僅有相對視線角測量時的橢圓軌道交會相對導(dǎo)航分析*

劉 濤， 解永春

(1.北京控制工程研究所,北京 100190; 2.空間智能控制技術(shù)國家級重點實驗室,北京 100190)

僅有相對視線角測量時的橢圓軌道交會相對導(dǎo)航分析*

劉 濤1,2， 解永春1,2

(1.北京控制工程研究所,北京 100190; 2.空間智能控制技術(shù)國家級重點實驗室,北京 100190)

對僅有相對視線角測量時的橢圓軌道交會相對導(dǎo)航問題進行了分析.借鑒已有研究成果，給出僅有相對視線角測量時，相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀的定義，以及為使系統(tǒng)可觀，加速度項所需滿足的充分必要條件；分析指出由于相對動力學(xué)模型誤差的存在，相對導(dǎo)航系統(tǒng)始終是可觀的，但可觀度很弱；而追蹤器進行適當(dāng)?shù)臋C動可極大改善系統(tǒng)的可觀性，給出為使系統(tǒng)可觀，機動加速度具體所需滿足的充分必要條件；指出當(dāng)通過施加機動加速度改善系統(tǒng)的可觀性時，獲取零輸入相對位置矢量方向是前提條件，并論證了利用相對視線角測量信息，可以對零輸入相對位置矢量方向進行估計和預(yù)測.

橢圓軌道交會；相對視線角；相對導(dǎo)航；可觀性

相對視線角是交會對接中比較容易獲得的相對測量信息.在交會過程中，由于故障等原因可能造成敏感器部分功能失效；另外，微小衛(wèi)星作為追蹤器時，由于星上空間和能耗等限制因素，使得星上只能配備一些簡單的相對測量敏感器.以上兩種情況中都有可能導(dǎo)致追蹤器僅僅能夠獲得相對視線角測量而無法直接獲得相對距離測量.

目前，有關(guān)僅獲得相對視線角測量時的相對導(dǎo)航問題的研究還比較少.文獻[1]討論了由宇航員利用六分儀等簡單設(shè)備測量相對視線角進行交會的可行性，指出追蹤器進行主動機動可以使相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀；文獻[2-3]通過數(shù)學(xué)仿真手段，利用線性協(xié)方差分析方法，對僅有相對視線角測量并輔助有追蹤器機動情況下的相對導(dǎo)航問題進行了分析；文獻[4-5]對該問題進行了比較深入的探討，給出了為使系統(tǒng)可觀，軌道機動加速度所需滿足的充分必要條件.

文獻[1-5]均針對近地近圓軌道交會問題，以Hill方程為基礎(chǔ)進行了討論，而對僅有相對視線角測量時的橢圓軌道交會相對導(dǎo)航問題，目前還沒有明確的結(jié)論，本文將主要借鑒文獻[4-5]的研究成果，對該問題進行研究.

1 相對導(dǎo)航系統(tǒng)描述

橢圓軌道交會中，兩個航天器相距較近時，可以采用線性相對動力學(xué)模型，即T-H方程對相對運動進行近似描述.建立如下相對導(dǎo)航坐標系：原點為目標航天器的質(zhì)心，z軸指向地球的質(zhì)心，y軸垂直于z軸，指向軌道角速度方向，x軸與z、y軸構(gòu)成右手系.在該坐標系中，T-H方程具體形式為

(1)

(2)

則式(1)所示的線性時變系統(tǒng)可寫為如下狀態(tài)方程形式：

(3)

式中，

(4)

(5)

由追蹤器指向目標器的相對視線由仰角α和方位角β描述，相應(yīng)的測量方程為

(6)

(7)

式中，v為測量噪聲，Crm為相對導(dǎo)航坐標系到敏感器測量坐標系的方向余弦陣.

