含奇異項的脈沖拋物型方程猝滅時間的控制

孫仁斌

(中南民族大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢430074)

對于脈沖常微分方程的研究已有不少成果，而對于含有擴散的脈沖微分方程的研究也日益受到人們的關(guān)注．早期的工作見文獻［1］，他們考慮脈沖拋物型方程的初邊值問題，建立了極大值原理與比較原理，并對解的穩(wěn)定性進行了討論．此后，對于脈沖拋物型方程解的各種性質(zhì)的文獻日漸增多，一些重要的結(jié)果見文獻［2］-［7］．

本文考慮如下含有奇異項的脈沖拋物型方程的初邊值問題:

這里Ω是Rn中一有界開區(qū)域，具有光滑邊界?Ω，t1，t2，…，tm與T是一組給定的正數(shù)，滿足

其中v是?Ω上的單位外法向量．

關(guān)于問題(1)的解的定義及解的存在與唯一性，與文［8］中類似，此處不再重復(fù)．

定義如存在有限正常數(shù)T，使問題(1)的解滿足，就稱解u(t，x) 在有限時刻T猝滅．

對含奇異項但沒有脈沖的拋物方程初邊值問題，已有的結(jié)論是當Ω充分大時，解會在有限時刻猝滅，當Ω適當小時有整體解存在［9］．本文的工作是通過構(gòu)造上下解對脈沖源和反應(yīng)函數(shù)進行控制，使相應(yīng)解的猝滅時刻延遲，使之達到預(yù)定的時段內(nèi)．

1 上下解的構(gòu)造

問題(1)上下解的定義可參考文獻［8］．下面的引理1是已有的結(jié)論．

引理1設(shè)λ1與φ(x)是如下特征值問題的第一特征值與相應(yīng)的特征函數(shù):

則λ1＞0，且當x∈Ω時，φ(x)＞0，φ(x)可規(guī)范化，使之滿足我們?nèi)菀鬃C明下面的引理2．

引理2設(shè)α是一正常數(shù)，g(z)=z(c－z)α，則當時，g(z)單調(diào)不減，且在(0，c)內(nèi)g(z)的最大值為:

為得到本文的結(jié)果，我們引入如下2個假設(shè)．

H1設(shè)f(t，x，η)∈C1(QT×R)，且存在正常數(shù)α，b和B，使得當時，下面的不等式成立:

H2設(shè)脈沖源函數(shù)Ik(u)，(k=1，2…，m)是單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù)，且存在正數(shù)ak與Ak滿足ak≤Ak＜1，使得當η≥0時有:

這里ak與Ak起著控制脈沖源Ik的作用．

下面構(gòu)造問題(1)的上下解，先構(gòu)造下解．首先從條件(2)，我們能夠取一常數(shù)p0滿足0＜p0＜且:

令E1=(1+α)b，

則τ0＞0，假設(shè)t1滿足:

當t∈ (t0，t1) 時，定義:

則有p(t+0)=p0，p(t) ≥p0，且:

由(7)式可得:

其次，對k=1，2，…，m－1，我們按歸納的方式依次定義τ1;t2;p(t)，t∈ (t1，t2);p2;…;τk;tk+1;p(t)，t∈ (tk，tk+1);… 如下:

假設(shè)tk+1滿足0＜tk+1－tk＜τk，當時定義令:

則pk=p()，且p(t)滿足方程(10)和不等式(11)，因此并且由ak＜1有 τk＞0．

最后，令pm=am p()，當k=0，1，2，…，m－1 時，令:

引理3設(shè)H1，H2成立，u0(x)滿足(6)式，那么由(14)、(15)式定義的函數(shù)u(t，x) 是問題(1)的一個下解．

證明對k=0，1，2，…，m－1，當t∈ (tk，tk+1)，x∈Ω時，利用引理1和(10)式，有:

當t∈ (tm，T)，x∈ Ω 時，從(15)式知不等式(16)成立．

下面構(gòu)造問題(1)的上解，為此設(shè):

首先，令E2=(1+α)(B+λ1M)，其中M由(3)式給出，易知0，設(shè)t1滿足:

與構(gòu)造下解時類似，當t∈(t0，t1)時，定義:

則有q(t+0)=q0，q(t)≥q0，且q(t)滿足:

其次，對k=1，2，…，m－1，按歸納的方式定義:

設(shè)tk+1滿足:

當t∈(tk，tk+1)時定義:

結(jié)合(19)、(24)與(25)式定義:

引理4設(shè)H1、H2與(17)式成立，則由(26)式定義的函數(shù)是問題(1)的一個上解．

證明顯然，(t，x) ∈［0，T)×?Ω 時，有，當x∈ Ω 時．當x∈Ω，k=0，1，2，…，m. 由 H2 可得，當(t，x)∈QTP，由(21)式、引理2與 H1，有:

證畢．

2 猝滅時間的控制

定理 1設(shè) H1、H2成立，u0(x)滿足(6)與(17) 式，t1滿足(18)式，且k=1，2，…，m－1時tk+1滿足(23)式，則問題(1)的解u(t，x)在有限時刻猝滅，且猝滅時刻T*滿足T1≤T*≤T2．

證明設(shè)u(t，x)是問題(1)的解，y(t)=則由比較原理有:

在問題(1)的方程兩邊乘以φ1(x)，關(guān)于x在Ω上積分，得到:

利用邊界條件、H1及Jensen不等式可得:

令tm＜t＜T，關(guān)于t對上面的不等式在［tm，t］上積分得:

為了得到T*的下界，由(25)式有c，既然顯然有因此T*≥T1，證畢．

［1］Erbe LH，F(xiàn)reedman H I，Liu X Z，et al．Comparison principle for impulsive parabolic equationswith applications to models of single species growth［J］．J Austral Math Soc Ser B，1991，32:382-400．

［2］Chan C Y，Ke L，Vatsala A S．Impulsive quenching for reaction-diffusion equations［J］．Nonlinear Analysis，1994，22:1323-1328．

［3］Bainov D D，Kolev D A，Nakagawa K．The control of the blowing-up time for the solution of the semilinear parabolic equation with impulsive effect［J］．JKorean Math Soc，2000，37:793-803．

［4］Fu X L，Liu X Z，Sivaloganathan S．Oscillation criteria for impulsive parabolic differential equationswith delay［J］．J Math Anal Appl，2002，268:647-664．

［5］Gao W L，Wang JH．Estimates of solutions of impulsive parabolic equations under Neumann boundary condition［J］．JMath Anal Appl，2003，283:478-490．

［6］Lovane G，Kapustyan A V，Valero J．Asymptotic behaviour of reaction-diffusion equationswith non-damped impulsive effects［J］．Nonlinear Analysis，2008，68:2516-2530．

［7］Chan C Y，Kong P C．Impulsive quenching for degenerate parabolic equation［J］．JMath Anal Appl，1996，202:450-464．

［8］孫仁斌，胡軍浩．脈沖拋物型方程解的爆破時間的控制［J］．云南大學學報:自然科學版，2007，29(1):16-19．

［9］DaiQ Y ，Gu Y G．A shortnote on quenching phenomena for semilinear parabolic equations［J］．J Differential Equations，1997，137:240-250．