瞿曉東，徐艷春，龐桂云，王立晶，趙月容

（黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080）

0 引 言

在光學(xué)系統(tǒng)中，光源經(jīng)分光片分光后能量更低，大多淹沒在噪聲中，有用信號極其微弱，所以欲了解微弱光電信號的輻射特性，必須在強(qiáng)噪聲中將弱小的光電信號提取出來。目前常用的混沌振子檢測微弱信號幅值的方法還是局限在傳統(tǒng)的Duffing方程上[1－3]，但由于其結(jié)構(gòu)簡單，其動態(tài)特性具有一定的局限性。本文在詳細(xì)研究典型混沌振子動態(tài)特性的基礎(chǔ)上，嘗試將復(fù)雜的Lorenz混沌方程和R?sslor混沌方程應(yīng)用到強(qiáng)噪聲背景下微弱光電信號幅值檢測中，旨在探索檢測微弱光電信號幅值的新方法。

1 Lorenz混沌振子檢測微弱光電信號的原理

氣象學(xué)家Lorenz在上世紀(jì)60年代初期，對一個強(qiáng)化的氣侯模型進(jìn)行計算機(jī)實驗發(fā)現(xiàn)了Lorenz混沌系統(tǒng)[4－5]，該數(shù)學(xué)模型的形式如下：

式中σ為普蘭特數(shù)；r為規(guī)范化的瑞利數(shù)；b為和域的幾何形狀有關(guān)。

這些參數(shù)最普遍的取法是σ＝10，r＝28，b＝8／3，該方程中沒有隨機(jī)的因素，其解完全由參數(shù)和初始條件確定，但卻很難預(yù)測它們的特性。

從該系統(tǒng)可以看出，總有x＝y(tǒng)＝z＝0，3個解，此外當(dāng)r≥1時還有解z＝r－1，當(dāng)r＝28時，其軌道相互纏繞，并在過渡衰減之后，時間遍歷的復(fù)雜幾何圖形沒有自相交，它沒有解析解。方程中x、y、z均無量綱，任意給定初值，系統(tǒng)最終都會回到狀態(tài)空間的特定區(qū)域內(nèi)，其吸引子由指數(shù)發(fā)散的鄰近軌線表征，演化是非周期的，具有精巧而奇特的結(jié)構(gòu)，此時系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，這就是著名的蝴蝶效應(yīng)，相軌跡見圖1。

蝴蝶效應(yīng)表明，初始條件的極細(xì)微變化隨著時間的推移會顯著地影響系統(tǒng)的宏觀行為，反映在狀態(tài)空間中。初始狀態(tài)非常接近的二條軌道，在很短的時間內(nèi)靠的比較近，然后會迅速散開，如果根據(jù)初始狀態(tài)預(yù)測系統(tǒng)的長期行為，會由于誤差的迅速擴(kuò)大，使長期行為的預(yù)測受到根本的限制。由此也說明混沌系統(tǒng)具有長期不可預(yù)測性。

2 R?ssler混沌振子檢測微弱光電信號的原理

Lorenz系統(tǒng)是第一個被廣泛研究的來自于微分方程的混沌系統(tǒng)。在Lorenz吸引子中有一個關(guān)于z軸的對稱性，即將（x，y，z）改為（－x，－y，z）時方程不變，因此如果（x（t），y（t），z（t））是系統(tǒng)的解，則（－x（t），－y（t），z（t））亦是系統(tǒng)的解。正是這種對稱性產(chǎn)生了Lorenz吸引子的美，然而這種對稱性并不是必需的。德國科學(xué)家洛思勒（R?ssler）在研究洛倫茨系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)了一種途徑：從更簡單的非線性微分方程中產(chǎn)生混沌吸引子[6－8]。

R?ssler于1976年給出如下方程：

當(dāng)參數(shù)a＝0.373，b＝28，參數(shù)c變化時，R?ssler吸引子的相圖見圖2。

當(dāng)參數(shù)a＝0.373，b＝28，c＝10時，xz相圖和yz相圖投影以及三維相圖投影見圖3。

3 Lorenz系統(tǒng)相圖法進(jìn)行微弱信號幅值檢測

理論上來說，將待測信號加入任一方程中，均可檢測信號幅值，仿真實驗中，將待測信號加入到Lorenz系統(tǒng)的第一個方程中進(jìn)行檢測，檢測步驟如下：

1）固定參數(shù)α＝10，γ＝28，β＝24.0061，并在系統(tǒng)中加入均值為0的高斯白噪聲n（t），噪聲方差為0.01；加入噪聲后系統(tǒng)相軌跡見圖4。

圖4 加入噪聲后系統(tǒng)xz平面相圖Fig.4 Phase diagram when the noise put in xz plane

由圖4可見，系統(tǒng)的相軌跡基本沒有變化，說明加入均值為零的白噪聲不會改變系統(tǒng)的動力學(xué)特性，噪聲幾乎對系統(tǒng)的輸出沒有影響。這驗證了Lorenz混沌系統(tǒng)對噪聲具有免疫力。