2 相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀的定義

如式(3)所示的線性時變系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)方程完全由目標器軌道參數(shù)決定，而目標器軌道可以認為是實時已知的，故狀態(tài)方程可以認為是實時已知的.另外，追蹤器機動加速度也可以認為是已知的.可見，在初始時刻相對狀態(tài)已知時，以后各時刻的相對狀態(tài)均可直接求得.所以，相對導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀問題可以歸結(jié)為初始時刻相對狀態(tài)的確定問題.

借鑒文獻[4]的思想，在僅可獲得相對視線角測量時，給出橢圓軌道交會相對導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀性定義.

定義1.從任一初始時刻t0開始，在一定的觀測時段內(nèi)(t0lt;tlt;tf)，對于任意不同初始相對狀態(tài)，所得到的相對視線角測量各不相同，則相對導(dǎo)航系統(tǒng)是可觀的.要注意的是，定義中所指的視線角測量不考慮測量誤差.

rt=Φrr(t,t0)r0+Φrv(t,t0)v0

(8)

相應(yīng)的視線單位矢量為

(9)

(10)

由定義1可知，該情況下相對導(dǎo)航系統(tǒng)是不可觀的.

而若u≠0，t時刻的相對位置可表達為

=rb,t+δrt

(11)

式中，rb,t是t時刻系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，這里稱為零輸入相對位置矢量，δrt是t時刻系統(tǒng)的相對位置增量.由定義1容易得到，使系統(tǒng)滿足相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀性定義的充分必要條件如下.

條件1.對于?κgt;0,κ≠1，均?t∈(t0,tf)使得式(12)成立：

(12)

下面將分別就相對動力學(xué)模型誤差等效加速度和追蹤器軌道機動加速度對系統(tǒng)可觀性的影響進行分析.

3 相對動力學(xué)模型誤差對系統(tǒng)可觀性的影響

橢圓軌道交會相對動力學(xué)模型本質(zhì)上是非線性系統(tǒng)，T-H方程是對非線性系統(tǒng)線性化后得到的模型，因而存在建模誤差，可將模型誤差的影響等效看作是外力引起的加速度.本節(jié)將研究模型誤差對相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀性的影響，主要考慮二階模型誤差的影響，其他高階項的影響與此類似.

若考慮引力加速度的二階項，則相對動力學(xué)模型可寫為

(13)

式中，

(14)

其中Rt為目標器地心距.加速度項g2的具體值由真實相對狀態(tài)決定，為便于分析，可以用標稱相對狀態(tài)，即由T-H方程根據(jù)初始相對狀態(tài)計算得到的相對狀態(tài)，代替真實值進行分析.

由式(14)可知，當(dāng)初始狀態(tài)為

時，不同初始狀態(tài)對應(yīng)的模型誤差等效加速度始終滿足

(15)

接下來分析如下結(jié)論：對任意標量函數(shù)a(t)，均?t∈(t0,tf)，使得

≠a(t)[Φrr(t,t0)r0+Φrv(t,t0)v0]

(16)

要嚴格的通過解析方式驗證式(16)成立，可以按照文獻[6]的方法對相對動力學(xué)模型進行變量代換后進行分析，但由于系統(tǒng)是時變系統(tǒng)，該方法很繁瑣，不便于問題的說明.本文借鑒文獻[4]的做法，選擇從定性的角度對該問題進行分析：式(13)右端第一項的特點是x軸方向和z軸方向的運動與y軸方向的運動是解耦的，而由g2的形式可以看到，x,z與y存在耦合項，因此式(16)是成立的，說明對于?κgt;0,κ≠1一定?t∈(t0,tf)，使得式(17)成立

(17)

分析式(17)可知：任何初始狀態(tài)所對應(yīng)的相對視線角測量都不可能相同，進而由定義1可知相對導(dǎo)航系統(tǒng)是可觀的.

通過以上分析可知，由于存在模型誤差，所以相對導(dǎo)航系統(tǒng)始終是可觀的.但是，相對距離比較近時，模型誤差很小，對相對軌跡的影響也很弱，即不同初始條件下的相對軌跡可以很接近，利用帶有測量誤差的相對視線角測量可能根本無法區(qū)分出相對軌跡的不同，所以相對導(dǎo)航精度會很差.以上分析并不直觀，下面本文利用基于奇異值分解的可觀度分析方法[8]，對以上問題進行進一步深入分析.

