基于靜動載測試的既有混凝土拱橋有限元模型修正

謝瑞杰，任偉新

(中南大學土木建筑學院，湖南長沙410075)

對既有橋梁做承載能力評估或?qū)Y(jié)構(gòu)進行健康監(jiān)測時，首先要建立一個滿足工程精度要求、并且能反映現(xiàn)實橋梁結(jié)構(gòu)力學特性的有限元模型【1】。有限元模型修正技術(shù)基于優(yōu)化設計理論，可以將計算模型與實際結(jié)構(gòu)之間的力學性能差異變?yōu)樽钚　?/p>

由于橋梁工程結(jié)構(gòu)龐大，各構(gòu)件相互關(guān)系復雜，而且結(jié)構(gòu)在施工過程中的誤差和材料性能參數(shù)偏差的存在，使得實際結(jié)構(gòu)與計算模型之間是存在差異的。文獻［2］指出有限元模型不精確的因素主要來自三個方面:一是模型的結(jié)構(gòu)誤差，這由影響模型控制方程的一些不確定的因素引起的，通常與所選擇的數(shù)學模型有關(guān);二是模型的參數(shù)誤差，這是指模型的物理參數(shù)由于環(huán)境變化和生產(chǎn)制作等原因存在誤差;三是指模型的階次誤差，這是指有限元將實際連續(xù)的模型離散化所帶來的誤差。橋梁有限元模型修正一般假定結(jié)構(gòu)誤差可以通過尋找合理的數(shù)學模型來解決;階次誤差也可以通過有限元模型的網(wǎng)格離散的疏密得到最大的縮小。因而有限元模型修正的焦點是怎樣縮小第二項結(jié)構(gòu)參數(shù)帶來的誤差。

現(xiàn)場荷載試驗是獲得橋梁當前工作狀況的方法，荷載試驗包括動力測試和靜力測試。動力測試和靜力測試從不同方面反映了結(jié)構(gòu)的實際工作性能，兩者包含的信息是互補且關(guān)聯(lián)的，而不是并行的。動力測試信息中包含了結(jié)構(gòu)整體響應，對材料質(zhì)量密度、彈性模量、邊界條件等參數(shù)比較敏感，而對結(jié)構(gòu)的局部參數(shù)變化不敏感。其中頻率測試精度較高，但振型的精度較差。靜力測試中，結(jié)構(gòu)的位移測試精度較高，而且能反映結(jié)構(gòu)的整體性能和局部構(gòu)件剛度變化，比如說吊索剛度變化，而應變數(shù)據(jù)主要反映局部效應。為了增加模型修正中的可利用信息，克服單獨運用靜力或動力測試數(shù)據(jù)進行修正的局限性，因而聯(lián)合運用靜力和動力測試數(shù)據(jù)進行模型修正將會取得更好的效果，使修正后的模型更準確地反映結(jié)構(gòu)的靜力和動力方面性能。

1 工程背景

本文結(jié)合某已建公路鋼筋混凝土系桿拱橋，以該橋靜動力荷載試驗為依托，探討聯(lián)合靜動力測試數(shù)據(jù)進行模型修正的方法。該橋主跨為一孔75 m預應力鋼筋混凝土下承式剛性系桿剛性拱橋，拱肋采用鋼筋混凝土，二次拋物線型。系梁內(nèi)布置縱向預應力束，柔性吊桿由φj15.24鋼絞線組成。兩榀系桿與拱肋、風撐、橫梁及橋面板形成整體式結(jié)構(gòu)。動力測試主要內(nèi)容為頻率、振型測試以及跑車試驗;靜力測試選擇了拱頂、L/4拱肋、拱腳3個截面作為測試截面。動力測試共布置32個測點和1個參考點，其中每根吊桿下均為動力測試測點。靜力測試中系梁的8分點和拱肋的4分點均作為位移測點。在模型修正中選取其中位移較大的(A、B、C、D、E、F)6個點作為目標點，如圖1所示。

