牛頓求解第一宇宙速度思想的啟示

竇文浩

（廣州市第二中學(xué) 廣東 廣州 510530）

在講解“萬(wàn)有引力定律”的內(nèi)容時(shí)，計(jì)算星球的第一宇宙速度是一個(gè)重點(diǎn)．計(jì)算的方法通常是由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．而牛頓在求解星球的第一宇宙速度的時(shí)候，用了巧妙的比例和幾何方法，體現(xiàn)了微分的思想；同時(shí)，是對(duì)“月 －地檢驗(yàn)”思考的結(jié)果．在中學(xué)物理教材中，都會(huì)提到牛頓的“月－地檢驗(yàn)”，而在教學(xué)中沒(méi)有能很好地闡述這一思想的光輝之處．很好地理解牛頓的原始思想，對(duì)認(rèn)識(shí)萬(wàn)有引力以及牛頓第一定律具有很大啟示意義．同時(shí)，在求解高中常常涉及的萬(wàn)有引力習(xí)題時(shí)，也能開(kāi)拓新的思路．

1 常規(guī)方法求解星體的第一宇宙速度

【例1】求解一質(zhì)量為M，半徑為R的球形星體的第一宇宙速度．

解析：如圖1所示，設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，則有

解得

圖1

根據(jù)第一宇宙速度的意義知，v應(yīng)當(dāng)是衛(wèi)星繞球形星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)剛好不落地時(shí)的速度，則r＝R，于是

2 牛頓的思想求解第一宇宙速度［1］

【例2】在地球上，一個(gè)物體做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少需要多大的初速度才不會(huì)落回地面？

解析：首先要假定地球是一個(gè)半徑為R的球體，如圖2．假設(shè)在A點(diǎn)平拋一物體，平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)．當(dāng)水平方向位移為x，即半個(gè)弦長(zhǎng)DB，而豎直方向恰好下落s，即AD高度；平拋的物體恰好不碰到地面，此平拋的初速度即為第一宇宙速度．如下求解此速度．

圖2

取1 s的時(shí)間，則物體的運(yùn)動(dòng)即為嚴(yán)格的平拋運(yùn)動(dòng)，而各數(shù)量關(guān)系依然如圖2所示，則由幾何關(guān)系知△ADB∽ △BDC ，故有

在地球表面，1 s內(nèi)物體自由下落的高度約為5 m，即s＝5 m；2R是地球的直徑，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于s，故

所以

所以平拋的初速度（即第一宇宙速度）

牛頓利用其發(fā)現(xiàn)的“牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律”推斷，若月球不受外力，則其將沿軌道的切線(xiàn)運(yùn)動(dòng)下去，而它卻下落了（只是沒(méi)有落到地球上），軌跡是一段圓弧，類(lèi)似平拋的軌跡．那么反過(guò)來(lái)，在地球上一物體的平拋，如果速度恰當(dāng)（足夠大），則其軌跡將如月球的軌跡一樣，是一個(gè)圓，這個(gè)恰當(dāng)?shù)乃俣染褪堑谝挥钪嫠俣龋@就是牛頓“月－地檢驗(yàn)”的思考．上述的解題步驟正是依據(jù)這一思想．當(dāng)然，在1 s內(nèi)月球“下落”的高度與地球表面平拋物體“下落”的高度是不同的，但成比例，比例關(guān)系正是滿(mǎn)足牛頓所總結(jié)出的平方反比定律．

點(diǎn)評(píng)：

（1）牛頓的方法看似比常規(guī)方法復(fù)雜，卻體現(xiàn)了最一般的推理過(guò)程：利用牛頓第一定律，揭示了圓周運(yùn)動(dòng)所蘊(yùn)涵的力的作用特點(diǎn)—— 指向有心力的力心．

（2）在計(jì)算的處理中，利用微分近似代替的思想，將看似兩種不同的運(yùn)動(dòng)即平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)，化曲為直．同時(shí)，略去無(wú)窮小量，體現(xiàn)了微分近似代替思想的精髓．

（3）用最簡(jiǎn)單的規(guī)律，加上巧妙的數(shù)學(xué)處理手段，是物理競(jìng)賽中常常應(yīng)用的方法，正是物理所要培養(yǎng)的思維品質(zhì)．

3 牛頓的方法在常規(guī)教學(xué)中的體現(xiàn)

3． 1 平拋運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)

如圖3［2］所示，從地球上某一高塔處平拋一小球，初速度分別為v1，v2，v3和v4，則其運(yùn)動(dòng)的軌跡分別為1，2，3和4；這些軌跡都是以地球的質(zhì)心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

（1）軌跡1，2是假定地球物質(zhì)全部集中在質(zhì)心處時(shí)才可能的軌跡．實(shí)際情況中，拋體不可能完整地進(jìn)行這一橢圓運(yùn)動(dòng)，這一軌跡與地球表面的交點(diǎn)就是落地點(diǎn)．可見(jiàn)，物體平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡實(shí)質(zhì)上是此橢圓軌跡的一部分．

圖3

（2）軌跡3是一個(gè)圓軌跡，可以看做是兩焦點(diǎn)重合的一個(gè)橢圓，它是軌跡2向軌跡4過(guò)渡時(shí)即地球質(zhì)心作為下焦點(diǎn)向作為上焦點(diǎn)過(guò)渡時(shí)，焦點(diǎn)在地球質(zhì)心重合的情況．塔高相比地球的尺度，是可以忽略的，故軌跡3的半徑就是地球半徑，v3就是第一宇宙速度．

3． 2 牛頓思想的應(yīng)用

【例3】如圖4所示，兩顆地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道分別為1和2，兩軌道在P點(diǎn)相切，則在切點(diǎn)處，1號(hào)衛(wèi)星和2號(hào)衛(wèi)星的速度大小關(guān)系如何？

圖4

圖5

解析：可以把P點(diǎn)附近的軌跡放大，如圖5所示．根據(jù)牛頓的思想，則圖5所示的兩條軌跡即為兩平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡（當(dāng)然，這里的重力加速度g不再是地球表面的值）．那么，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，在同一高度拋出的兩物體，初速度越大的，水平射程越大；可以得知，在P點(diǎn)2號(hào)衛(wèi)星的速度大于1號(hào)衛(wèi)星的速度．

1 （美）費(fèi)恩曼．費(fèi)恩曼物理學(xué)講義（第一卷）．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2005．70

2 （美）休D·楊，羅杰 A·費(fèi)里德曼．西爾斯物理學(xué)（上冊(cè)）．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008．367