考慮一般的線性時變離散系統(tǒng)

(18)

式中，X(k)為n維狀態(tài)向量，Z(k)為m維輸出向量，A(k)、b(k)、H(k)和c(k)是取決于時刻k的時變矩陣.

令

(19)

定義各個狀態(tài)的可觀度為

(20)

如式(20)所示，定義系統(tǒng)第i個狀態(tài)的可觀度，等于對系統(tǒng)可觀性矩陣Q(k)進行奇異值分解后，利用奇異值倒數(shù)加權(quán)右奇異矩陣VT的第i列向量所得范數(shù)的倒數(shù).本方法的特點是利用狀態(tài)變化對相應(yīng)輸出變化的影響大小作為狀態(tài)可觀度的描述, 物理意義很明確.

以式(13)作為狀態(tài)方程，式(5)作為測量方程，下面利用可觀度分析方法就未建模動態(tài)對相對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響進行數(shù)學(xué)仿真分析.需要指出的是：式(13)為非線性連續(xù)系統(tǒng)，需要進行線性化和離散化處理后才能進行系統(tǒng)的可觀度分析.設(shè)定目標器軌道高度為400 km,偏心率為0.05，初始狀態(tài)為

真實相對軌道通過目標器和追蹤器軌道動力學(xué)模型進行求解，相應(yīng)參數(shù)設(shè)定為l=6.

由圖1可見，相對位置在所有時刻的可觀度均大于零，從而說明由于建模誤差的影響，系統(tǒng)的確是可觀的.但是，除y軸外，x軸和z軸的可觀度都很小.可觀度小意味著狀態(tài)間的差別比較小時，由此造成的系統(tǒng)輸出間的偏差會更小，因此利用帶有誤差的測量很難區(qū)分出不同的狀態(tài)，所以濾波估計精度會很差.

圖1 相對位置的可觀度

4 追蹤器機動加速度對系統(tǒng)可觀性的影響

相對動力學(xué)模型誤差是系統(tǒng)固有的，由前面分析可知模型誤差使得相對導(dǎo)航系統(tǒng)始終可觀，但可觀程度很弱.與相對動力學(xué)模型誤差不同，追蹤器軌道機動加速度通過人為施加，其大小和方向已知，故容易分析其對相對運動的影響.文獻[1-5]中均指出，通過施加適當(dāng)?shù)能壍罊C動加速度可以改善相對導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀性.下面針對橢圓軌道交會問題，就軌道機動加速度對相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀性的影響進行分析.

4.1軌道機動加速度所應(yīng)滿足的充分必要條件

式(12)已經(jīng)給出了為使相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀，加速度應(yīng)滿足的充分必要條件，但該條件應(yīng)用起來并不方便.由于系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)，文獻[4]中的結(jié)論仍適用，追蹤器進行機動時，橢圓軌道交會相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀的充分必要條件[4]可表述為：對于?λgt;0,λ≠1，若系統(tǒng)滿足條件2或條件3，則相對導(dǎo)航系統(tǒng)是可觀的.

條件2.在觀測時段(t0,tf)內(nèi)，對于任意標量函數(shù)a(t)，均?t∈(t0,tf)使得δrt≠a(t)rb,t；

條件3.在觀測時段(t0,tf)內(nèi)，雖然存在標量函數(shù)a(t)，使得任意時刻δrt=a(t)rb,t成立，但同時?t∈(t0,tf)，使得a(t)lt;-1.

