胡學兵

（江蘇省淮陰中學 江蘇 淮陰 223002）

【原題】如圖1所示，傾角為α的等腰三角形底面固定在水平面上.一足夠長的輕質綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側；綢帶與斜面間無摩擦.現將質量分別為M，m（M＞m）的小物塊同時輕放在斜面兩側的綢帶上.兩物塊與綢帶間的動摩擦因數相等，且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等.在α角取不同值的情況下，下列說法正確的有

A.兩物塊所受摩擦力的大小總是相等

B.兩物塊不可能同時相對綢帶靜止

C.M不可能相對綢帶發(fā)生滑動

D.m不可能相對斜面向上滑動

從題目所給的信息，很難直接解決所問的問題.該題對學生的能力要求很高，對于難點的突破，筆者充分使用了假設法.希望以下的討論能夠得到同行的指教，發(fā)現其中不足，以共同提高.

圖1

1 必須理解的問題

（1）輕質綢帶：理想化的模型，綢帶中的張力沿綢帶方向處處相等.

（2）斜面模型：動摩擦因數μ與斜面傾角α的關系決定了物體在斜面上如何運動.

1）當μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα.物體沿斜面勻加速下滑，滑動摩擦力f＝μmgcosα；

2）當μ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα.物體沿斜面勻速下滑或靜止，摩擦力f＝μmgcosα＝mgsinα；

3）當μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα.物體靜止在斜面上，靜摩擦力f＝mgsinα.

（3）物體在綢帶上，與綢帶的動摩擦因數為μ，存在以下幾種可能：

1）當μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα，物體與綢帶運動無關，相對斜面勻加速下滑；

2）當μ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα，物體與綢帶運動方向有關，相對斜面沿斜面加速下滑或靜止；

3）當μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα，物體相對綢帶靜止，相對斜面沿斜面（向上或向下）運動或靜止.

2 假設法分析

（1）假設1：當動摩擦因數μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα，物體與綢帶運動無關，相對斜面勻加速下滑.假設三種可能：

1）M，m均相對斜面勻加速下滑且綢帶不動；

2）M，m均相對斜面勻加速下滑且綢帶隨M一起運動；

3）M，m均相對斜面勻加速下滑且綢帶隨m一起運動.

上述三種情況1）中，兩個物體與綢帶間的摩擦力均為滑動摩擦力，則綢帶兩端所受的摩擦力分別為μMgcosα，μmgcosα，與輕質綢帶中的張力處處相等矛盾，故不成立.2）中，兩個物體的與綢帶間的摩擦力分別為靜摩擦力、滑動摩擦力，則綢帶與m之間的摩擦力為μmgcosα，與M之間的摩擦力在零至μMgcosα區(qū)間內.只要兩端的摩擦力相等就可以成立；而μmgcosα在區(qū)間內，故成立.3）中，兩個物體的與綢帶間的摩擦力分別為滑動摩擦力、靜摩擦力，則綢帶與M之間的摩擦力為μMgcosα，與m之間的摩擦力在零至μmgcosα區(qū)間內；而μMgcosα不在區(qū)間內，故不成立.

總之，當μ＜tanα，M與綢帶一起沿斜面勻加速下滑，m相對斜面勻加速下滑，相對綢帶運動.

（2）假設2：當動摩擦因數 ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα，物體與綢帶運動方向有關，相對斜面沿斜面加速下滑或靜止.假設三種可能：

1）M，m均相對斜面靜止且綢帶不動；

2）M相對斜面加速下滑，m待定；

3）M相對斜面靜止，m待定.

上述的三種情況1）中，兩個物體與綢帶間的摩擦力均為靜摩擦力，則綢帶兩端所受的摩擦力分別為Mgsinα，mgsinα，與輕質綢帶中的張力處處相等矛盾，故不成立.2）中，M與綢帶間的摩擦力必有f＜Mgsinα＝μMgcosα，即靜摩擦，故m與綢帶之間的摩擦力為μmgcosα，存在f＝μmgcosα，故成立.3）中，M與綢帶間的摩擦力為Mgsinα＝μMgcosα，而m與綢帶之間的摩擦力在零至μmgcosα區(qū)間內，而μMgcosα不在區(qū)間內，故不成立.

總之，當μ＝tanα，M與綢帶一起沿斜面勻加速下滑，m相對斜面靜止.

（3）假設3：當動摩擦因數μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα，物體相對斜面沿斜面向上或沿斜面向下或靜止，物體相對綢帶靜止.假設三種可能：

1）M，m相對斜面均靜止；

2）M相對斜面沿斜面向上加速，且M，m均相對綢帶靜止；

3）M相對斜面沿斜面向下加速，且M，m均相對綢帶靜止.

上述的三種情況1）中，兩個物體與綢帶間的摩擦力均為靜摩擦力，則綢帶兩端所受的摩擦力分別為Mgsinα，mgsinα，與輕質綢帶中的張力處處相等矛盾，故不成立.2）中，M與綢帶間的摩擦力要大于Mgsinα，而m與綢帶之間的摩擦力要小于mgsinα，兩端的摩擦力不可能相等，故不成立.3）中，M與綢帶間的摩擦力要小于Mgsinα，而m與綢帶之間的摩擦力要大于mgsinα，故兩端的摩擦力可能相等，所以假設成立.

總之，當μ＞tanα，M與綢帶一起沿斜面勻加速下滑，m相對斜面沿斜面勻加速向上運動，且相對綢帶靜止.

綜上分析，M與綢帶相對靜止，m與綢帶相對靜止或相對運動，故選項A，C正確.

此題比較新穎，筆者覺得很適合利用假設法去突破.如果能夠這樣給學生講解，想必會給教學帶來很好的效果.