李文勝 孫健美

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，湖北 十堰 442002）

計(jì)算感生電動(dòng)勢(shì)的一種簡潔方法

李文勝 孫健美

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，湖北 十堰 442002）

介紹了在均勻圓對(duì)稱磁場(chǎng)中，無限長直導(dǎo)線上感生電動(dòng)勢(shì)計(jì)算的一種新穎、簡潔的方法.

感生電動(dòng)勢(shì)；磁場(chǎng)；概率

若均勻磁場(chǎng)被限定在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，且磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化率為該磁場(chǎng)中的“無限長”直導(dǎo)線，設(shè)導(dǎo)線被此圓所割的弦長為b，該弦所對(duì)應(yīng)的圓心角為2θ，圓心到此弦的距離為h，如圖1所示.考慮到導(dǎo)線的對(duì)稱性，則其兩端A、B間的感生電動(dòng)勢(shì)為對(duì)于放置在

圖1 “積分法”計(jì)算用圖

式中，Ek1和Ek2分別為r＜R和r＞R區(qū)域中的感生電場(chǎng)強(qiáng)度，其大小分別為：不難確定，上述感生電場(chǎng)的電力線是一組與此磁場(chǎng)同心的同心圓，其方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.把Ek1和Ek2的表達(dá)式代入式（1），并考慮到積分元處電場(chǎng)Ek與dl之間的夾角，則式（1）變?yōu)?/p>

從圖1中可見，R與r有以下關(guān)系式

由式（4）有

把式（3）和式（5）代入式（2）中，并利用關(guān)系cos α·sec α＝1，式（2）化簡為

再利用b/2＝Rsin θ，h＝Rcos θ得到“無限長”直導(dǎo)線中的電動(dòng)勢(shì)大小為

其方向是由A指向B，即B點(diǎn)的電勢(shì)高，A點(diǎn)的電勢(shì)低.以上是通常的解法，因?yàn)橛玫搅朔e分，我們不妨稱之為“積分法”.

我們也可以從另一角度考慮，既然是“無限長”直導(dǎo)線，則是否可以想象其兩個(gè)“端點(diǎn)”在無限遠(yuǎn)處相聯(lián)而構(gòu)成一個(gè)閉合的回路，通過計(jì)算回路中所穿過的磁通量對(duì)時(shí)間的變化率，求出此導(dǎo)線中的電動(dòng)勢(shì).此想象是否合理，方法是否正確，還需加以證明.

為便于對(duì)照比較，取“無限長”直導(dǎo)線與原磁場(chǎng)的相對(duì)位置仍如圖1所示.設(shè)此“無限長”直導(dǎo)線在“無限遠(yuǎn)”處相聯(lián)，構(gòu)成閉合回路ABCA，此回路圍住磁場(chǎng)的區(qū)域1，如圖2所示.設(shè)圖2中區(qū)域1的面積大小是S1，由圖中的幾何關(guān)系可得

設(shè)以順時(shí)針方向作為此回路的正方向，考慮到磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，且由法拉第電磁感應(yīng)定律，可得該回路中電動(dòng)勢(shì)是

式（9）中的負(fù)號(hào)表示回路中的電動(dòng)勢(shì)方向與原所設(shè)回路的方向相反，即ABCA回路中電動(dòng)勢(shì)的方向是逆時(shí)針方向.對(duì)AB段而言，其電動(dòng)勢(shì)方向由B指向A.

圖2 “概率法”計(jì)算用圖

顯然“無限長”直導(dǎo)線在“無限遠(yuǎn)”處相聯(lián)還可以構(gòu)成回路ABDA而圍住磁場(chǎng)區(qū)域2，如圖2所示.設(shè)區(qū)域2的面積大小為S2，由圖中幾何關(guān)系可得

仍取順時(shí)針方向?yàn)榇嘶芈返恼较?，同理由法拉第電磁感?yīng)定律，可以計(jì)算出回路ABDA中的電動(dòng)勢(shì)為

式（10）中的負(fù)號(hào)表示回路中的電動(dòng)勢(shì)與原所設(shè)回路的方向相反，即ABDA回路中電動(dòng)勢(shì)的方向是逆時(shí)針方向.對(duì)AB段而言，電動(dòng)勢(shì)的方向是由A指向B.