4.2系統(tǒng)可觀的幾何解釋

圖2中的rb為零輸入相對位置矢量，δr為相對位置增量，r是真實相對位置矢量，θ為rb與r間的夾角.實際系統(tǒng)中，確定制導(dǎo)律后δr即為已知，r的方向可通過敏感器測量得到，所以若rb的方向已知，并且?t∈(t0,tf)，使得0lt;θ(t)lt;180°,則由圖2所示，矢量r和rb均可確定，即滿足條件2時，系統(tǒng)是可觀的；當(dāng)θ=180°時，則意味著?t∈(t0,tf)，使得追蹤器穿過目標器，在該時刻可以確定出矢量rb，即滿足條件3時，相對導(dǎo)航系統(tǒng)同樣可觀.

圖2 系統(tǒng)可觀的幾何解釋示意圖

4.3零輸入相對位置矢量方向的獲取

由4.2節(jié)中的分析可知，實時獲得零輸入相對位置矢量rb的方向是通過追蹤器機動改善系統(tǒng)可觀性的前提，下面將從非線性系統(tǒng)可觀性分析的角度，論證經(jīng)過一定時段的觀測后，系統(tǒng)能對rb的方向變化進行精確預(yù)測.

為便于分析，這里的相對視線定義為相對導(dǎo)航坐標系中由目標器指向追蹤器的連線，這與第1節(jié)中所定義的測量坐標系中的相對視線不同，但這并不影響分析結(jié)論的正確性.相對導(dǎo)航坐標系中相對狀態(tài)與球面坐標系中相對狀態(tài)間的關(guān)系如下：

(21)

將式(21)代入式(1)，并設(shè)

(22)

可以得到

(23)

(24)

(25)

(26)

對于一般的非線性系統(tǒng)

(27)

Z=h(X)+v

(28)

式中w為過程噪聲，其可觀性有以下結(jié)論.

引理1[7].如果系統(tǒng)滿足能觀性秩條件，那么系統(tǒng)是局部弱可觀的.

對于式(23)～(26)所描述的非線性系統(tǒng)可以得到以下結(jié)論.

定理1.空間橢圓軌道交會相對導(dǎo)航中，若僅僅利用視線仰角α和方位角β作為測量量時，由式(23)～(26)所描述的系統(tǒng)是局部弱可觀的.

證明.對于式(23)～(26)描述的系統(tǒng)，易知

(29)

(30)

(31)

式(31)中的“*”表示矩陣中的元素，由于其具體形式不影響定理的證明，所以未給出.設(shè)

(32)

若rank(Θ1)lt;5，則意味以下兩式同時成立

(33)

(34)

進而可推得

(35)

4.4影響相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀性的兩個重要因素

利用相對視線角測量進行相對導(dǎo)航設(shè)計的關(guān)鍵是如何利用相對視線角來確定相對距離.相對距離確定的精度直接影響到相對導(dǎo)航的精度，所以相對距離的確定精度可以作為系統(tǒng)可觀性強弱的定性描述手段.下面分別分析相對視線角測量誤差和零輸入相對位置矢量方向確定誤差對相對距離確定精度的影響.

(1)視線角測量誤差[4]

若相對視線測量存在誤差ε，由圖3所示，容易得到

(36)

當(dāng)ε?1時，由式(36)可以得到

(37)

進行變型可以得到

(38)

可見，相對距離的確定誤差與測量誤差成正比，而與sinθ大致成反比關(guān)系，所以為提高相對距離的確定精度，應(yīng)該提高相對視線角測量精度以及采用適當(dāng)?shù)臋C動加速度，使θ接近90°.

(2) 零輸入相對位置矢量方向確定誤差

假設(shè)零輸入相對位置矢量rb的方向確定存在Δθ的誤差，由圖4容易得到

(39)

當(dāng)Δθ?1時，由式(39)得

(40)

進而有

(41)

圖4 零輸入相對位置方向確定誤差對相對距離確定的影響

可見，相對距離的確定誤差與標稱位置方向確定誤差成正比，而與sinθ大致成反比關(guān)系，所以為提高相對距離的確定精度，應(yīng)該提高零輸入相對位置方向的確定精度.

