矩陣B∈Q(A)有如下形式(其中ai＞0,i=1,2,…,n):

引理2 設(shè) gB(x)=det(xI-B)=xn+f1xn-1+…+fn-1x+fn,則:

(1)f1=1-a1,

f2=a2an-a1,

fi=aian-a1ai-1an,i=3,4,…,k+1(k≥2),

fk+2=ak+2-a1ak+1an(k≤n-4),

fi=(-1)k+i+2(ai-ai-1),i=k+3,k+4,…,n-2(k≤n-5),

f n-1=(-1)n+k(an-2-an-1-an)(如果k=n-3,f n-1=-a1 an-2 an+an-1+an),

fn=(-1)n+k+1(an-1-a1an);

證明 (1)將行列式det(xI-B)按最后一行展開(kāi),得:

經(jīng)整理得(1)成立。

將上式按第一行展開(kāi),然后依次將第i行的a1倍加到第i+1行,i=1,2,…,k,再分別按第1,2,…,k列展開(kāi),得當(dāng)k=n-3時(shí),類似可得

引理得證。

定理1 對(duì)于n≥4且1≤k≤n-3,A的所有母模式都是譜任意的。

證明 當(dāng)b1=1,b2=…=bk+1=2,bk+2=…=時(shí),由引理2(1)可知,B為冪零矩陣,故符號(hào)模式矩陣A蘊(yùn)含冪零,再由引理2(2),(a1+1)≠0。因此,引理1說(shuō)明了A的所有母模式都是譜任意的。

定理得證。

定理2 對(duì)于n≥4且1≤k≤n-3,A為極小譜任意符號(hào)模式矩陣。

證明 設(shè)S=(si,j)是A的一個(gè)子模式,且為譜任意的。

(1)s1,1≠0,sn,n≠0。否則Q(S)中所有矩陣的跡恒為負(fù)或恒為正,與S為譜任意相矛盾。

(2)s1,1≠0,否則Q(S)中所有矩陣均為非奇異矩陣,與為譜任意相矛盾。

(3)si,i+1≠0(i=2,…,n-1),否則Q(S)中所有矩陣均為奇異矩陣,也S與為譜任意矛盾。

(4)因?yàn)镾是譜任意的,則必存在B∈Q(S)是冪零矩陣。因?qū)θ我獬?shù)c＞0,cB∈Q(S)且cB也是冪零矩陣,又相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,故不妨設(shè)B有形式(2)。由引理2(1)中的f1=f2=…=fn=0可知ai≠0(i=1,2,…,n),從而 si,n≠0(i=1,2,…,k+1),si,1≠0(i=k+2,…,n-1),sn,2≠0。

綜合上述討論知S=A,即A為極小譜任意符號(hào)模式矩陣。

定理得證。

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