2）當(dāng)參數(shù)α＝10，β＝24.0061，γ＝8／3時，第一個方程中未加入擾動項和加入擾動項S＝0.00012cos t兩種情況下Lorenz系統(tǒng)的相變情況見圖5。

由圖5可見，系統(tǒng)中加入較小的微弱信號，也不足以使系統(tǒng)的混沌狀態(tài)發(fā)生突變。

3）當(dāng)參數(shù)α＝10，β＝24.0061，γ＝8／3，S＝0.00013cos t＋n（t）時，噪聲方差為0.01。受擾Lorenz系統(tǒng)的相變情況見圖6。

由圖6可見，加入微小的擾動項，系統(tǒng)的相圖發(fā)生很大變化，系統(tǒng)已經(jīng)完全進(jìn)入混沌狀態(tài)，所以在此情況下，檢測的信噪比為：

在Lorenz系統(tǒng)的第一個方程中加入擾動信號，通過實驗仿真發(fā)現(xiàn)這個加入的微弱信號對系統(tǒng)動力學(xué)行為有明顯的影響。也可以將擾動項加入其它方程中，同樣對系統(tǒng)行為產(chǎn)生顯著影響，說明利用Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行微弱光電信號檢測是可行的。

4 R?ssler系統(tǒng)相圖法檢測微弱光電信號幅值

對于檢測含有噪聲的信號，要想檢測出信號的幅值，關(guān)鍵的問題依然是系統(tǒng)混沌閾值的確定。設(shè)系統(tǒng)參數(shù)a＝0.373，c＝10，初始值為˙x，˙y，˙z＝（0，0，0），逐漸調(diào)整參數(shù)b，仿真結(jié)果見圖7。

通過大量仿真，發(fā)現(xiàn)R?ssler系統(tǒng)的混沌閾值大約為b＝18.265，在此情況下，將待檢信號S（t）＝Acos（t）＋n（t）加入到第二方程中，其中，噪聲方差為0.001，通過大量仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)待測信號幅值A(chǔ)＝0.00052時，系統(tǒng)依然處于混沌狀態(tài)，但是稍微增大幅值，如A＝0.00053，系統(tǒng)即由混沌狀態(tài)進(jìn)入到周期狀態(tài)，這個狀態(tài)的改變是由于在系統(tǒng)中加入了正弦信號引起的，見圖8。

因此，系統(tǒng)可檢測的信噪比為：

5 相圖法檢測幅值方法比較

通過上述分析發(fā)現(xiàn)，利用典型的混沌振子均能實現(xiàn)微弱光電信號幅值的檢測，相比較而言，高階Lorenz系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)的方程結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，因此具有更為復(fù)雜的動力學(xué)特性。通過觀察輸入不同信號前后系統(tǒng)相圖變化情況，來判斷可檢測信號的幅值。通過仿真發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)參數(shù)和初始值對系統(tǒng)狀態(tài)影響很大，因此，為比較兩種方法檢測微弱光電信號幅值時的信噪比，針對不同初始狀態(tài)和參數(shù)值，進(jìn)行仿真，固定Lorenz系統(tǒng)參數(shù)α＝10，γ＝28，調(diào)節(jié)參數(shù)β值；而對于R?ssler系統(tǒng)，則固定參數(shù)a＝0.373，c＝10，調(diào)節(jié)參數(shù)b值。檢測結(jié)果見表1。

表1 Lorenz系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)檢測結(jié)果對比表Table1 Measurement result contrast based on Lorenz system and R?ssler system

由表1可見，系統(tǒng)初始狀態(tài)不同，兩者的混沌閾值也隨之改變，而在相同初始狀態(tài)情況下，加入相同的噪聲方差，可檢測的信號幅值有所不同。

比較而言，R?ssler系統(tǒng)檢測的信噪比更低，更適宜進(jìn)行微弱光電信號幅值檢測，然而，兩者利用相圖法進(jìn)行微弱光電信號檢測時，無法檢測任意大小的微弱信號幅值，具有一定的局限，然而，相對低階的Duffing系統(tǒng)和VanderPol-Duffing系統(tǒng)而言，這兩種混沌振子可檢測的信噪比更低，用其進(jìn)行任意幅值的微弱光電信號檢測，理論上來說是可行的，因此仍需繼續(xù)探討利用高階混沌系統(tǒng)檢測微弱光電信號幅值的理論和方法。

6 結(jié) 論

本文研究了利用新型混沌振子檢測微弱光電信號幅值的方法，在重點研究Lorenz混沌振子和R?ssler混沌振子動態(tài)特性的基礎(chǔ)上，使用其進(jìn)行微弱光電信號幅值檢測。檢測結(jié)果表明，復(fù)雜的混沌振子檢測微弱光電信號幅值的精度更高，信噪比也較低，為微弱光電信號的幅值檢測提供了新思路。

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