圖1 鋼筋混凝土拱橋全橋布置圖

2 初始有限元模型建立

本文基于ANSYS優(yōu)化模塊，采用APDL參數(shù)化建模的方法建立空間有限元模型。主拱肋、系桿、橫撐采用Beam44單元，采用自定義截面;吊桿采用Link8單元，全橋共24根吊桿;橋面板及橋面鋪裝層采用Shell63單元模擬。邊界條件為支座處施加自由度約束，未考慮墩的變位影響。各材料力學性能參數(shù)、截面幾何尺寸、吊桿參數(shù)等均采用原始設計值。

3 聯(lián)合靜動力有限元模型修正

3.1 有限元模型修正的主要方法

模型修正的目的在于修改初始有限元模型的參數(shù)，使得理論模型與試驗模型相接近。有限元模型修正的主要方法有【3、4】:直接修改矩陣法;設計參數(shù)法;頻率響應函數(shù)法;神經(jīng)網(wǎng)絡法;優(yōu)化法等。直接修改矩陣法在修正過程中容易失去結(jié)構(gòu)的物理意義。設計參數(shù)法基于模型的物理、幾何參數(shù)和邊界約束等參數(shù)，這使得修正的目的很明確。設計參數(shù)法一般要計算參數(shù)的靈敏度矩陣，最后歸結(jié)為一個逐步迭代的優(yōu)化問題。

3.2 參數(shù)分析與選擇

待修正參數(shù)一般選取為結(jié)構(gòu)材料性能參數(shù)、邊界條件、結(jié)構(gòu)幾何尺寸等。在建立初始有限元模型時，一般將待修正參數(shù)值選取為初始設計值或規(guī)范規(guī)定值。而在實際施工中，由于施工誤差的影響，使得參數(shù)與設計值都有所偏差。這些參數(shù)的偏差是造成計算結(jié)果與結(jié)構(gòu)實測結(jié)果不一致的原因之一。為了得到反映現(xiàn)實狀況的有限元模型，我們需要通過技術(shù)手段對這些參數(shù)的實際狀況進行估計和修正。

參數(shù)選擇分兩個步驟:參數(shù)初選與參數(shù)靈敏度分析。凡是影響結(jié)構(gòu)力學性能的參數(shù)均可作為力學參數(shù)，一般情況下選擇對結(jié)構(gòu)力學性能有著全局影響的參數(shù)作為初選參數(shù)。本橋中初步選取系梁和拱肋混凝土的彈性模量和質(zhì)量密度、橫梁的彈性模量和質(zhì)量密度、吊桿的彈性模量和吊桿面積、橋面鋪裝層厚度為待修正參數(shù)，見表1。

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初步選擇待修正參數(shù)以后，須對參數(shù)進行靈敏度分析。靈敏度分析是檢測有限元模型對待修正參數(shù)靈敏程度的分析，以便選擇較敏感參數(shù)進行修正。如果參數(shù)對目標函數(shù)變化不明顯會造成梯度矩陣病態(tài)，導致求解矩陣奇異，得不到正確解。參數(shù)靈敏度分析是將待修正參數(shù)視為目標函數(shù)或者狀態(tài)變量的多元函數(shù)，用有限差分法求偏導獲得各參數(shù)的靈敏度。由于兩者之間一般為非線性關(guān)系，其導數(shù)是不斷變化的，一般選取目標函數(shù)或狀態(tài)變量達到最優(yōu)的參數(shù)序列作為基點計算靈敏度。工程結(jié)構(gòu)模型修正中應用較多的是特征值靈敏度和位移靈敏度等。設目標函數(shù)為fr=f(x1，x2…，xn)，則目標函數(shù)梯度矩陣為式(1)，各參數(shù)靈敏度為式(2):

根據(jù)式(2)，分析各參數(shù)對各階頻率和各點位移的靈敏度，當參數(shù)增加Δxi時，計算相應的函數(shù)變化量。圖2為各階自振頻率對各參數(shù)靈敏度，圖3、圖4為各參數(shù)對兩工況下各個位移測點的靈敏度。

