平面桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的常微分方程解法

徐杏華 肖 孟 李 朝

(1.孝感學(xué)院城市建設(shè)學(xué)院,湖北孝感 432000;2.武漢市建筑工程質(zhì)量監(jiān)督站,武漢 430015;3.長春市軌道交通集團(tuán)有限公司,長春 130012)

在結(jié)構(gòu)設(shè)計中,需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度驗算和穩(wěn)定驗算,然而對于以受壓為主的結(jié)構(gòu)來說,其結(jié)構(gòu)更容易失穩(wěn).壓桿作為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的典型代表,它的失穩(wěn)輕則引起構(gòu)件失效,重則引起整個結(jié)構(gòu)的破壞,造成嚴(yán)重的事故.在壓桿穩(wěn)定問題研究方面,楚中毅等[1-2]對穩(wěn)定問題的精確解法做了一些探討,龍馭球[3]也從不同角度總結(jié)了穩(wěn)定問題的各種解法.然而對于無限自由度桿系結(jié)構(gòu)線性穩(wěn)定問題,解析法求解的精度往往與其計算時所選取的撓曲線的函數(shù)形式有很大的關(guān)系,利用普通結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法根本不能得到精確解[4],而采用常規(guī)有限元法,往往需要對網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)分,這樣做不僅計算量大、計算效率低,而且結(jié)果也不夠精確.

隨著常微分方程(Ordinary Differential Equa-tion,簡記作ODE)數(shù)值解法的發(fā)展,尤其是近10年來一系列常微分方程求解器(Ordinary Differential Equation Solver)通用程序相繼問世[5-7],使直接針對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的數(shù)值解析法成為可能.對于一般的平面桿系結(jié)構(gòu),常微分方程求解器不僅可以給出精確的臨界荷載和相應(yīng)的失穩(wěn)變形形態(tài),而且還可以給出高階失穩(wěn)荷載和形態(tài).本文推導(dǎo)出了無限自由度壓桿穩(wěn)定問題的控制微分方程,算例結(jié)果與解析解的比較表明該方法的求解精度和效率較高.

1 壓桿的撓曲線方程

1.1 控制微分方程的推導(dǎo)

考慮圖1所示的最具一般性的壓桿,其支撐端可以同時受3個力作用,即:壓力P,約束反力R和約束力偶矩M0,相應(yīng)的彎矩方程為

圖1 壓桿受力狀況

1.2 不同約束條件下壓桿的邊界條件

1.3 控制方程的標(biāo)準(zhǔn)化

由于常微分方程求解器是按照標(biāo)準(zhǔn)的ODE形式研制的,只具有求解標(biāo)準(zhǔn)的非線性常微分方程問題的功能,不具有直接求解特征值問題的功能[5].因此對于上述關(guān)于邊值問題的常微分方程組的特征值問題,應(yīng)該利用一些ODE變換技巧將其轉(zhuǎn)換為COLSYS[7-8]所能接受的標(biāo)準(zhǔn)非線性常微分方程形式.為此需做以下工作:

圖2 兩端鉸支

圖3 一端自由一端固定

(2)構(gòu)造平凡ODE:為將特征值轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性O(shè)DE問題,需要為待定的特征值建立一個平凡ODE,從而保證λ為常數(shù)的前提下,將它引到ODE中求解.即

(3)構(gòu)造等價ODE:將一重積分問題轉(zhuǎn)換為一階常微分方程問題,以便于COLSYS求解,即取振型歸一化條件為

這一歸一化條件相當(dāng)于將Rayleigh商中的分母取為單位值,對上式(4)進(jìn)行坐標(biāo)變換后,有

再利用等價的ODE技巧將以上積分式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的ODE問題

這樣既可以計算定積分求解上式,又可以將某些積分條件(如歸一化條件)化為等價的ODE提法而加入原問題求解.于是式(2)、式(3)、式(6)便形成了一組標(biāo)準(zhǔn)的非線性的常微分方程組,在進(jìn)行計算時,只要用戶提供一個適當(dāng)?shù)某跏冀?就可直接利用標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程求解器的非線性功能進(jìn)行求解.

