開映射的性質(zhì)*

霍承剛

（宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州 234000）

定義1［1］設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，映射f:X→Y稱為一個開映射，如果對于X中的任何一個開集U，像集f（U）是Y中的一個開集.

定義2［2］設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，f:X→Y.如果Y中每一個開集U的原像f－1（U）是X中一個開集，則稱f是從X到Y(jié)的一個連續(xù)映射，或簡稱f連續(xù).

例［5］設(shè)X=X1×X2×… ×Xn是n≥1個拓?fù)淇臻gX1，X2，…，Xn的積空間，則對于每一個i=1，2，…，n，笛卡爾積X到它的第i個坐標(biāo)集Xi的投射Pi:X→Xi是一個滿的連續(xù)開映射，且X的拓?fù)錇橄鄬τ跐M射f而言的拓?fù)?

定理1 1）從離散空間到離散空間的任何映射都是開映射;2）從平庸空間到離散空間的任何映射都是開映射.

證明 1）設(shè)f:X→Y為離散空間X到離散空間Y的映射，對X中任一開集U，因為Y是離散空間，所以f（U）是Y中的一個開集，即f是一個開映射.

2）設(shè)f:X→Y為平庸空間X到離散空間Y的映射，因為f（?）=?，f（X）?Y，而Y為離散空間，所以f（?）和f（X）為Y中的開集，即f是一個開映射.

定義3［2］設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g.如果f:X→Y是一個一一映射，并且f和f－1都是連續(xù)的，則稱f是一個同胚映射或同胚.

定理2 設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，映射f:X→Y為同胚，則映射f:X→Y為一個開映射.

證明 設(shè)U是X的任意開集，由于映射f:X→Y為同胚，則f－1:Y→X也是同胚，因而f－1:Y→X是連續(xù)映射.對X的任意開集U，有（f－1）－1（U））=f（U）為Y中的開集，從而f:X→Y為一個開映射.

定理3 設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，映射f:X→Y為一一映射，若f為連續(xù)的開映射，則f:X→Y為同胚.

證明 欲證明f:X→Y為同胚，由已知條件，只需證明f－1:Y→X連續(xù)即可.對X中的任意開集U有（f－1）－1（U））=f（U）.由于f為開映射，故f（U）為Y中的開集，從而說明f－1:Y→X連續(xù).

這樣由定理2和定理3即有如下的結(jié)論:X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X→Y為同胚的充要條件是f為一一的連續(xù)開映射.

下面給出開映射的一個重要性質(zhì).

定理4 設(shè)X，Y和Z是拓?fù)淇臻g，映射f:X→Y和g:Y→Z都為開映射，則g?f:X→Z也為開映射.

證明 設(shè)W為Z中的任意開集，由f:X→Y為開映射有f（U）為Y中的開集，再由g:Y→Z為開映射得g（f（u））為Z中的開集.而g?f（u）=g（f（U）），所以g?f（u）為Z中的開集，這就證明了g?f:X→Z為開映射.

定義4［2］一個拓?fù)淇臻g如果有一個可數(shù)基（在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基），則稱這個拓?fù)淇臻g是滿足第二可數(shù)性公理的空間（滿足第一可數(shù)性公理的空間）.

引理1［1］設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X→Y是一個滿的連續(xù)開映射，如果X滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理），則Y也滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）.

定理5 設(shè)X=X1×X2×…×Xn是n≥1個拓?fù)淇臻gX1，X2，…，Xn的積空間，如果X滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理），則Xi（i=1，2，…，n）也滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）.

證明 考慮積空間X到第i個坐標(biāo)空間的自然投射Pi:X→Xi（i=1，2，…，n），由于Pi:X→Xi是一個滿的連續(xù)開映射（其中i=1，2，…，n），再結(jié)合引理1，定理結(jié)論成立.

定義5［3］設(shè)（X，T）是一個拓?fù)淇臻g，Y是一個集合，f:X→Y是一個滿射.Y的拓?fù)銽1={U?Y|f－1（U）∈T}，稱為Y的相對于滿射f而言的商拓?fù)?

引理2［4］設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X→Y是一個滿的連續(xù)開映射，則Y的拓?fù)涫窍鄬τ跐M射f而言的商拓?fù)?

定理6 設(shè)X=X1×X2×…×Xn是n≥1個拓?fù)淇臻gX1，X2，…，Xn的積空間，Pi:X→Xi為X到它的第i個坐標(biāo)空間Xi的自然投射，則Xi的拓?fù)涫窍鄬τ跐M射Pi而言的商拓?fù)?，其中i=1，2，…，n.

證明 由引理2定理結(jié)論自然成立.

［1］熊金城.點集拓?fù)渲v義［M］.北京:高等教育出版社，1998

［2］ARMSTRONG M A.基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)［M］.孫以豐，譯.北京:北京大學(xué)出版社，1983

［3］李元熹，張國梁.拓?fù)鋵W(xué)［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986

［4］楊鼎文.代數(shù)拓?fù)浠A(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，1992

［5］霍承剛.對一類拓?fù)淇臻g的研究［J］.西部論壇，2010，20（增1）:157