圖2 參數(shù)對各階頻率的靈敏度

圖3 工況一各參數(shù)對測點位移的靈敏度

圖4 工況二各參數(shù)對測點位移的靈敏度

通過參數(shù)分析可知:(1)橫梁和橋面混凝土彈性模量EC30對各狀態(tài)變量的靈敏度較小，不選取為待修正參數(shù);(2)系梁和拱肋混凝土彈性模量，橋面板厚度參數(shù)對頻率和靜力位移變化都比較敏感;(3)其他一些參數(shù)或者對頻率敏感，或者對位移敏感，這些參數(shù)都須作為待修正參數(shù)。

3.3 目標函數(shù)

有限元模型修正的一個關(guān)鍵問題就是選擇目標函數(shù)，目標函數(shù)一般選取某個指標的實測值與計算值的平方差。常用的動力指標有【5】:頻率、振型、應變模態(tài)、模態(tài)柔度、傳遞函數(shù)等;靜力指標有位移和應變。以單一指標進行優(yōu)化時往往顧及不到其他方面信息，常常達不到最優(yōu)目標，因此一般選擇兩種或幾種不同的指標。本文選取動載試驗的頻率和靜載試驗的位移殘差構(gòu)造目標函數(shù)，表達式如下式(4)、式(5)所示:

基于靜動力測試的有限元模型的目標函數(shù)須包含靜力測試數(shù)據(jù)和動力測試數(shù)據(jù)的殘差，這涉及到多目標優(yōu)化。多目標問題的解和單目標的解的是有區(qū)別的，對于單目標問題，任何兩個解都可以比較其優(yōu)劣;而對于多目標問題，任何兩個解卻不一定能比較出優(yōu)劣。

常用以下幾種辦法來解決【6】:第一種是分階段優(yōu)化，先選取對靜力位移較敏感的參數(shù)進行初步優(yōu)化，其目標函數(shù)選為位移殘差。再選取對動力測試數(shù)據(jù)較敏感的參數(shù)進行第二次優(yōu)化，目標函數(shù)選為動力測試數(shù)據(jù)殘差。由于一些參數(shù)對靜力和動力測試數(shù)據(jù)均比較敏感，第二次優(yōu)化使這些參數(shù)偏離了第一次優(yōu)化的方向，達不到最優(yōu)效果;第二種方法是統(tǒng)一目標函數(shù)，將靜力位移殘差、頻率殘差等作為統(tǒng)一的目標函數(shù)。這種方法要求動靜力測試須為等精度測量，且目標函數(shù)各項權(quán)系數(shù)分配較難把握;第三種方法是目標規(guī)劃法，先分別求出靜力數(shù)據(jù)殘差和動力數(shù)據(jù)殘差等各個目標函數(shù)的最優(yōu)值fi(x*)，然后將式(6)作為總體目標函數(shù)，將各目標做統(tǒng)一規(guī)劃。

這就意味著各目標函數(shù)離各自最優(yōu)值之和最小，本文采用了第三種方法，取得了較好的結(jié)果。

3.4 狀態(tài)變量與振型匹配

狀態(tài)變量為優(yōu)化過程中的約束條件，本文選取靜載試驗系梁3個測點(點A、B、C)和拱肋3個測點(點D、E、F，見圖1)的位移以及動載試驗中前5階自振頻率的限值作為狀態(tài)變量。優(yōu)化過程要求靜載試驗中測量的靜力位移偏差－10%～10%為限值;結(jié)構(gòu)自振頻率偏差－5%～5%為限值。

由于實測振型與計算振型階次不一致，為了保證計算模態(tài)與實測模態(tài)的振型相互匹配，引入模態(tài)相關(guān)準則MAC來保證計算振型與實測振型一致。設{φa}、{φb}分別表示計算振型和實測振型向量，則MAC值如式(7)所示。計算MAC值越接近1，兩者的相關(guān)性就越好，一般MAC≥0.8時，可認為是同一振型。