2 算例與計算結(jié)果分析

算例1 圖4所示為一底部固定的階梯形變截面柱,其下半柱的剛度為EI1=2.5×106N?m2,上半柱的剛度為EI2=s?EI1,其中,s為一比例系數(shù), l1=l2=l/2=15 m,求其臨界荷載.

此變截面的臨界荷載可按以下步驟進(jìn)行計算:

首先利用區(qū)間映射技巧作坐標(biāo)變換,將兩段區(qū)間映射為標(biāo)準(zhǔn)的單位區(qū)間[0,1].

圖4 變截面柱

于是有

經(jīng)坐標(biāo)變換后,此變截面壓桿的撓曲線方程可轉(zhuǎn)化為

式中,λ=P,Y=Y(ξ),()′=d()/dξ.

構(gòu)造平凡ODE,即

構(gòu)造等價ODE:將一重積分問題轉(zhuǎn)換為一階常微分方程問題,以便COLSYS求解,即取振型歸一化條件為

對上式進(jìn)行坐標(biāo)變換后,有

再利用等價的ODE技巧將以上積分式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的ODE問題

于是式(7)、式(8)、式(11)便形成了一組標(biāo)準(zhǔn)的非線性的常微分方程組,可直接利用標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程求解器進(jìn)行求解.

圖5為s=0.1,0.5,1.0時用常微分方程求解器求得的3種情況時的臨界荷載及相應(yīng)的失穩(wěn)形態(tài)圖.

算例2 圖2、3所示為等截面中心受壓的兩端簡支和一端自由一端固定的壓桿,其EI=2.5×106N?m2,求其臨界荷載.

圖5 s=0.1,0.5,1.0時的臨界荷載以及相應(yīng)的失穩(wěn)形態(tài)

表1為兩端簡支長度分別為10m,20 m,30m的壓桿相應(yīng)的臨界荷載;表2為一端自由一端固定長度分別為10m,20m,30m的壓桿相應(yīng)的臨界荷載.

表1 兩端鉸支時的臨界荷載

表2 一端固定一端自由一端固定時的臨界荷載

3 結(jié) 語

通過對計算結(jié)果分析,可以得出以下結(jié)論:

(1)從表1、2可以看出:本文ODE解與解析法計算的結(jié)果吻合性較好,實際上,這種ODE解法只用了3次迭代就達(dá)到了較高的精度,表明該方法的求解精度和效率較高.此外,該方法還具有使用方便、計算量少、收斂速度快等優(yōu)點.

(2)在進(jìn)行壓桿設(shè)計時,應(yīng)盡量減小壓桿的長度以提高其穩(wěn)定性.

(3)改善桿端的約束,如將一端固定一端自由的壓桿改為兩端鉸支的壓桿后,其臨界力有顯著的提高.

(4)從圖5可以看出,s越大,臨界荷載就越大.因此,當(dāng)壓桿桿端各個方向的約束條件相同時,應(yīng)選擇慣性矩較大的橫截面壓桿.

[1] 楚中毅,等.梁桿結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的一種精確有限元方法及其優(yōu)化[J].建筑機(jī)械,2001,9(14):68-72.

[2] 楚中毅,陸念力,車仁煒,等.一種梁桿結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的精確有限元法[J].哈爾濱建筑大學(xué)學(xué)報,2002,4(5): 25-28.

[3] 龍馭球,包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社, 1999.

[4] 任鳳鳴,范學(xué)明.彈性壓桿穩(wěn)定問題的精確解法[J].建筑科學(xué),2008,24(3):12-14.

[5] 包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅱ[M].北京:高等教育出版社,2001.

[6] 包世華,周 堅.薄壁桿件結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京:中國建筑出版社,1991.

[7] Ascher U,Christiansen J,Russell R D.Collocation Software for Boundary-value ODE[J].ACM Trans Math Software,1981,7(2):209-222.

[8] A scher U,Christiansen J,Russell R D.Algorithm 569,COLSYS:Collocation Sof tware for Boundary-value ODEs[J].ACM T rans Math Sof tware,1981,7(2): 223-229.