張 旭，雷虎民，曾 華，肖增博，葉繼坤

(空軍工程大學導(dǎo)彈學院，三原 713800)

0 引言

制導(dǎo)律的設(shè)計是制導(dǎo)武器實現(xiàn)精確制導(dǎo)的關(guān)鍵技術(shù)。許多對地制導(dǎo)武器在命中目標時，不僅希望得到最小的脫靶量，還希望命中目標時彈體姿態(tài)最佳，從而使戰(zhàn)斗部能夠充分發(fā)揮最大效能，取得最佳毀傷效果［1－2］。Kim M 等［3］在 1973 年就推導(dǎo)了一種彈道導(dǎo)彈攻擊地面目標的帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，它對有關(guān)期望姿態(tài)角的彈目幾何關(guān)系方程進行了線性化，但因非線性彈目幾何關(guān)系方程是在慣性坐標系中設(shè)計的，當導(dǎo)彈以較大的姿態(tài)角攻擊機動目標時，文中所給出的線性化結(jié)果不能保證導(dǎo)彈能有效命中目標。文獻［4］設(shè)計了一種基于落角約束的全向制導(dǎo)律，但僅對前向攻擊和垂直攻擊進行了仿真，且導(dǎo)彈發(fā)射時的姿態(tài)角對落角誤差影響很大。文獻［5］設(shè)計了一種帶攻擊時間和攻擊角度約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，但其制導(dǎo)律形式過于復(fù)雜。文獻［6］設(shè)計了一種對攻擊角度非直接控制的偏置比例制導(dǎo)律，但只能對靜止目標表現(xiàn)出優(yōu)良特性，在攻擊機動目標時落角誤差很大。

本文給出一種帶有落角約束的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律通過對導(dǎo)航系數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整實現(xiàn)對機動目標的有效攔截，與帶落角約束的傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法相比，它不僅可滿足終端攻擊角約束，而且可實現(xiàn)全向攻擊。

1 數(shù)學模型與問題描述

1.1 導(dǎo)彈的數(shù)學模型

(1)運動學模型［7］

式中 vm、θm、am分別為導(dǎo)彈速度、方向角和法向加速度;xm、ym分別為導(dǎo)彈橫向和縱向坐標。

(2)實際模型［8］

其中，阻力模型為

式中 T和D分別為導(dǎo)彈的發(fā)動機推力和阻力;D0為零升阻力;Di為誘導(dǎo)阻力;m為導(dǎo)彈質(zhì)量;g為重力加速度;CD0和K分別為零升力阻力系數(shù)和誘導(dǎo)阻力系數(shù);Ar為展弦比;e為效率因子;ρ為大氣密度;S為參考面積;Q為來流的動壓頭。

1.2 導(dǎo)彈-目標的相對運動模型及問題描述

為便于推導(dǎo)證明以說明設(shè)計思想，本文考慮攔截平面內(nèi)的彈目相對運動，如圖1所示。

圖1 彈目相對運動關(guān)系Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

圖1中，將導(dǎo)彈和目標均視為質(zhì)點，分別用M和T表示，它們的連線(LOS)為視線;R為彈目距離;q為視線角;vm和vt分別為導(dǎo)彈和目標的速度;θm和θt分別為導(dǎo)彈和目標的方向角;am為導(dǎo)彈法向加速度;θmf為導(dǎo)彈終端攻擊角。

傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法的定義如下:

對式(14)求積分，可得

由圖1可知，沿著和垂直于LOS的相對速度分別為

為了攔截到目標，垂直于視線的相對速度vθ應(yīng)當在末端趨向于零，即

由式(17)、式(18)可得終端視線角qf:

其中，p為目標速度與導(dǎo)彈速度的比值，即

由式(15)和式(20)可得導(dǎo)航系數(shù)N的表達式:

由于希望導(dǎo)彈以任意角度命中目標，故攻擊角θmf∈［－π，0］。經(jīng)典比例導(dǎo)引法［9］(N≥3)可以一定的攻擊角度準確命中目標，但無法實現(xiàn)對地目標的全向攔截，因此本文提出了一種自適應(yīng)比例制導(dǎo)律，以期在導(dǎo)彈攻擊目標的過程中，通過對N進行自適應(yīng)調(diào)整就可實現(xiàn)對機動目標帶落角約束的攔截。