5 數(shù)學(xué)仿真

本節(jié)將針對由式(1)和式(5)描述的系統(tǒng)，驗證追蹤器進行主動軌道機動能夠改善相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀性的結(jié)論.仿真所采用的真實數(shù)據(jù)與第3節(jié)中的相同.設(shè)定相對視線角測量噪聲設(shè)定為零均值高斯白噪聲，方差陣為

R=10-5×diag{2.4435,2.4435}

設(shè)定追蹤器在第1次穿過x軸，即相對位置z=0時，通過脈沖進行主動機動，脈沖大小為Δv=-0.5vt，其中vt為變軌時刻的真實相對速度； 濾波周期設(shè)定為1s，濾波器初始值設(shè)定為

其中，q為6維零均值高斯白噪聲，模擬初始相對位置確定誤差，其中相對位置誤差的均方差設(shè)定為20 m，相對速度誤差的均方差設(shè)定為0.2 m/s；過程噪聲和測量噪聲協(xié)方差陣取為

仿真結(jié)果如圖5和圖6所示.

圖5和圖6中的圓圈代表追蹤器機動時刻.可以看到，在追蹤器未進行主動機動時，相對狀態(tài)的估計誤差比較大，并且未能呈現(xiàn)收斂趨勢，其中x軸和z軸相對狀態(tài)的估計精度明顯比y軸相對狀態(tài)估計精度差，這與第5節(jié)中的可觀度分析結(jié)果一致.追蹤器進行主動機動后，估計誤差明顯減小，這證實了進行主動機動的確可改善相對導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀性.

圖5 相對位置估計誤差

圖6 相對速度估計誤差

6 結(jié)束語

本文對僅有相對視線角測量時的橢圓軌道交會相對導(dǎo)航問題進行了比較全面的分析.借鑒已有的研究成果，給出了僅利用相對視線角測量時，相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀的定義，分別就相對動力學(xué)模型誤差和追蹤器機動加速度對系統(tǒng)可觀性的影響進行了分析，指出模型誤差使得相對導(dǎo)航系統(tǒng)始終可觀，但可觀程度很弱，而適當(dāng)?shù)淖粉櫰鬈壍罊C動加速度可改善系統(tǒng)的可觀性，并對所得到的結(jié)論進行了仿真驗證.僅僅利用相對視線角測量進行相對導(dǎo)航設(shè)計可以簡化相對測量系統(tǒng)，節(jié)省能耗和星上空間，在未來的交會對接中有望得到應(yīng)用，本文的研究成果為該方法在未來實際工程中得到應(yīng)用提供了理論參考.如何兼顧軌道交會和相對導(dǎo)航要求，制定合理的制導(dǎo)策略是下一步需要進一步研究的問題.

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Angles-OnlyRelativeNavigationforEllipticalOrbitRendezvous

LIU Tao1,2, XIE Yongchun1,2

(1.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190，China; 2.NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonSpaceIntelligentControl,Beijing100190，China)

The problem of angles-only relative navigation for elliptical orbit rendezvous is analyzed in this paper.On the basis of other scholars’ achievements, the definition of the observability of relative navigation system with angles-only measurements is given, and the necessary and sufficient condition the input should satisfy to make the system observable is proposed, the paper points that the system is always observable because of the existence of dynamic model error, but the degree of observability is very week; in addition，appropriate maneuvering acceleration can improve the degree of observability, and the concrete necessary and sufficient condition the maneuvering acceleration should satisfy is deduced in the paper.At last, geometrical explanation of the system observability with maneuvering acceleration shows that it is essential to know the direction of the relative position vector without regard to maneuvering acceleration, and it can be proved that the direction of the relative position vector with zero input can be estimated and predicted using measurements for relative angles.

elliptical orbit rendezvous; angles-only relative navigation; observability

V448.2

A

1674-1579(2010)02-0006-07

*國家自然科學(xué)基金(90305024)資助項目.

2009-06-28

劉濤(1980—), 男，甘肅人，博士研究生，研究方向為非線性濾波以及航天器相對導(dǎo)航 (e-mail: liut_space@126.com).