盛光進(jìn) 戴新建

（長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410004）

輸油管線的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案

盛光進(jìn) 戴新建

（長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410004）

文中針對煉油廠輸油管鋪設(shè)和火車站選址問題，考慮兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離不同的各種情形，以及共用管線與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形，利用幾何原理和二次規(guī)劃理論，建立了5個(gè)非線性優(yōu)化模型，通過對模型的求解，得到了各種情形下的輸油管線最優(yōu)設(shè)計(jì)方案．

管線鋪設(shè)；多元非線性無約束優(yōu)化模型；拉格朗日算法

1.問題1的模型建立與求解

針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的不同情形，在進(jìn)行輸油管道方案設(shè)計(jì)時(shí)，將鋪設(shè)方案分為不使用共用管線和使用共用管線兩種情形。

1.1 不鋪設(shè)共用管線的情形

在不鋪設(shè)共用管線的情形下，如圖1所示，設(shè)在點(diǎn)建設(shè)火車站，、為鋪設(shè)的輸油管線。

圖1

1.2 鋪設(shè)共用管線的情形

在鋪設(shè)共用管線的情形下，管線鋪設(shè)線路情況如圖2所示，其中O點(diǎn)表示新修的火車站，線段AG、BG表示非共用輸油管線，線段GO表示共用輸油管線。

圖2

在總費(fèi)用最小的目標(biāo)約束下，線段GO與χ軸只能是垂直的。以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CO為χ軸，直線CA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。

如圖 3，設(shè) A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a）、點(diǎn)坐標(biāo)為（N，b）、G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）、O點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），經(jīng)計(jì)算，可得管道建設(shè)費(fèi)用的最優(yōu)化模型如下：

利用拉格朗日方法［1］［2］分別對（1.2）式的x和y求偏導(dǎo)，令其都等于零，并用Matlab［3］求解上述方程組，可得其平衡點(diǎn)為：

（Ⅰ）共用管線與非共用管線費(fèi)用相同的情形由（1.3）式和（1.4）式，令 p1=p2，可知共用管線和非共用管線的交點(diǎn)G的坐標(biāo)為：

（Ⅱ）共用管線與非共用管線費(fèi)用不同的情形

2.問題2的模型建立與求解

問題2是問題1的擴(kuò)展和應(yīng)用，本問題不僅給出了問題1中各變量的具體數(shù)值，而且考慮了城區(qū)和郊區(qū)管線建設(shè)成本的不同，因此在問題1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入研究。首先判定了問題2是否需要鋪設(shè)共用管線，然后分為火車站建在郊區(qū)和建在城區(qū)兩種情況展開討論。

2.1 火車站建在郊區(qū)的情形

在火車站建在郊區(qū)的情形下，鋪設(shè)輸油管道的方案和火車站位置如圖3所示，M點(diǎn)為新建的火車站，線段AF、BE、EF為非共用輸油管線，線段FM為共用輸油管線，F(xiàn)為兩種管線的交點(diǎn)。建立平面直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖3所示。由于所有管線的單位費(fèi)用是相同的，假設(shè)為p，拆遷和工程補(bǔ)償費(fèi)用設(shè)為q，則AF、BE、EF三段管線的鋪設(shè)單價(jià)為p，BE段管線的鋪設(shè)單價(jià)為p+q，從而管線建設(shè)總費(fèi)用最優(yōu)化模型為：

圖3

運(yùn)用Matlab求解上述方程，可得的最小值。將以上的理論模型（2.1）應(yīng)用到該具體工程中。由題目可知，a=5，b=8，c=15，l=20，p=7.2。對于拆遷和工程補(bǔ)償費(fèi)q的確定，將采用以下規(guī)則計(jì)算：首先，分別使用這三個(gè)不同的估價(jià)，計(jì)算出各自的最優(yōu)方案，然后根據(jù)三家公司的資質(zhì)不同，對三家公司賦不同的權(quán)重值，由此得到一個(gè)綜合估計(jì)成本，再根據(jù)這個(gè)成本，得到問題2的最優(yōu)車站建設(shè)和管線鋪設(shè)設(shè)計(jì)方案。

對三家公司的估算結(jié)果分別賦以0.5、0.25、0.25的權(quán)重，由此得到綜合估計(jì)成本：

此時(shí)，管線總費(fèi)用優(yōu)化模型為：

運(yùn) 用 Matlab計(jì) 算 得 ：x=-9.5505，y=1.8537，z=7.3678，此時(shí)Sm=282.6973萬元。

2.3 火車站建在城區(qū)的情形

如果將火車站建設(shè)在城區(qū)，鋪設(shè)輸油管道和修建火車站示意圖如圖4所示，M點(diǎn)為新建的火車站，AE、BF、EF為非共用輸油管線，F(xiàn)M為共用輸油管線，F(xiàn)為兩種管線的結(jié)點(diǎn)。

