萬(wàn)冬梅，洪 巖

（1.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 商丘 476000；2.華北水利水電學(xué)院，河南 鄭州 450003）

0 引言

在保險(xiǎn)精算中， 經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型及其推廣模型對(duì)描述、刻畫單一風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)具有重要的作用。經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的索賠過(guò)程由poisson 過(guò)程構(gòu)成，并且保費(fèi)是固定不變的。 然而，在工作中，可變保費(fèi)情形更加真實(shí)。隨著風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的規(guī)模擴(kuò)大，不同的顧客群將要求不同的保險(xiǎn)合同， 保險(xiǎn)公司會(huì)不斷面臨推出新險(xiǎn)種的壓力。 考慮到經(jīng)典模型在刻畫險(xiǎn)種多樣性上的局限性，提出一類雙險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型，其索賠過(guò)程由復(fù)合poisson 與Cox 過(guò)程共同構(gòu)成。 此前，已有很多作者將Cox 過(guò)程理論應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)論中[1～4]。

1 雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型

1.1 條件假設(shè)

（1）假設(shè)其中一個(gè)險(xiǎn)種保費(fèi)到達(dá)過(guò)程{M1(t);t≥0}是強(qiáng)度為λ1的泊松過(guò)程，且M1(0)=0，每次保費(fèi)收入為常數(shù)c；另一險(xiǎn)種保費(fèi)到達(dá)過(guò)程{M2(t);t≥0}是強(qiáng)度為λ2的泊松過(guò)程，且M2(0)=0，但每次收到的保險(xiǎn)費(fèi)不再為常數(shù)研究，而是一系列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，記為{Yi}1∞，其分布函數(shù)為F1(x)，且二階矩存在。

（2）假設(shè)一個(gè)險(xiǎn)種理賠過(guò)程{N1(t);t≥0}是強(qiáng)度為μ1的泊松過(guò)程,N1(0)=0，理賠額是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，記為{Xi(1)}1∞，分布函數(shù)為F2(x)，且二階矩存在；另一險(xiǎn)種理賠過(guò)程{N2(t);t≥0} 是強(qiáng)度為μ2的泊松過(guò)程，N2(0)=0，理賠額是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，記為{Xi(2)}1∞，分布函數(shù)為F3(x)，且二階矩存在。

（3） 設(shè)以上所涉及的4 個(gè)泊松過(guò)程和3 個(gè)隨機(jī)變量序列是相互獨(dú)立的，并且設(shè)始準(zhǔn)備金為μ。

1.2 建立模型

在3 個(gè)假定條件約束下，盈余過(guò)程{U1(t);t≥0}為：

過(guò)程{S1(t)t≥0}表示保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t 的盈余部分。

設(shè)T=inf{t:t＞0 且U（t）＜0}表示保險(xiǎn)公司破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)刻（當(dāng)T=∞時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意t＞0 均有U（t）＜0，即保險(xiǎn)公司破產(chǎn)不會(huì)發(fā)生）。這里沒(méi)有考慮保險(xiǎn)業(yè)務(wù)涉及的除了保費(fèi)和理賠以外的其他影響盈余資本因素，如附加費(fèi)和保單所有人的分紅等問(wèn)題。

由以上分析得出保險(xiǎn)公司的最終破產(chǎn)概率為：

2 估計(jì)破產(chǎn)概率

用類似經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)理論的方法推導(dǎo)出這一風(fēng)險(xiǎn)模型下最終破產(chǎn)概率的一般表達(dá)方式和Luindberg 不等式。

2.1 一般表達(dá)式的推導(dǎo)

雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的一般表達(dá)式為： 對(duì)于盈余過(guò)程{S(t)；t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得：E[e-rS(t)]=etg(r)，并且g(r)=λ1(e-rc-1)+λ2[MY(-r)-1]+μ1[MX1(r)-1]+μ2[MX2(r)-1]。

該式的證明過(guò)程為：

其中：MY=(-r)=E(e-rY),MX1(r)=E(e-rX(1))，MX2(r)=E(e-rX(2)).

令：g(r)=λ1(e-rc-1)+λ2[MY(-r)-1]+μ1[MX1(r)-1]+μ2[MX2(r)-1]。

得：E[e-rS(t)]=etan(r)。

2.2 不等式的推導(dǎo)

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)模型{U(t);t≥0}，最終破產(chǎn)概率為：

（R 為調(diào)節(jié)系數(shù)，是方程g(r)=0 當(dāng)r＞0 時(shí)的唯一正解）。

該式的證明過(guò)程為：對(duì)于任意的t＞0，r＞0，有

當(dāng)R=g 時(shí)，g(R)=0,故E[e-Ru(x)]=e-Ru，將其代入(1)得：

當(dāng)T≤t 時(shí),令U(t)=U(T)+[U(t)-U(T)]=

因?yàn)镋[e-RU(t)｜T≤t]Pr(T≤t)=E[e-RU(t)｜T≤t｜]Pr(T≤t).

當(dāng)t→∞時(shí)，limE[e-RU(t)｜T≤t｜]Pr(T≤t)=E[e-RU(t)｜T＜∞｜]Pr(T＜∞).

下證當(dāng)t→∞時(shí)，式(2)右端第二項(xiàng)為零。

因?yàn)椋篍[U(t)]=u+(cλ1+λ2p1-μ1p1(1)-μ2p1(2))·t

Var[U(t)]=u+(c2λ1+λ2p2-μ1p2(1)-μ2p2(2))·t

記α=cλ1+λ2p1-μ1p1(1)-μ2p1(2)，β2=c2λ1+λ2p2-μ1p2(1)-μ2p2(2).

考慮，q(t)=u+αt-βt，因α＞0，在t 充分大時(shí)，q(t)=u+αt-βt＞0。

因此，E[e-RU(t)｜T＞t｜]=

E[e-RU(t)｜T＞t,0≤U(t)≤q(t)]Pr[0≤U(t)≤q(t)]+

E[e-RU(t)｜T＞t,U(t)＞q(t)]Pr[U(t)＞q(t)]≤

Pr[0≤U(t)≤q(t)]+exp[-Rq(t)].

由契比雪夫不等式得：0≤Pr[0≤U(t)≤q(t)]≤

當(dāng)t→∞時(shí)，0≤E[e-RU(t)｜T＞t]≤t +exp[-Rq(t)]→0.

所以，e-Ru=φ(u).E[e-RU(t)｜t＞∞],

3 結(jié)語(yǔ)

在雙險(xiǎn)種的條件約束下，根據(jù)給定的初始狀態(tài)，求出了滿足破產(chǎn)概率的方程。根據(jù)建立的風(fēng)險(xiǎn)模型，推導(dǎo)出了破產(chǎn)概率的兩種表達(dá)式。在風(fēng)險(xiǎn)控制中，破產(chǎn)概率表達(dá)式用于風(fēng)險(xiǎn)定量分析， 可以起到有效防控風(fēng)險(xiǎn)的作用。

[1] 蔣志明，王漢興. 一類多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000（01）：9-16.

[2] 黃曉鐘， 彭勤文. 一類多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型及其破產(chǎn)概率[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（04）：306-310.

[3] 鐘朝陽(yáng). 一推廣后的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J]. 科技信息，2009（08）：367-369.

[4] 徐懷. 保費(fèi)收入是復(fù)合泊松過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[M]. 合肥工業(yè)大學(xué)，2004.