然而，實(shí)際計(jì)算時(shí)究竟是取ABCA回路，還是取ABDA回路？根據(jù)“無限長”直導(dǎo)線的模型，導(dǎo)線的兩“端點(diǎn)”既可以在其下方的“無限遠(yuǎn)”處相聯(lián)而構(gòu)成回路ABCA，也可以在其上方的“無限遠(yuǎn)”處相聯(lián)而構(gòu)成回路ABDA，且構(gòu)成這兩個(gè)回路中的概率相等，都為1/2.設(shè)導(dǎo)線AB兩端的電動(dòng)勢(shì)ε1、ε2是一隨機(jī)變量，其概率分別為P1和P2，其分布滿足表1.

表1 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的分布

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理，導(dǎo)線AB兩端的電動(dòng)勢(shì)期望值應(yīng)為

由上面的計(jì)算可知，ε1的實(shí)際方向由B指向A與εAB反向，而ε2的實(shí)際方向由A指向B與εAB同向.因此在計(jì)算時(shí)，應(yīng)取ε1＜0，ε2＞0，考慮到上述兩個(gè)回路存在的概率各為1/2，所以P1＝P2＝1/2.把上述條件代入式（11）并考慮到（9）、（10）兩式，可得“無限長”直導(dǎo)線AB兩端的電動(dòng)勢(shì)為

第二種計(jì)算用到了概率的概念，我們不妨稱之為“概率法”.比較式（12）和式（8）可見，對(duì)上述問題“概率法”和“積分法”所得的結(jié)果完全一致.

上面證明的是導(dǎo)線和磁場(chǎng)相交的情況，對(duì)于“無限長”直導(dǎo)線和上述特殊磁場(chǎng)的相對(duì)位置關(guān)系，還有兩種情況：一是導(dǎo)線和磁場(chǎng)不相交，即導(dǎo)線在磁場(chǎng)以外的區(qū)域；二是導(dǎo)線通過圓形磁場(chǎng)的圓心.仿照上面的計(jì)算，容易證明，對(duì)于這兩種情況，“概率法”和“積分法”所得的結(jié)果也完全相同.至此通過實(shí)例，我們就證明了用“概率法”求解上述問題的正確性.

綜上所述，對(duì)于上述“無限長”直導(dǎo)線和圓對(duì)稱均勻磁場(chǎng)，無論兩者的相對(duì)位置如何，都可以使用“概率法”方便快捷地求出導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).究其原因，一是“無限長”直導(dǎo)線的特殊性，二是法拉第電磁感應(yīng)定律的普適性.使用“概率法”求解此類問題，無需知道感生電場(chǎng)Ek的具體表達(dá)式，避免了較復(fù)雜的積分計(jì)算，物理圖像清晰，解題思路新穎，計(jì)算簡單快捷.筆者在教學(xué)中介紹這一方法，受到了學(xué)生的歡迎.更重要的是這一新方法還擴(kuò)充了直接使用法拉第電磁感應(yīng)定律ε＝－dφ/dt求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)問題的類型.這對(duì)加深學(xué)生對(duì)有關(guān)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的能力不失為一個(gè)有益的嘗試，這一嘗試在注重素質(zhì)教育、倡導(dǎo)科技創(chuàng)新的今天具有積極的意義.

［1］ 馬文蔚.物理學(xué)［M］ 中冊(cè) 第四版.北京：高等教育出版社，2005

［2］ 梁之舜.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］ 第二版.北京：高等教育出版社，2006

2009－08－23；

2010－04－13）

李文勝（1955年出生），男，湖北荊州人，湖北汽車工業(yè)學(xué)院副教授，主要從事物理教學(xué)與研究工作.