具有切換拓?fù)浜蜁r滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制研究

周武能 王天波 鐘慶昌 方建安

(東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620 中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與技術(shù)研究所無線傳感器網(wǎng)絡(luò)與通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200050) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620；上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，上海 200051) (拉夫堡大學(xué)航空與汽車工程學(xué)院，萊斯特 英國 LE11 3TU) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620)

具有切換拓?fù)浜蜁r滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制研究

周武能 王天波 鐘慶昌 方建安

(東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620 中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與技術(shù)研究所無線傳感器網(wǎng)絡(luò)與通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200050) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620；上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，上海 200051) (拉夫堡大學(xué)航空與汽車工程學(xué)院，萊斯特 英國 LE11 3TU) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620)

利用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論、Kronecker 乘積分析技巧以及自適應(yīng)控制方法，研究了具有切換拓?fù)浜蜁r滯(時滯同時包含離散和分布時滯，且網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不是固定不變的，而是按照Markov鏈進(jìn)行切換)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制問題，給出了一些同步條件和自適應(yīng)控制器的設(shè)計方法(此控制器依賴于滯后狀態(tài)和Markov鏈)，最后以數(shù)值算例說明該方法的有效性。

自適應(yīng)同步；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；時滯；Lyapunov 穩(wěn)定性

近年來，隨著因特網(wǎng)、萬維網(wǎng)、電話網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為科學(xué)研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)問題[1～4]。網(wǎng)絡(luò)同步作為網(wǎng)絡(luò)最重要的一個動態(tài)行為，已經(jīng)得到了廣泛的研究，并取得了一些重要結(jié)果[5～10]。時滯作為網(wǎng)絡(luò)中的常見現(xiàn)象，往往會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)行中出現(xiàn)振蕩和不穩(wěn)定。因此，對具有時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值[11～16]。

當(dāng)前對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究主要是針對具有固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)[8,9,11]。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，還存在著大量拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨時間隨機(jī)變化的網(wǎng)絡(luò)，此時網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量和連接邊是隨機(jī)變化的，于是對隨機(jī)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究是必要的。文獻(xiàn)[15]利用 Kronecker 乘積和隨機(jī)分析工具，研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題，而且給出了網(wǎng)絡(luò)同步條件；文獻(xiàn)[16]采用分割時滯的方法，構(gòu)造出一個新穎的Lyapunov 函數(shù)，得到了一類隨機(jī)時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步條件。

下面，筆者利用自適應(yīng)控制方法研究一類具有切換拓?fù)涞臅r滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題，給出了一些關(guān)于具有切換拓?fù)涞臅r滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步條件。

1 問題描述

用到的記號如下：Rn和Rn×m分別表示n維歐氏空間和n×m實(shí)矩陣；AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；對于給定的對稱矩陣X和Y，X≥Y(Xgt;Y)表示X-Y是一個對稱半正定矩陣(正定矩陣)；In表示n階單位矩陣；“* ”表示矩陣中關(guān)于主對角線對稱的元素；C(Rn,Rn)表示從Rn到Rn的連續(xù)向量值函數(shù)；?代表Kronecker乘積；λ(H)表示矩陣H的特征值。

考慮如下有N個節(jié)點(diǎn)通過線性耦合組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，每個節(jié)點(diǎn)是一個n維子系統(tǒng)：

Markov鏈σ(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣∏=[πij]∈Rq×q滿足：

(2)

式中：

(3)

πijgt;0(i≠j；i,j∈S)是從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率：

(4)

外耦合矩陣G(σ(t))=(gij(σ(t)))N×N∈RN×N和H(σ(t))=(hij(σ(t)))N×N∈RN×N代表網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并且按照Markov鏈σ(t)隨機(jī)跳躍；gij(σ(t))和hij(σ(t))的定義如下：如果節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間存在信息交換，則gij(σ(t))=1或hij(σ(t))=1；否則，gij(σ(t))=0或hij(σ(t))=0，而且，矩陣G(σ(t))和H(σ(t))中的元素滿足：

為描述方便，記：

σ(t)=r(r=1,2,…,q)

G(σ(t))=G(r)=GrH(σ(t))=H(r)=Hr

F(x(t))=(fT(x1(t)),fT(x2(t)),…,fT(xN(t)))T

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)可以寫成如下形式：

(5)

注1 與一些已有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果(如文獻(xiàn)[10,13～14])不同，網(wǎng)絡(luò)(1)中外耦合矩陣是隨機(jī)躍變而不是固定的，這更加符合實(shí)際。

設(shè)同步的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)是：

(6)

一般地，y(t)可能是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)、周期環(huán)或者是混沌吸引子。筆者的目的是對每個節(jié)點(diǎn)設(shè)計自適應(yīng)控制率ui(t)，使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)與y(t)同步，即：

式(1)減去式(6)，且令ei(t)=xi(t)-y(t)，得：

即：

(8)

筆者所設(shè)計的自適應(yīng)控制律為：

ui(t)=-ki(t)ei(t)-wi(t)ei(t-d)

式中，ki(t)和wi(t)是時變控制增益，滿足：

(9)

(10)

式中，αi≠0,βi≠0(i=1,2,…,N)和Pr(r∈S)分別是待定的常數(shù)和對稱正定矩陣。

自適應(yīng)控制器式(9)和式(10)依賴于誤差狀態(tài)ei(t)和滯后ei(t-d)，如果將控制律寫成：

ui(t)=-(ki(t)+wi(t))ei(t)+wi(t)(ei(t)-ei(t-d))

這正是文獻(xiàn)[17]中的滯后型PID控制器。

2 假設(shè)條件和重要引理

假設(shè)1 對于給定的狀態(tài)xi(t)和y(t)，非線性函數(shù)f(·)∈C(Rn,Rn)滿足:

(xi(t)-y(t))TP[f(xi(t))-f(y(t))]≤-η(xi(t)-y(t))T(xi(t)-y(t))

式中,Pgt;0是對稱正定矩陣;ηgt;0是已知常數(shù)。

假設(shè)2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)是連通的，也就是說，網(wǎng)絡(luò)中不存在孤立節(jié)點(diǎn)。

引理1 已知w(t):[hm,hM]→Rn是可積向量函數(shù)，則對于任意給定的正定矩陣Ω∈Rn×n和常數(shù)hmgt;0，hMgt;0,有：

式中，h1(t)和h2(t)是可微函數(shù)且滿足0lt;hm≤h1(t)≤h2(t)≤hM。

引理2[20]Kronecker乘積?具有下列性質(zhì)：

1)(A+B)?C=A?C+B?C,C?(A+B)=C?A+C?B;

2)(A?B)T=AT?BT;

3)(A?B)-1=A-1?B-1;

4)(A?C)(B?D)=AB?CD。

式中，A，B，C，D是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

記：

K(t)=diag{k1(t),k2(t),…，kN(t)}?In

W(t)=diag{w1(t),w2(t),…,wN(t)}?In

E=(1,1,…,1)T∈RNΛα=diag{α1,α2,…,αN}Λβ=diag{β1,β2,…,βN}

1-h1=μ11-h2=d2μ2

則有：

式中，Pr,Q1,Q2,Q3是對稱正定矩陣；IN是N階單位矩陣。

3 主要結(jié)論

定理1 在假設(shè)1和假設(shè)2下，如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Q3gt;0,Prgt;0(r∈S)和常數(shù)αi≠0，βi≠0(i=1,2,…,N)，ηgt;0滿足：

(11)

證明取Lyapunov函數(shù)為：

V(t)=V1(t)+V2(t)

將V1(t)和V2(t)分別沿系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌線求導(dǎo)，得:

=eT(t)(IN?Pr)[F(x(t))-F(y(t))+c1(Gr?Γ1)e(t-τ1(t))

-eT(Λα?Pr)e(t)-eT(Λβ?Pr)e(t-d)

(12)

根據(jù)假設(shè)1，有：

eT(t)(IN?Q1)(F(x(t))-F(y(t)))≤-ηeT(t)e(t)=-ηeT(t)(IN?In)e(t)

利用式(12)～(16)，得：

(17)

式中：

再利用Schur補(bǔ)引理可知，如果不等式(11)成立，則ψlt;0。所以：

注3 在定理1的證明中，筆者用的是完全平方公式而不是不等式±2aTb≤aTPa+bTP-1b，這樣得到的結(jié)果具有較小的保守性。

作為一個特例，當(dāng)σ(t)=1時，可以得到如下的推論。

推論1 在假設(shè)1和假設(shè)2下，如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Q3gt;0,Pgt;0和常數(shù)αi≠0,βi≠0(i=1,2,…,N)，ηgt;0滿足：

(18)

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)：

(19)

當(dāng)自適應(yīng)控制律不含時滯項(xiàng)時，即ui(t)=-ki(t)ei(t)，有如下推論。

推論2 在假設(shè)1和假設(shè)2下，如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Prgt;0(r∈S)和常數(shù)αi≠0(i=1,2,…,N)，ηgt;0滿足：

(20)

注4 利用Matlab中的mincx命令，可以通過求解不等式(11)得到η的最優(yōu)值。

4 數(shù)值算例

考慮一個由5個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)都是三維子系統(tǒng)以及2個切換模態(tài)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)，函數(shù)f(xi)=(-2.5xi1,-2xi2,-3xi3)T，當(dāng)取η=3,c1=0.4,c2=0.7時，假設(shè)1滿足。假定外耦合矩陣分別是：

圖1 目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌線

利用Matlab中的線性矩陣不等式工具箱，可以得到不等式(11)的可行解為:

P1=diag{0.0602,0.0648,0.0654}

P2=diag{0.0503,0.0574,0.0621}

Q1=diag{0.7842,0.7994,0.8200}

Q2=diag{0.7524,0.7449,0.7292}

Q3=diag{0.8652,0.8864,0.8964}

在自適應(yīng)控制律的作用下，誤差系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌線如圖2和圖3。圖2表明誤差系統(tǒng)是穩(wěn)定的，5個節(jié)點(diǎn)是同步的。圖3表明當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步后，控制器的增益為常數(shù)。

圖2 誤差系統(tǒng)的狀態(tài)軌線(i=1,2,…,5)

5 結(jié) 語

利用 Lyapunov-Krasovskii 穩(wěn)定性理論，完全平方公式和 Kronecker 乘積分析技巧，研究了具有切換拓?fù)浜蜁r滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制問題，得到了網(wǎng)絡(luò)同步的一些條件和控制器的設(shè)計方法。數(shù)值仿真說明筆者的方法是有效的。

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[編輯] 洪云飛

O231.5

A

1673-1409(2010)03-N001-08

2010-06-27

國家“863計劃”項(xiàng)目(2008AA042902)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61075060，60874113)；中國高等教育博士研究基金項(xiàng)目(200802550007)；上海市教委科學(xué)研究和創(chuàng)新項(xiàng)目(09ZZ66)；上海市基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(09JC1400700)；工業(yè)控制技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目。

周武能(1959-)，男，1982年大學(xué)畢業(yè)，博士，教授，現(xiàn)主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性與同步、隨機(jī)系統(tǒng)分析與綜合、魯棒H無窮控制等方面的教學(xué)與研究工作。