盧宗壽，何家裕，王家?guī)?/p>

(廣西國土資源規(guī)劃院，廣西南寧 530022)

1 引言

小波分析是調(diào)和分析幾十年來研究的成果，是在傅立葉變換發(fā)展百年的基礎上發(fā)展而來，他有優(yōu)于傅立葉變換的時頻局域變換特征，能通過伸縮和平移有效提取信號中的有用成分，解決了傅立葉變換對非平穩(wěn)信號不能有效改變窗口大小的問題，從而能更好地分析信號的缺點，因此有“數(shù)學顯微鏡”的美譽，被廣泛應用于數(shù)學領域，工程領域，尤其是信息科學領域的方方面面。本文從小波的發(fā)展歷史出發(fā)，介紹了小波分析理論在變形數(shù)據(jù)處理中的研究應用現(xiàn)狀，提出在變形數(shù)據(jù)處理領域中仍有待解決的問題。

2 小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展

自從1807年法國數(shù)學家Fourier從熱傳導理論提出Fourier分析以后，他憑借把一個函數(shù)展開為各種頻率的諧波的線性組合，描述函數(shù)的性態(tài)和特征，整整兩個世紀以來，整個工程分析幾乎都屬其范疇。但是Fourier分析只是一種純頻域的分析方法，他不能提供局部時間域上的函數(shù)特征。之后有科學家提出了加窗傅立葉變換，這樣時頻分辨率就固定下來。這種方法雖然解決了單純研究頻域的缺點，但是缺乏細化功能。為此，科學家們經(jīng)過長期的努力終于找到了小波基。

1910年，Haar利用伸縮平移思想構造了第一個規(guī)范正交小波基，即Haar小波基，雖然它有非常好的緊支性，能成功刻畫信號的局部化特性，但是由于它是不光滑的，對于刻畫光滑信號，要比Fourier變換差得多，因此一直沒有得到重視。1938年，Little wood－paley提出二進制頻率成分分組理論，為多分辨思想奠定了基礎。1984年，地質(zhì)信號處理工程師 A.Grossman和J.Morlet，從地震信號資料分析出發(fā)，提出了“小波”概念，建立了連續(xù)小波的集合體系，促成了上世紀90年代初小波的興起。

1986年，Meyer構造出了第一個具有快速衰減的小波函數(shù)之后，G.Battle和P.Lemarie給出了指數(shù)衰減的小波函數(shù)，通過伸縮和平移構成了L2(R)上的規(guī)范正交基。1989年，法國科學家S.Mallet和比利時女數(shù)學家I.Daubechies，將多分辨分析的思想引入到小波函數(shù)的構造和分解重構過程中，統(tǒng)一了小波基的構造方法，建立了塔式分解的快速算法。同時I.Daubechies還構造出了正交小波基和雙正交小波基，為小波發(fā)展作出了巨大貢獻。

20世紀90年代中后期以后，小波設計方法的多樣性及與其他學科的相互滲透，小波分析開始應用到信號分析，圖像處理，文字、語音識別，計算機視覺，數(shù)值分析，故障診斷等許多非常重要的領域。隨著應用的擴寬，小波理論研究也在不斷的深入研究。1994年，Goodman等基于r元多分辨分析建立了多小波的理論框架，1996年，Donovan，Geronima，Hardin 等構造了 DGHM 多小波。1995年，Sweldens提出了提升小波，為小波構造提供了新的技術。1999年，Donoho等人提出了脊波、曲波理論之后，樣條小波、向量小波的理論也不斷發(fā)展并應用到相關領域中。小波分析的另一個重要進展是V.Wickerhauser和R.Coifman的小波包概念。

隨著小波理論的不斷發(fā)展，小波理論在測繪學中的應用也取得了巨大的進展。

3 小波分析在測繪學中的現(xiàn)狀

小波分析在數(shù)據(jù)處理中的應用開始與上世紀90年代中后期，主要用來提取GPS觀測值的周跳檢測、粗差檢測、多路徑誤差、殘差分析、變形信號的提取、變形的預測等。隨著小波理論的不斷發(fā)展，已取得驕人的成績。

