●顏美玲 (杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310023)

“分點(diǎn)線三角形面積定理”的另證

●顏美玲 (杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310023)

《數(shù)學(xué)通訊》2007年第23期刊登了題為《分點(diǎn)線三角形面積定理》一文［1］，其中介紹了分點(diǎn)線三角形的定義及面積的有關(guān)結(jié)論如下:

定義1三角形頂點(diǎn)及對邊分點(diǎn)的連線稱為三角形的分點(diǎn)線．

定義2由三角形的分點(diǎn)線圍成的三角形稱為分點(diǎn)線三角形．

文獻(xiàn)［1］中添加了3條輔助線，利用面積之間的關(guān)系證明了上述定理．本文嘗試用復(fù)數(shù)法證明并得到了更優(yōu)美的結(jié)論．

圖1

1 預(yù)備知識

1．1 三角形面積公式

如圖1，△ABC 的邊AB，BC，CA 上的分點(diǎn)分別為 D，E，F(xiàn)，AE 和CD，BF 和 AE，CD和BF分別交于點(diǎn)P，Q，R，則CD，BF，AE稱為△ABC的分點(diǎn)線，△PQR稱為△ABC的分點(diǎn)線三角形．

定理1設(shè)△ABC的面積為S，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的分點(diǎn)，AE和CD，BF 和AE，CD 和BF 分別交于點(diǎn)P，Q，R，且AD ∶DB=λ1，BE ∶EC=λ2，CF ∶FA=λ3，則分點(diǎn)三角形△PQR的面積為

1．2 定比分點(diǎn)公式

2 復(fù)數(shù)法證明定理

證明如圖2，以B為原點(diǎn)，BC軸為實(shí)軸引進(jìn)復(fù)平面，則

圖2

注2定理1中3個分點(diǎn)分別在3條邊上，如果3個分點(diǎn)在邊的延長線上呢?根據(jù)復(fù)數(shù)法的證明不難發(fā)現(xiàn)該方法對分點(diǎn)在邊延長線上也同樣適用．故結(jié)論可統(tǒng)一為:

定理2設(shè)△ABC的面積為S，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的分點(diǎn)(分點(diǎn)在邊上或者在邊的延長線上)，直線 AE 和 CD，BF 和 AE，CD 和 BF 分別交于點(diǎn) P，Q，R，且 AD ∶DB=λ1，BE ∶EC=λ2，CF ∶FA=λ，則

［1］ 張榮遠(yuǎn)．分點(diǎn)線三角形面積定理［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2007(23):29-30．

［2］ 程其堅．怎樣用復(fù)數(shù)解題［M］．上海:上海教育出版社，1964．