MathCAD在連接體問(wèn)題研究中的應(yīng)用
——再議連接體中物體最大速度問(wèn)題

姜付錦

（武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430030）

文獻(xiàn)［1］～［3］都是討論連接體中物體最大速度問(wèn)題；其中文獻(xiàn)［1］準(zhǔn)確、精煉地研究了這個(gè)問(wèn)題并且利用幾何畫(huà)板求得一個(gè)物體最大速度的位置，但是沒(méi)有求出兩個(gè)物體的最大速度及另一個(gè)物體取最大速度的位置；文獻(xiàn)［2］與文獻(xiàn)［3］非常系統(tǒng)和完整地研究了這個(gè)問(wèn)題中的加速度關(guān)系及兩個(gè)物體在取最大速度時(shí)的位置并且得到了最大速度的表達(dá)式，但計(jì)算過(guò)程非常簡(jiǎn)單不直觀、具體；文獻(xiàn)［2］不僅得到兩物體達(dá)到最大速度時(shí)的位置而且還通過(guò)理論證明了在此位置有最大速度的原因，但是文中的公式和描述性語(yǔ)言過(guò)多不便于讀者深刻領(lǐng)會(huì).現(xiàn)筆者通過(guò)MathCAD來(lái)研究此問(wèn)題，如果文中有不當(dāng)之處，請(qǐng)各位物理同仁批評(píng)指正.

MathCAD是美國(guó)Mathsoft公司推出的一個(gè)交互式數(shù)學(xué)軟件，該軟件定位于向廣大教師、學(xué)生、工程人員提供一個(gè)兼?zhèn)湮淖?、?shù)學(xué)和圖形處理能力的集成工作環(huán)境，使他們能方便地準(zhǔn)備教案，完成作業(yè)或準(zhǔn)備科學(xué)分析報(bào)告.在輸入一個(gè)數(shù)學(xué)公式、方程組、矩陣之后，計(jì)算機(jī)能直接給出結(jié)果，而無(wú)需考慮中間計(jì)算過(guò)程.在計(jì)算機(jī)中輸入數(shù)學(xué)公式、符號(hào)和等式，可以很容易地算出代數(shù)、微積分、三角函數(shù)以及很多科技領(lǐng)域中的復(fù)雜表達(dá)式的值，并可顯示數(shù)學(xué)表格和圖形，通過(guò)對(duì)圖形結(jié)果的分析，使對(duì)問(wèn)題的理解更加形象.

1 題目1

如圖1所示，一輕繩通過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪，一端與放在傾角為α＝30°的光滑斜面上的質(zhì)量為m1的物體A相連，另一端與套在光滑豎直桿上質(zhì)量為m2的物體B相連.定滑輪M到豎直桿的距離為l＝m，桿上N點(diǎn)與定滑輪的高度相同，當(dāng)物體B在距N點(diǎn)下方1m處時(shí)，A和B恰好靜止，求

（1）物體A和B的質(zhì)量之比；

（2）將物體B從N點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放，物體B下滑過(guò)程中的最大速度大小.

圖1

1.1 分析

第一問(wèn)的結(jié)果為＝4.以物體B出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)豎直向下為正方向建立x軸，設(shè)某一時(shí)刻物體B下降位移為x，則物體A沿斜面移動(dòng)距離為y＝.設(shè)繩子的拉力大小為F，與水平方向成θ角，則有以下微分方程組

初始值為

所以上式可化為

1.2 利用MathCAD解微分方程

利用MathCAD解微分方程，如圖2所示.

圖2

1.3 圖形分析

在圖2（c）中v1i，v2i分別表示B物體與A物體的速度，Ti表示物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，表示繩子與水平方向的夾角.由圖可知，兩物體的運(yùn)動(dòng)都是周期性的，周期是3.6s.當(dāng)θ＝20.01°，即t＝0.4s時(shí)，B物體第一次達(dá)到最大速度2.358m／s；當(dāng)θ＝36.452°，即t＝0.7s時(shí)，A物體第一次達(dá)到最大速度1.130 8m／s；兩物體達(dá)到最大速度時(shí)的位置與時(shí)間都不同.這與文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［3］中的結(jié)論是一致的.

2 題目2

如圖3所示，一段足夠長(zhǎng)輕繩跨過(guò)兩個(gè)等大等高的定滑輪后，兩端各有一個(gè)質(zhì)量為m的物體A和B，系統(tǒng)開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài).此時(shí)，在繩子的中點(diǎn)掛一個(gè)質(zhì)量也為m的物體C，已知兩定滑輪的間距為2L，忽略滑輪的摩擦力和空氣阻力，設(shè)重力加速度為g.試分析物體C在什么位置取最大速度及最大速度為多少？

圖3

2.1 通常分析

當(dāng)DC，EC夾角為120°時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，物體C有最大速度，設(shè)最大速度為vm.由運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)可知物體A，B的速度為vmcos 60°，設(shè)物體C下降的高度為h，則有h＝；物體A，B上升的高度為.由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律可知

2.2 正確分析

初始值為

所以上式可化為

2.3 利用MathCAD解這個(gè)微分方程

用MathCAD解該方程，如圖4所示.

圖4

2.4 圖形分析

設(shè)三個(gè)物體的質(zhì)量均為m＝1kg，重力加速度g＝10m／s2，兩定滑輪的間距2L＝20m，v1i，v2i分別為物體C和物體A（B）的速度，Ti，分別為時(shí)間及繩子與水平方向的夾角.由圖4（c）可知，當(dāng)時(shí)間為1.033 3s時(shí)，物體C第一次達(dá)到最大速度vm＝6.211m／s，繩子與水平方向的夾角為22.921°；當(dāng)時(shí)間為1.633 3s時(shí)，物體A（B）第一次達(dá)到最大速度3.238 6m／s，繩子與水平向上方向的夾角為38.038°；三個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的周期為7.433s.這與文獻(xiàn)［2］中的結(jié)論是一致的.

從以上的應(yīng)用可以發(fā)現(xiàn)MathCAD具有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)運(yùn)算功能，利用它可以進(jìn)行復(fù)雜的理論計(jì)算和創(chuàng)作設(shè)計(jì)物理教學(xué)與研究，也可以用來(lái)精確模擬各種物理現(xiàn)象，把物理概念、物理方程及其解答有機(jī)結(jié)合起來(lái)，達(dá)到“形象思維與抽象思維的統(tǒng)一”.用MathCAD研究物理問(wèn)題，效率很高，操作簡(jiǎn)便，避開(kāi)了復(fù)雜、重復(fù)、容易出錯(cuò)的數(shù)學(xué)計(jì)算和耗費(fèi)精力的計(jì)算機(jī)編程，把精力和智慧集中在物理問(wèn)題的本質(zhì)部分.運(yùn)用它可以在計(jì)算機(jī)上開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，尤如“在智力游戲的同時(shí)，探索極其復(fù)雜的原理”.這里既有數(shù)學(xué)和物理，也有藝術(shù).

1 何征宇.用“幾何畫(huà)板”的函數(shù)功能研究物理疑難問(wèn)題.物理通報(bào)，2010（4）：65～66

2 孫林燕，黃振平.輕繩連接體中的加速度問(wèn)題.物理通報(bào)，2010（5）：70～71

3 易行.談?wù)劤浞职l(fā)揮習(xí)題的“物理營(yíng)養(yǎng)”.物理通報(bào)，2010（6）：56～58