陳慶娥，朱恩超，劉越里

(1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001;2.天水市氣象局)

奇點(diǎn)理論在分歧理論中有廣泛的應(yīng)用，擬齊次函數(shù)和半擬齊次函數(shù)是奇點(diǎn)理論中的重要函數(shù)，從而它的性質(zhì)顯得比較重要.文獻(xiàn)[1]、[2]中都介紹了它們的一些概念，文獻(xiàn)[1]給出擬齊次函數(shù)和半擬齊次函數(shù)正規(guī)型的證明，對函數(shù)的正規(guī)型進(jìn)行了分類，但對半擬齊次函數(shù)正規(guī)型的證明采用牛頓多面體的方法證明，過程很復(fù)雜，并且是一個(gè)難點(diǎn)，本文采用文獻(xiàn)[1]中的定理7.2證明兩個(gè)有關(guān)半擬齊次函數(shù)正規(guī)型的定理.

1 基本概念與記號

定義1[1]設(shè)Cn是以x1，x2，…，xn為坐標(biāo)系的空間，我們稱解析函數(shù)f:(Cn，0)→(C，0)是次數(shù)為d的擬齊次函數(shù)，如果對所有的λ>0，存在αi使得f滿足f(λα1x1，…，λanxn)=λdf(x1，…，xn).

記A≡E0=C[[x1，…，xn]]，設(shè)型α=(α1，…，αn)，一般地，固定型α，d不一定是整數(shù)，d與αi有關(guān).

定義2 一個(gè)擬齊次函數(shù)稱為是非退化的，如果0是f的一個(gè)孤立的臨界點(diǎn).

定義3 稱單項(xiàng)式xk的次數(shù)為d，k=(k1，…，kn)，如果α1k1+…+αnkn=d.

定義4 一個(gè)冪級數(shù)(多項(xiàng)式)的階是出現(xiàn)在這個(gè)一個(gè)冪級數(shù)(多項(xiàng)式)中的單項(xiàng)式次數(shù)的最小者.若f=0，約定f的階為+∞.

記Ed為所有階大于或等于d的冪級數(shù)生成的，若d'>d，則Ed'?Ed?A.

定義5 稱函數(shù)f是半擬奇次的，如果f可表示為f=f0+f'的形式，而且(1)f0是階為d的非退化多項(xiàng)式，(2)f'的階大于d.此時(shí)也稱f是以f0為擬齊次部分的半擬奇次函數(shù).

定理1[1]設(shè)f是以f0為擬齊次部分的半擬奇次函數(shù)，且f=f0+f'，則f～f0+∑ckek，其中ck是常數(shù)，ek的次數(shù)大于d，即f0是d次擬齊次的，[ek]是E0/J(f0)的基元素，～表示右等價(jià).

符號Jxi，yjf表示由xi，yj確定的f的d-jet.

文中涉及到的其它概念與記號參見文獻(xiàn)[1-2].

2 主要內(nèi)容及證明

下面定理2，3文獻(xiàn)[1]已經(jīng)給出了證明方法，下面我們用定理1來證明它們，本文提供的方法比文獻(xiàn)[1]的方法更簡單易懂.

定理2 若jx3y，y3p+3f=x3y+y3p+3p≥1，則f～

x3y+y3p+3+bxy2p+3，其中b=b0+…+bp-1yp-1.

令f=f0+f'，

其中

f0=x3y+y3p+3，f'∈Ed'，d'>1，

因?yàn)?/p>

即f0的次數(shù)為1，所以f是以f0為擬齊次部分的半擬齊次函數(shù).

J(f0)=(x2y，x3+(3p+3)y3p+2)則

x2y∈J(f0)，x3+(3p+3)y3p+2∈J(f0)，

x2y3p+2∈J(f0)，x5+(3p+3)x2y3p+2∈J(f0)，

x3y+(3p+3)y3p+3∈J(f0)，y3p+3∈J(f0)，

故xi∈J(f0)，i≥5;yj∈J(f0)，j≥3p+3，

xiyj∈J(f0)，i≥2，j≥1，

對任意F∈E0，設(shè)F=∑αkikjxkiykj，

令F=φ1+φ2+α1x+α2x2+α3x3+

φ1中x次數(shù)≥5，φ2中y的次數(shù)≥3p+3，則φ1，φ2∈J(f0)，對于x，x2，x3項(xiàng)，它們的次數(shù)都

由于x4+(3p+3)xy3p+2∈J(f0)，

故[x4]可由[(3p+3)xy3p+2]線性表示，

對于xyi項(xiàng)，次數(shù)為

即f～x3y+y3p+3+bxy2p+3，

其中b=b0+…+bp-1yp-1.

定理3 若jx4，xy3k+2f=x4+xy3k+2，則

f～x4+xy3k+2+αx2y2k+2+by4k+3，

其中

α=α0+…+αk-2yk-2，

b=b0+…+b2k-1y2k-1.

得x4的次數(shù)為1，又由于

則xy3k+2的次數(shù)也為1.

令f=f0+f'，其中

f0=x4+xy3k+2，f'∈Ed'，d'>1，

由定理1，我們首先考慮E0/J(f0)的基元素.

J(f0)=(4x3+y3k+2，(3k+2)xy3k+1)=
(4x3+y3k+2，xy3k+1)

由于4x3+y3k+2∈J(f0)，xy3k+1∈J(f0)，則

4x4+xy3k+2∈J(f0)，xy3k+2∈J(f0)，

即4x4∈J(f0)，x4∈J(f0)，由于

x3y3k+1∈J(f0)，4x3y3k+1+y6k+3∈J(f0)，

故y6k+3∈J(f0)，對任意F∈E0，

設(shè)F=∑αkikjxkiykj，

φ1中x次數(shù)≥4，φ2中y的次數(shù)≥6k+3，則φ1，φ2∈J(f0)，由于x，x2，x3的次數(shù)都

4x3+y3k+2∈J(f0)，

則4x3yp+y3k+2+p∈J(f0)，故[x3yp]可由[y3k+2+p]線性表示，對于xyi項(xiàng)，次數(shù)為

對于yl項(xiàng)，次數(shù)為

即l≥4k+3對于x2yj項(xiàng)，次數(shù)為

即j≥2k+2，故f～f0+∑ckek，ek的次數(shù)>1，

其中f0=x4+xy3k+2，即

f～x4+xy3k+2+αx2y2k+2+by4k+3，

其中

α=α0+…+αk-2yk-2，
b=b0+…+b2k-1y2k-1.

參考文獻(xiàn)：

[1]V.I.Arnol d.Singularity Theory [M].Mathematical Society Lecture Note Series.London:London University Press，1981.

[2]施恩偉.流形上的微積分[M].北京:科學(xué)出版社，2004.

[3]V.I.Arnol d.Normal forms of functions in a neighbourhood of a degenerate critical point [J].Russian Math.Surveys，1974，29(2):10-50.

[4]李養(yǎng)成.光滑映射的奇點(diǎn)理論[M].北京:科學(xué)出版社，2002.

[5]I.Newton.The method of fluxions[M]. Mathematical papers.Cambridge:Cambridge University Press，1969.