(1)小波分析在GPS數(shù)據(jù)處理中的應用

1995 年，F(xiàn).Collin 和 R.Warant，最先將小波分析應用到GPS數(shù)據(jù)處理領域。之后熊永良，黃丁發(fā)，劉經(jīng)南，C.Satirapod，C.Ogajia等進一步應用小波變換理論對GPS觀測值進行周跳探測、粗差檢測、多路徑誤差分析、殘差分析，通過小波變換的帶通濾波器提取細節(jié)信號，并將突變信號放大，以檢測周跳，具有定位準確，自動化程度高的特點。通過小波變換的GPS觀測值的信噪比有明顯提高，消除或消弱了多路徑效應和各種噪聲，提高了GPS定位精度。近年來，小波分析在GPS數(shù)據(jù)處理領域得到了大力發(fā)展，蔡昌盛等在檢測周跳的基礎上，通過對高頻系數(shù)進行處理，再與低頻信號一起重構與原始信號比較以獲得周跳修復值。羅兆文，王文等利用小波變換的多尺度分解篩選，將GPS不同的誤差源從GPS結果中有效分離，提高了GPS定位精度。姚曉波等利用小波變換對GPS數(shù)據(jù)進行壓縮，剔除多余的相關信息，保留數(shù)據(jù)基本特征，減少了后續(xù)數(shù)據(jù)處理的壓力，取得了良好的效果。隨著近年小波分析與其他領域知識的融合，學者們也不斷探索小波分析理論在GPS數(shù)據(jù)處理中的應用研究，趙軍祥基于小波分析的GPS周跳檢測與修復，誤差分析等設計了GPS數(shù)據(jù)預處理系統(tǒng)。徐金華等在磁羅經(jīng)/GPS導航系統(tǒng)中，提出了一種基于調(diào)頻高斯小波變換(MGWT:Modulate Gaussian Wavelet Transform)的故障診斷算法，它能夠滿足GPS在線檢測軟故障的要求，通過調(diào)節(jié)平移因子和拉伸因子，對GPS在信號遮蔽，失鎖或受到干擾而輸出的不可信導航數(shù)據(jù)進行有效的檢測，從而可實現(xiàn)導航信息有效融合。尹廷華等將小波分析與神經(jīng)網(wǎng)絡融合來實現(xiàn)GPS周跳探測與修復，通過對比預測值的不同來確定周跳大小。

(2)小波分析在變形分析與預測中的應用

變形分析實質(zhì)是一種變形量隨時間或空間變化的信號，該信號往往包含有噪聲污染，影響對變形因素的分析和趨勢的提取。小波分析具有時頻局部化特點能在時域和頻域上準確定位信號的突變點。因小波多分辨分析特性，小波變換可在不同尺度上描述信號的局部特性。由于信號和噪聲在小波域中有不同的性質(zhì)，通過小波變換對信號進行多尺度分析，對于細節(jié)信號進行處理，對細節(jié)信號進行特征分析，再與低頻信號進行重構，可最大限度保留真實信號，可以大大提高變形分析的精度。同時通過對頻域的研究，可以對不同影響因素進行分類和篩選，分析信號的奇異性特點。隨著多小波理論的不斷發(fā)展，基于多小波的變形分析模型能更好地消除突變和暫態(tài)隨機變形信號的噪聲，保留更多的局部特性。小波變換與神經(jīng)網(wǎng)絡的融合為變形預測提供了新的方法，由于小波變換具有良好的時頻特征，而神經(jīng)網(wǎng)絡具有良好的自適應能力和學習能力，用小波基做神經(jīng)網(wǎng)絡中的激活函數(shù)能更好地處理變形分析數(shù)據(jù)，以此對未來的變形做出精確的預報。隨著小波分析理論的不斷發(fā)展，小波基函數(shù)的研究不斷深入，小波分析在變形分析中的應用將更為靈活，它與其他理論的結合使用，將進一步提高變形分析研究深度和廣度。

4 小波分析在測繪學中有待解決的問題和展望

雖然小波分析理論已經(jīng)在測繪學中廣泛應用且取得了不小的成果，但由于小波理論研究的局限性，小波分析在測繪學中的應用還有以下一些問題需要解決:

(1)由于小波變換理論的不成熟，小波基選擇沒有一個統(tǒng)一的標準，如何根據(jù)測繪數(shù)據(jù)處理中數(shù)據(jù)序列的特點選擇合適的小波基有待進一步的研究。

(2)多小波理論，二進小波理論和提升小波理論在測繪數(shù)據(jù)中有一定的應用但研究尚不夠深入，特別是向量小波和高維小波還沒有在測繪數(shù)據(jù)處理中得到應用，對這方面的研究將會對測繪數(shù)據(jù)處理領域產(chǎn)生一定的影響。

(3)小波理論結合模糊理論，變形理論，神經(jīng)網(wǎng)絡模型建立一種多模型網(wǎng)絡有待進一步探索。

(4)小波理論在測繪領域中的應用還沒有實現(xiàn)和設計出好的系統(tǒng)，小波理論與測繪儀器間的硬件結合也有待今后學者的廣泛研究。

(5)小波理論在變形預測模型中的應用也有待進一步研究，以其固有的優(yōu)勢，提高預測精度和預測的可靠度。

(6)小波理論在測繪數(shù)據(jù)挖掘領域的研究還不夠深入，將會是今后研究的熱點領域。

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