同樣地，以O(shè)為原點(diǎn)，以鐵路線為x軸，以城鄉(xiāng)分界線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。可得管線鋪設(shè)的總費(fèi)用優(yōu)化模型為：

圖4

并運(yùn)用Matlab求解，利用綜合估計(jì)成本qm=21.5，得管線鋪設(shè)總費(fèi)用優(yōu)化模型為：

計(jì) 算 結(jié) 果 ：x=0.00000232，y=0.007687，z=0.007686，Sm=384.62萬元。

3.問題3的模型建立與求解

問題3的最優(yōu)方案設(shè)計(jì)也是分火車站建在城區(qū)和建在郊區(qū)兩種情形來討論。

3.1 火車站建在郊區(qū)的情形

將火車站建設(shè)在郊區(qū)時(shí)，與問題2的方案設(shè)計(jì)相同，如圖4所示鋪設(shè)輸油管道和修建火車站，M點(diǎn)為新建的火車站，AE、BF、EF為非共用輸油管線，F(xiàn)M為共用輸油管線，F(xiàn)為兩種管線的結(jié)點(diǎn)。

同樣以O(shè)為原點(diǎn)，以鐵路線為x軸，以城鄉(xiāng)分界線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖4所示。AE、BF、EF、FM四段管線的鋪設(shè)單價(jià)分別為 pA、（pB+q）、pB、pAB，管線建設(shè)總費(fèi)用優(yōu)化模型為：

如同問題2一樣，取q=21.5。將已知的值代入到（3.1）式中，得：

運(yùn)用 Matlab計(jì)算得：x=-8.266，y=0.139，z=7.279，Sm=251.97萬元。

此時(shí)，將火車站M建在離城鄉(xiāng)分界線8.27千米處的郊區(qū)，在鐵路線的垂線方向離火車站0.13千米處建立管線結(jié)點(diǎn)F，在城鄉(xiāng)分界線上離鐵路線7.27千米處建立管線結(jié)點(diǎn)E。AF、BE、EF鋪設(shè)非共用輸油管線，F(xiàn)M鋪設(shè)共用輸油管線，總費(fèi)用為251.9685萬元．

3.2 火車站建在城區(qū)的情形

將火車站建設(shè)在城區(qū)時(shí)，與問題2的方案設(shè)計(jì)是相同的。M點(diǎn)為新建的火車站，AF、BE、EF為非共用輸油管線，F(xiàn)M為共用輸油管線，F(xiàn)為兩種管線的結(jié)點(diǎn)。以O(shè)為原點(diǎn)，以鐵路線為x軸，以城鄉(xiāng)分界線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。管線建設(shè)總費(fèi)用優(yōu)化模型：

城區(qū)管道鋪設(shè)附加費(fèi)用綜合估計(jì)成本為：q=21.5，將已知的各變量的值代入管線建設(shè)總費(fèi)用優(yōu)化模型（3.2）式中，得：

經(jīng) 計(jì) 算 得 ：x=0.0000052，y=0.00777，z=0.00776，Sm=348.0064（萬元）。

我們把火車站建在城區(qū)內(nèi)時(shí)，最優(yōu)的建設(shè)方案是，火車站的位置非?？拷c(diǎn)，而且最優(yōu)方案的總費(fèi)用要比車站建在郊區(qū)的最優(yōu)方案成本高，這說明，在本問題中，將火車站建在城區(qū)內(nèi)是不可取的．綜合比較得：火車站應(yīng)建在郊區(qū)。

［1］盛祥耀,陳魁王,飛燕.大學(xué)數(shù)學(xué)簡明教程［M］.清華大學(xué)出版社,2005.72-95.

［2］ 梁國業(yè),廖健平.數(shù)學(xué)建模 ［M］,冶金工業(yè)出版社,2004.223-226..

［3］Durance Hanselman,Bruce Littlefield,朱仁峰譯.精通Matlab7［M］,清華大學(xué)出版社,2006.286-294.

［4］國家發(fā)展和改革委員會,工程咨詢單位資格認(rèn)定辦法［EB/OL］.http://www.sdpc.gov.cn/zcfb/zcfbl/zcfbl2005/t20050602_6090.htm,2005-03-04/2010-09-12.

O141.4 < class="emphasis_bold">［文章標(biāo)識碼］ A

A

1671-5136（2011） 03-0121-03

2011-08-26

盛光進(jìn)（1957—），男，湖南漢壽人，長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院傳播學(xué)院副教授。研究方向：高等數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)模型。