441000 湖北省襄陽市第一中學(xué) 王 勇 李 燃

438200 湖北省浠水縣實(shí)驗(yàn)高中 潘翠玲

430062 湖北大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)編輯部 曹 丹

點(diǎn)擊2011年高考數(shù)學(xué)中的圖象試題

441000 湖北省襄陽市第一中學(xué) 王 勇 李 燃

438200 湖北省浠水縣實(shí)驗(yàn)高中 潘翠玲

430062 湖北大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)編輯部 曹 丹

圖象是表示函數(shù)的一種重要形式，其最大優(yōu)點(diǎn)是直觀，給出已知條件要求學(xué)生識別圖象、根據(jù)所給圖形要求學(xué)生匹配出相應(yīng)圖象、沒有圖象要求學(xué)生數(shù)形結(jié)合巧妙地利用圖象解題等是高考考查的重要內(nèi)容之一．本文以2011年高考試題為載體，談圖象題的類型及解法．

1 識圖

給出解析式，要求學(xué)生讀懂題意，定性分析函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等，結(jié)合選擇支不難找出正確答案．

2 譯圖

圖2

圖3

綜上可知，本題應(yīng)選B．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)知識，考查識圖、譯圖及用圖的能力，難度較大．

圖6

點(diǎn)評 本題主要考查平面圖形的折疊問題、二面角以及代入法求曲線的軌跡方程等知識，綜合性較強(qiáng)，考查了空間想象能力，難度中等．

例10 (2011年江西文)如圖7，一個(gè)“凸輪”放置于直角坐標(biāo)系x軸上方，其“底端”落在原點(diǎn)O處，一頂點(diǎn)及中心M在Y軸的正半軸上，它的外圍由正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．

今使“凸輪”沿x軸正向滾動(dòng)前進(jìn)，在滾動(dòng)過程中，“凸輪”每時(shí)每刻都有一個(gè)“最高點(diǎn)”，其中心也在不斷移動(dòng)位置，則在“凸輪”滾動(dòng)一周的過程中，將其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”所形成的圖形按上、下放置，應(yīng)大致為

圖7

圖8

所以M到x軸的距離是先增大再減小再增大再減小……，呈現(xiàn)周期性的變化;最高點(diǎn)到x軸的距離一直為圓弧的半徑a．綜上所述，本題應(yīng)選A．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、數(shù)學(xué)感悟能力及實(shí)際操作能力，主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解，是一道優(yōu)秀的創(chuàng)新題．

例11 (2011年江西理)如圖9，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn) M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是

圖9

圖10

點(diǎn)評 本題綜合考查了圓的有關(guān)知識、弧長公式等，重點(diǎn)考查動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新思維能力，是一道難得的好題．

3 用圖

華羅庚指出:“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”．有些題若能借助圖象直觀去解，即數(shù)形結(jié)合，則可收到事半功倍的效果．

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

圖17

由圖可知兩函數(shù)圖象在［-3，3］上共有8個(gè)交點(diǎn)，且這8個(gè)交點(diǎn)兩兩關(guān)于原點(diǎn)對稱．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)圖象的畫法、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想及換元法的應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維、抽象概括能力，本題對能力要求較高，難度較大．

例19 (2011年重慶理)設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2-kx+2=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m+k的最小值為

A.-8 B.8 C.12 D.13

解 方程mx2-kx+2=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f( x)=mx2-kx+2在區(qū)間(0，1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

將k看作自變量，m看作函數(shù)值，畫出可行域如圖18陰影部分所示．因?yàn)閙，k均為整數(shù)，結(jié)合可行域并利用逐步調(diào)整法可知k=7，m=6時(shí)，m+k最小，最小值為13．故選D．

點(diǎn)評 本題考查一元二次方程根的分布、平面區(qū)域中整點(diǎn)最優(yōu)解的尋找方法等，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，題目綜合性強(qiáng)，難度極大．

圖18

20110726)