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      解非線性方程的一類多參數(shù)迭代格式

      2011-03-15 14:30:38陳小惠
      關(guān)鍵詞:實數(shù)導數(shù)公式

      陳小惠, 唐 爍

      (合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽合肥 230009)

      0 引 言

      在科學研究或工程技術(shù)領(lǐng)域中,常常會遇到許多實際問題的數(shù)學模型,例如非線性力學問題、電路問題、經(jīng)濟和非線性規(guī)劃問題等,它們最終都歸結(jié)為非線性方程f(x)=0,x∈R的求解問題,因此研究和解決非線性方程解的存在性及尋求其有效數(shù)值解法都是非常必要的。迄今為止,解非線性方程的方法很多,通常使用的是牛頓迭代方法及其改進方法,另外還有很多通過其它方法構(gòu)造的迭代方法[1-8]。這些方法中有些階數(shù)已經(jīng)達到8階,但是其迭代形式比較復雜,所以本文基于Chebyshev-Halley公式,給出了一個多參數(shù)迭代方法,在一定條件下該方法至少是3階收斂的,且形式簡單。實例說明了該格式的有效性與優(yōu)越性。

      著名的Chebyshev-Halley公式[4]為:

      其中,Tf(x)=f(x)f″(x)/[f′(x)]2;λ為一個任意的實參數(shù)。該方法是3階收斂的,λ=0時為Chebyshev方法;λ=1/2時為Halley方法;λ=1時為Super-Halley方法;λ→±∞時為經(jīng)典New ton方法。

      本文在Chebyshev-Halley公式的基礎上,構(gòu)造了一類不需要計算2階導數(shù)的雙參數(shù)迭代方法,且在一定條件下可以達到4階收斂。

      1 迭代公式的構(gòu)造

      為了減少2階導數(shù)的計算,本文引入?yún)?shù)β(β為任意非零實數(shù)),將Chebyshev-Halley公式做如下的修改,即

      令y=x-βf(x)/f′(x),β為任意非零實數(shù),將f(y)Taylor展開為:

      可得:

      從而將

      代入Chebyshev-Halley公式得:

      (1)式是依賴于參數(shù)λ和β的,以下給出一些特殊情況的迭代格式:

      (1)當λ=0,β≠0時,

      當β=1時,

      則(3)式為J.F.Traub給出的3階收斂公式,見文獻[9]。

      當β=-1時,

      則(4)式為文獻[5]給出的一個迭代公式,也是3階收斂的。

      當β→±∞時,

      則(5)式為經(jīng)典的New ton公式,它是2階收斂的。

      (2)當λ=β≠0時,

      當λ=β=1時,

      則(7)式為T raub-Ostrow ski格式,是4階收斂的,見文獻[4]。

      則(8)式為New ton-Secant格式[4],也是3階收斂的。

      則(9)式也是3階收斂的,證明見定理1。

      2 收斂性分析

      定義1 設序列{xk}收斂到α,記ek=xk-α,若存在實數(shù)p≥1及常數(shù)c>0,使則稱序列{xk}是p階收斂的[10]。

      定理1 設f:A→R,在A中連續(xù)且有足夠高階的導數(shù),如果f(x)有一單根α∈A,則在α足夠近的鄰域內(nèi),(1)式有如下收斂情況:

      (1)當(λ,β)≠(1,1)時,3階收斂;

      (2)當(λ,β)=(1,1)時,4階收斂。

      則有:

      所以當(λ,β)≠(1,1)時,δ=Ο(ε3)。

      令xk+1=φ(xk),由定義1可知(1)式是3階收斂的。

      當(λ,β)=(1,1)時,δ=Ο(ε4),令xk+1= φ(xk),同理由定義1可知,(1)式是4階收斂的。

      3 數(shù)值分析

      本文采用幾個不同的函數(shù),不同的初始值分別從迭代次數(shù)和rk=|f(xk)|絕對誤差方面來比較以上幾個方法的優(yōu)越性。

      所有計算都是在M atlab7.0上實現(xiàn)的,迭代過程同時滿足|xk+1-xk|<ε和|f(xk+1)|<ε時停止迭代,其中ε=1.0E-30是一個M atlab常數(shù)。

      例1 已知方程a:f(x)=x2-ex-3x+2,解α=0.257 5。

      分別取初始值x0為-1、0、2、20,運用Newton方法(以下簡稱NM法)、(3)式、(4)式、(7)式、(8)式、(9)式方法進行計算,計算結(jié)果見表1所列。

      表1 方程a的數(shù)值實驗結(jié)果

      例2 已知方程b:f(x)=x3+4 x2-6+ cos(x-1),解α=1。分別取初始值x0為0.5、 0.7、1.8、3.2,運用NM法、(3)式、(4)式、(7)~(9)式方法進行計算,計算結(jié)果見表2所列。

      表2 方程b的數(shù)值實驗結(jié)果

      例3 已知方程c:f(x)=x cos x+2sin x-1,解α=0.344 6,α=-4.909 5。分別取初始值x0為-0.7、0、0.5、1,運用NM法,(3)式、(4)式、(7)~(9)式方法進行計算,結(jié)果見表3所列。

      表3 方程c的數(shù)值實驗結(jié)果

      以上數(shù)值例子表明,本文所給方法的收斂都比較快,且形式簡單,便于計算,新方法(9)式較同階的3階迭代(3)式、(4)式及(8)式收斂快。

      4 結(jié)束語

      本文給出了一類多參數(shù)解非線性方程的迭代格式,證明了該格式至少3階收斂,且在一定條件下還可以達到4階收斂,并且只需計算一階導數(shù),通過適當選取2個參數(shù)可以得到很多經(jīng)典的或已有的迭代格式。數(shù)值例子表明了本方法具有收斂快、形式簡單,且便于實際應用的優(yōu)越性,還可以通過選取適當參數(shù)得到更多的有利于實際應用的新迭代格式。另外本文方法還可以推廣到非線性方程組。

      [1] Ham Y,Chun C,Lee SG.Some higher-order modicationsof New ton'sm ethod for solving nonlinear equations[J].Jou rnal of Compu tational and App lied M athematics,2008,222: 477-486.

      [2] Bi W,Ren H,W u Q.Three-step iterative method s with eight-order convergence for solving nonlinear equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,225:105-112.

      [3] Fang L,He G.Some modifications of New ton's method w ith higher-order convergence for solving nonlinear equations[J].Journal of Com putational and Applied Mathematics,2009,228:296-303.

      [4] Nedzhibov G H,H asanov V I,Petkov M G.On som e fam ilies ofmulti-point iterativem ethods fo r solving nonlinear equations[J].Num er A lgor,2005,42:127-136.

      [5] Kou J,Li Y,W ang X.A modification of New ton method w ith third-order convergence[J].Applied Mathematics and Com putation,2006,181:1106-1111.

      [6] Noor M A,Noor K I.Some iterative schemes for nonlinear equations[J].Applied Mathematicsand Compu tation,2006,183:774-779.

      [7] Noor M A,W aseem M.Some iterative methods for solving system of nonlinear equations[J].Compu ters and Mathematics w ith Applications,2009,57:101-106.

      [8] Noor M A,Shan F A.Variational iteration technique for solving nonlinear equations[J].Jou rnal of Applied Mathematics and Com puting,2009,31:247-254.

      [9] 黃象鼎.非線性數(shù)值分析的理論與方法[M].武昌:武漢大學出版社,2004:6-64.

      [10] 黃云清.數(shù)值計算方法[M].北京:科學出版社,2009:223.

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