3.5 模型修正結(jié)果

參數(shù)法有限元模型修正問題最終歸結(jié)成一個非線性約束優(yōu)化的問題，用迭代法求解。由于非線性約束優(yōu)化極值點不止一個，最優(yōu)解可能是可行域內(nèi)任何一點，直接用最速下降法很容易陷入局部最小值。本文結(jié)合ANSYS優(yōu)化模塊，先用子問題逼近法取得變量空間內(nèi)一系列解，然后確定一個相對較優(yōu)的解。以此較優(yōu)解為基礎再運用最速下降法在其附近搜索最優(yōu)解。

分別計算f1(x)、f2(x)的最優(yōu)值，然后將其代入式(6)。經(jīng)過迭代計算，規(guī)劃的目標函數(shù)滿足了狀態(tài)變量限制要求，且滿足收斂條件，達到了最小值。各參數(shù)值都接近實際值，計算頻率以及計算位移與實測值差距減小。修正后模型計算頻率與實測值相差均在5%以內(nèi)，各工況位移結(jié)果與實測值差值也比較小，可以滿足工程計算需要。修正后的參數(shù)變化見表2，頻率和位移與實測值比較見表3、表4。通過比較可見修正后，各頻率和位移與實測值之差較初始計算模型均大幅減小。

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4 結(jié)論

(1)通過修正，系梁和拱肋混凝土彈性模量比設計值有較大增加。這是因為主梁和拱肋都配置較多的普通鋼筋或預應力鋼筋，而在有限元模型中未予考慮。鋼筋的存在使得截面換算抗彎常數(shù)增大，這使得在有限元模型修正中彈性模量變化較大。另外，普通鋼筋和預應力鋼筋的存在也使得混凝土質(zhì)量密度增大，修正結(jié)果也說明了這一點。

(2)靜載和動載試驗測試數(shù)據(jù)反映的信息是互補且關(guān)聯(lián)的，而不是并行的。在荷載試驗中，靜載試驗數(shù)據(jù)亦能反映橋梁結(jié)構(gòu)力學性能，而且能反映出一些動載測試數(shù)據(jù)所不能體現(xiàn)的參數(shù)變化信息。從靈敏度分析圖中可以看出，動載測試數(shù)據(jù)頻率或者振型等只對結(jié)構(gòu)的材料彈性模量、質(zhì)量密度、橋面鋪裝厚度比較敏感，與吊桿剛度無關(guān);而靜載測試數(shù)據(jù)位移、應變，卻對材料彈性模量、橋面鋪裝層厚度、吊桿剛度比較敏感，而與質(zhì)量密度無關(guān)。在本橋模型修正過程中，實測測點拱肋與系梁位移差與計算模型的拱肋與系梁的位移差能反映出吊索的剛度變化，這一點動載試驗數(shù)據(jù)達不到的。

(3)在計算過程中須時刻驗證振型是否匹配。在目標函數(shù)構(gòu)造中，定義同一振型的頻率殘差為目標函數(shù)。但是，有限元模型的計算振型和實測振型的階次并不一致，而且隨著參數(shù)的改變，同一振型的階次也在不斷變化。因此，在進行優(yōu)化迭代計算時，必須在每更改一次參數(shù)時，對計算振型的階次重新定位，這樣才能保證計算陣型與實測陣型的對應，否則模型修正就會偏離預期目標。

(4)在既有橋梁承載能力評估以及損傷檢測、健康監(jiān)測中，有限元模型修正是必不可少的一個環(huán)節(jié)。本文根據(jù)現(xiàn)場靜動載試驗數(shù)據(jù)，運用ANSYS優(yōu)化模塊，采用對多目標分別優(yōu)化，之后再進行統(tǒng)一目標規(guī)劃的方法，對某鋼筋混凝土拱橋有限元模型進行了基于動靜力層次的有限元模型修正。修正后模型的頻率和位移與實測值相比較差距更小，模型更加符合實際情況。

［1］宗周紅，任偉新，鄭振飛．既有橋梁承載能力評估方法［J］．地震工程與工程振動，2005，25(5)

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［5］Bijaya Jaishi，Wei－Xin Ren．Finite elementmodel updating based on eigenvalue and strain energy residualsusingmultiobjectiveoptimisation technique．Mechanical Systems and Signal Processing．2007

［6］白新理．結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計［M］．鄭州:黃河水利出版社，2008