簡述拋物線中一組優(yōu)美的新結(jié)論

●張乃貴 張 俊 (徐州師范大學(xué)2009級教育碩士 江蘇徐州 221116)

簡述拋物線中一組優(yōu)美的新結(jié)論

●張乃貴 張 俊 (徐州師范大學(xué)2009級教育碩士 江蘇徐州 221116)

最近在研究拋物線時，筆者發(fā)現(xiàn)了一組簡潔、優(yōu)美的新結(jié)論，現(xiàn)將之整理成文．為敘述方便，本文約定:文中所涉及的所有直線的斜率都存在，并用kAB表示直線AB的斜率．

命題1已知四邊形ABCD內(nèi)接于拋物線y2=2px(p＞0)，對邊AB，CD與x軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，2條對角線AC，BD與x軸都相交于點(diǎn)M，則

為了簡潔解決問題，先證明一個引理:

引理過拋物線y2=2px的對稱軸上一定點(diǎn)(a，0)的直線與此拋物線相交于2個點(diǎn)，則這2個點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值－2pa．

證明直線的方程可設(shè)為x=my+a，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立x=my+a

消去x得

由韋達(dá)定理得，y1·y2=－2pa為定值．

圖1

推論2拋物線y2=2px的內(nèi)接四邊形的2組對邊、2條對角線所在的3對直線中，只要有1對直線的傾斜角互為補(bǔ)角，則另2對直線的傾斜角也互為補(bǔ)角．

證明由推論1知，直線P1A，P2B的傾斜角互為補(bǔ)角等價于kP1A+kP2B=0，即

在推論3中，如果點(diǎn)P1，P2重合，那么可得推論4．

推論5拋物線C的方程為y2=2px(p＞0)，P1Q1，P2Q2是拋物線C上垂直于x軸的任意2條弦，分別過P1，P2作傾斜角互補(bǔ)的2條直線交拋物線C于另外2個點(diǎn)M，N，則直線MN∥Q1Q2．

當(dāng)點(diǎn)P1，P2重合于點(diǎn)P時，點(diǎn) Q1，Q2重合于點(diǎn)Q，直線Q1Q2成為點(diǎn)Q處的切線，便可得到

推論6經(jīng)過拋物線y2=2px(p＞0)任意一條與對稱軸垂直的弦PQ的一個端點(diǎn)作關(guān)于直線PQ對稱的2條直線交拋物線于另外2個點(diǎn)M，N，則直線MN平行于弦PQ的另一端點(diǎn)處的切線．