曲 磊， 王建國， 丁根芳， 覃 艷

(合肥工業(yè)大學土木與水利工程學院，安徽合肥 230009)

0 引 言

壓電層合結構作為傳感器與致動器，在航天、精密控制與測量及微機電系統(tǒng)中廣為采用[1，2]。壓電層合結構已成為近20年來國內外學者研究的熱點，近年來用于壓電多層結構分析的有限元數(shù)值方法得到了飛速發(fā)展。

文獻[3，4]最早開展了這方面的研究工作;文獻[5]總結了壓電三明治層合結構的有限元理論;文獻[6]基于離散層理論提出了板殼的有限元分析模型;文獻[7]提出了一種能用于拉伸致動與剪切致動3層壓電耦合結構分析的通用有限元模型;文獻[8]運用雙線性四節(jié)點板單元研究了熱壓電層合板;文獻[9]采用改進的Reissner-Mindlin模型用于壓電層合板的有限元分析;文獻[10，11]在壓電有限元方面也做了很多工作;文獻[12]基于一階剪切變形理論，采用一種新的具有多自由度的四結點四邊形有限單元CTMQE對壓電復合板進行了研究;文獻[13]基于狀態(tài)空間法系統(tǒng)地研究了多層壓電介質空間軸對稱與非軸對稱問題的解。

本文在文獻[14，15]的基礎上，建立了含有壓電傳感器與致動器的多層耦合結構的有限元方程，采用二維四結點四邊形壓電耦合單元，借助ANSYS/APDL語言，編制了適用任意組壓電片通過面層材料粘貼于智能結構表面的力-電多場通用有限元分析程序(M PFEMP)。

本文首先運用該程序驗算了疊層梁[16]，與文獻[16]比較證明了方法的可行性與有效性;計算了由壓電片、黏結層和主體材料組成的5層復合梁，算例中提供了1組壓電片和2組壓電片在不同邊界條件下的計算結果;討論了壓電片長度和位置變化對梁的變形影響，還提供了閉環(huán)情況下前5階自振頻率和C-F情況下的振型圖。

本文結論對智能結構的設計具有一定的參考價值，本文方法可以作為復雜不規(guī)則壓電復合結構有限元分析的計算基礎。

1 線彈性壓電體有限元方程

壓電層合結構作如下假定:①結構各層之間理想黏結;②遵循線性彈性壓電體理論;③各個壓電片之間無相互作用的電磁場干擾;④壓電片上下表面完全覆蓋電極。線性壓電結構有限元方程[14]為:

由方程(1)的第2式解出φi=Kφφ-1(g i-Kφu u i)，代入方程(1)的第1式可得:

方程(2)是以結點位移表示的線性壓電結構的有限元法動力方程。

2 MPFEMP程序驗算

力-電有限元分析程序(MPFEMP)主要采用參數(shù)化設計語言APDL，利用*DO、*ENDDO循環(huán)語句、*IF、*ELSE、*ENDIF等判斷語句和*DIM矩陣定義語句來實現(xiàn)在壓電片上模擬任意數(shù)量的電極，在任意電極上加載任意變化的電壓載荷。為驗證程序有效性，本文先對中間層全為壓電層的疊層梁[16]展開對比驗證分析。幾何參數(shù)、材料常數(shù)、載荷和邊界條件均同文獻[16]，本文計算所得梁端撓度如圖1所示。

由圖1可看出，本文結果與文獻[16]解析解(1.19E-7 m)吻合良好，誤差率為1.3%，證明了本文計算方法的有效性。同時，本文的退化程序在文獻[14]中也得到了驗證。

圖1 3層壓電梁的變形曲線

3 n組壓電片粘貼的5層壓電梁

5層壓電梁如圖2所示，中間層主體材料為鋁，黏粘層為剛性泡沫，壓電層粘貼在黏粘面層上。壓電材料極化方向平行于x軸。

圖2 5層壓電耦合梁示意圖

本文作如下假定:①電極相對于壓電材料和鋁層不計質量及剛度;②)壓電層、電極、剛性泡沫和鋁層的黏結是理想的，不存在相對位移;③壓電材料不存在相互的電磁效應;④材料沿Z向變形均勻。梁總長L為100 mm，鋁層h3為8 mm，黏粘面層為0.25mm，上下壓電層等厚均為2mm，第i組壓電片的長度ai和位置bi表達式為:

鋁、剛性泡沫的材料參數(shù)見文獻[7]，壓電材料參數(shù)見文獻[17]。在每個壓電片上施加100 V電壓荷載。分析中考慮梁兩端固支(C-C)、兩端均鉸結(H-H)、一端固支一端自由(C-F)、一端固支一端鉸結(C-H)4種邊界條件。有限元分析采用四結點四邊形單元(PLANE13)，5層梁結構劃分成550個網格，兼顧了計算效率和計算精度。

3.1 粘貼1組壓電片對梁的變形分析

壓電片長度a=0.01m，位置b變化時，梁的變形情況如圖3所示。

壓電片位置b=0.05m，長度a變化時，梁的變形情況如圖4所示。

圖3 壓電片b變化時梁的變形情況

圖4 壓電片a變化時梁的變形情況

3.2 粘貼2組壓電片對梁的變形分析

對于粘貼2組壓電片對的梁，當壓電片長度a1=a2=0.01 m，位置b1、b2變化時，梁的變形情況如圖5所示。2組壓電片的位置b1=0.025m，b2=0.075 m，長度a1、a2變化時，梁的變形情況如圖6所示。

圖5 壓電片b1、b2變化時梁的變形情況

圖6 壓電片a1、a2變化時梁的變形情況

4 壓電梁的自由振動

研究結構的自振頻率與振型是結構形狀控制和主動控制的基礎。本文采用APDL語言編制層合梁的自由振動分析程序，壓電單元采用二維四結點應力耦合單元，普通材料采用平面等參結構單元，計算:①單壓電片對粘貼于結構表面的自由振動，a=0.01 m，b=0.05 m;②2組壓電片對粘貼于結構表面的自由振動，a1=a2= 0.01 m，b1=0.025m，b2=0.075 m。材料參數(shù)同上，閉環(huán)前5階自振頻率見表1所列。

粘貼1組壓電片對和粘貼2組壓電片對懸臂梁的前3階振型圖如圖7所示。

由圖7可知，2種不同的粘貼方式，變形趨勢基本相同，Benjeddou[7]的梁幾何尺寸與本文不同，但是對比發(fā)現(xiàn)，梁整體的變形趨勢基本相同。

表1 單壓電片對及2組壓電片對黏結梁的前5階自振頻率 H z

圖7 單壓電片對與2組壓電片對粘貼梁的前3階閉環(huán)振型圖

5 結 論

本文利用APDL語言編制的有限元程序對表面粘貼壓電片的層合梁進行了計算分析，考察了壓電層位置和長度對梁變形的影響，分析了其自振頻率和C-F情況下的振型圖。結論如下:

(1)壓電片相同的長度，不同的黏結位置和不同的邊界條件，所產生的梁的最大位移值均不相同。H-H、C-H和C-C 3種情況下，梁的最大位移發(fā)生在壓電片粘貼的中心處，隨著壓電片位置的變化，無論對于黏結1組壓電片和2組壓電片的梁，最大變形均受影響較大。所以，壓電片在梁中的位置存在著一個最優(yōu)值。同時在壓電片長度固定的情況下，壓電片位置的變化對于懸臂梁的最大變形影響不大。

(2)壓電片長度越大，梁的最大位移越大。無論粘貼1組壓電片還是2組壓電片的層合梁，壓電片長度增加，最大變形均增大，其中C-F情況下，最大位移發(fā)生在梁的自由端。而在其它的邊界條件下，配置1組壓電片的結構大部分發(fā)生在梁中間處;而配置了2組壓電片的結構最終都在壓電片所在的區(qū)域發(fā)生最大變形，形成非常有趣的雙波峰現(xiàn)象。所以，利用多組壓電片粘貼于結構表面，可以按照需要設計結構的變形。

(3)對比埋置1組壓電片和埋置2組壓電片的層合結構，發(fā)現(xiàn)壓電片數(shù)量的增加對梁的最大位移影響不大，但是對于梁任何一處獲得足夠理想的致動效果影響較大。

(4)梁固支后自振頻率明顯增大。增加壓電片的數(shù)量后，結構的自振頻率略有增大，但是總體振型趨勢變化不大，說明表面黏結形式的壓電梁，壓電片的數(shù)量和位置對梁的自由振動影響不大。

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