2 帶落角約束的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 基于運動學模型的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律設(shè)計

針對上述經(jīng)典比例導(dǎo)引法無法實現(xiàn)對地目標進行全向攔截的問題，本節(jié)提出了自適應(yīng)比例制導(dǎo)律，如圖2所示。在導(dǎo)彈飛行初始階段，導(dǎo)航系數(shù)N是彈目初始幾何關(guān)系的函數(shù)，當導(dǎo)彈到達點2時切換到經(jīng)典比例導(dǎo)引(N=3)，從而實現(xiàn)對目標的有效攔截。

假設(shè)目標在地面上運動，且θt0=0，重寫式(21)，可得

對式(22)求解，可得終端方向角θmf，當N→∞時，θmf=θ0+arcsin( －psinθ0)。令 N=3，對式(22)進行簡化，可得

由于N→∞僅是一種特殊情況，故有

圖2 自適應(yīng)比例導(dǎo)引示意圖Fig.2 Adaptive proportional navigation

由圖2可知，在導(dǎo)彈發(fā)射時刻，使用比例導(dǎo)引法可獲得的攻擊角度如陰影1所示;當導(dǎo)彈到達點2后，可獲得的攻擊角度變?yōu)殛幱?所示的區(qū)域;自適應(yīng)比例導(dǎo)引的目的就是逐漸把導(dǎo)彈引向點3，這樣可獲得的攻擊角度變?yōu)殛幱?所示的區(qū)域，把所有陰影區(qū)域聯(lián)合起來，就可得 θmf∈［－π，0］，這個結(jié)論將在后面的定理中進行證明。

由圖2還可知，自適應(yīng)比例制導(dǎo)律使導(dǎo)彈從點1飛往點3，若導(dǎo)彈轉(zhuǎn)至比例導(dǎo)引(N=3)，則θmf=－π。令 θt=0，θmf= －π，根據(jù)式(19)，可得 qf= －π，將該值代入式(21)，可得在點3處的方向角:

令θm=0和q=－2π/3，以便在攔截終端滿足式(25)。這樣，為了實現(xiàn)對機動目標的攔截，即導(dǎo)彈從(q，θm)=(0，θm0)(見圖 2 點 1)到(q，θm)=( －2π/3，0)(見圖2點3)，可得導(dǎo)航系數(shù)N:

由式(14)和式(26)可得導(dǎo)彈的指令加速度:

根據(jù)以上推導(dǎo)，有下列自適應(yīng)比例導(dǎo)引定理:

定理1:在自適應(yīng)比例導(dǎo)引彈道上，視線角速率始終小于零，即

根據(jù)式(27)，有

式(28)對時間進行積分，可得

對機動目標，令 θt=0，有

將式(29)代入式(30)，可得

在對地攻擊過程中，q∈［－2π/3，0］，θm0∈(0，π)，p≤1，將其代入式(31)，可得

把式(32)代入式(31)，可得

定理2:在自適應(yīng)比例導(dǎo)引彈道上，導(dǎo)彈的終端攻擊角可覆蓋所有角度，即

式(35)對q求微分，可得

式(37)對q求微分，化簡可得

式(29)對q求微分，可得在自適應(yīng)比例導(dǎo)引彈道上:

將式(39)代入式(38)，可得

根據(jù)式(36)和式(40)，可得

在自適應(yīng)比例導(dǎo)引彈道的初始點(見圖2點1)，θ=0，根據(jù)式(35)，可得:u2(q=0)=0，它在導(dǎo)彈攻擊目標時是最大的可能攻擊角，故

在自適應(yīng)比例導(dǎo)引彈道的終端，有q=－2π/3，θm=0，q和θm在這個點上滿足式(37)，因此:

它在導(dǎo)彈攻擊目標時是最小的可能攻擊角，故

根據(jù)式(41)、式(42)、式(44)，可得

由定理1、2可知，對于在區(qū)間［－π，0］內(nèi)的任意角度，在自適應(yīng)比例導(dǎo)引彈道上都存在一個點使N≥3，從而達到期望的攻擊角度。本文給出的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律當滿足式(21)的N＜3時，使用式(27)所給出的指令加速度，當N≥3時，N就取值為3。因此本文所提出的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律可歸納如下:

式中 ts是式(θmf－θm)/(qf－q)的值增加至3的時刻，定義為轉(zhuǎn)換時間。

qf由下式給出:

2.2 基于實際模型的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律設(shè)計

根據(jù)文獻［8］所給出的導(dǎo)彈實際模型，在導(dǎo)彈發(fā)射后前1.5 s，導(dǎo)彈一直處于自主制導(dǎo)狀態(tài)，此時N=0;當t=1.5 s時，導(dǎo)彈助推段工作結(jié)束，因此式(24)可修正如下:

式中 θmc和qmc分別是助推段結(jié)束時導(dǎo)彈的方向角和視線角。

由式(52)可知，在導(dǎo)彈飛行過程中，彈目速度比p不斷變化，從而引起qf的不斷變化，這樣對于實際模型而言，(θmf－θm)/(qf－q)的值會減小甚至小于最小值2(1+p)［10］。因此，在導(dǎo)航系數(shù)N的選取上，必須包含其允許最小值?？紤]重力因素的影響，修正后的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律如下所示:

3 仿真驗證

為體現(xiàn)所給自適應(yīng)比例制導(dǎo)律的基本性能及其實際應(yīng)用價值，首先對導(dǎo)彈空-地攻擊的運動學模型進行了仿真，并對不同攻擊角度進行了對比分析;然后針對垂直俯沖攻擊的實際作戰(zhàn)情形，對導(dǎo)彈地-地攻擊的實際模型進行了仿真分析。仿真中指令更新周期為5 ms，并考慮自動駕駛儀一階環(huán)節(jié)為

式中 τ為時間常數(shù);ama為導(dǎo)彈加速度。

3.1 運動學模型

假設(shè)空-地導(dǎo)彈攻擊機動目標，導(dǎo)彈初始位置為xm=0 m，ym=5 000 m，速度 vm=300 m/s，極限過載為±10g，時間常數(shù) τ=0.2 s;目標初始位置為 xt=5 000 m，yt=0 m，速度 vt=100 m/s，導(dǎo)彈初始發(fā)射角為30°，則視線角為 －45°。導(dǎo)彈分別以 qf= －45°、－60°、－90°、－150°的終端約束角進行攔截，目標在地面上做爬坡運動，加速度at=2 m/s2。仿真結(jié)果如圖3所示，4種情況的脫靶量幾乎為0，可忽略不計，攔截角度誤差分別為 0.19°、0.01°、0.02°、0.02°。

由圖3(a)可知，隨著設(shè)定的終端攻擊角θf(絕對值，下同)的不斷增大，彈道軌跡越來越高，尤其當θf＞90°時，導(dǎo)彈必須繞到目標的后方去才能達到預(yù)定的攻擊角度。因此，θf越大，飛行時間越長，彈道也越彎曲;同時，由圖3(a)、(d)可知，當彈目初始幾何關(guān)系滿足時，隨著θf的增大，導(dǎo)彈沿著初始彈道飛行的時間就越長，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)換時間ts也不斷增大，而當彈目初始幾何關(guān)系滿足時，導(dǎo)航系數(shù)緩慢減小，并在命中目標前8 s進行了自適應(yīng)切換;當導(dǎo)航系數(shù)經(jīng)過ts自適應(yīng)切換之后，導(dǎo)彈的法向加速度就開始逐漸減小(見圖3(c))，并在碰撞點附近保持在零點附近的小范圍內(nèi)，這種過載變化的優(yōu)點是在導(dǎo)彈末制導(dǎo)前段充分利用自身機動能力，當彈目距離比較接近時過載迅速減小，從而保證了其較高的制導(dǎo)精度。

圖3 運動學模型仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of kinetics model

3.2 實際模型

假設(shè)地-地導(dǎo)彈攻擊機動目標，導(dǎo)彈初始位置為xm=0 m，ym=0 m，速度 vm=300 m/s，極限過載為±10 g，時間常數(shù)τ=0.2 s;目標初始位置為xt=5 000 m，yt=0 m，速度 vt=100 m/s，導(dǎo)彈初始發(fā)射角為 30°，則視線角為0°?？紤]角度約束在實戰(zhàn)中的應(yīng)用，令導(dǎo)彈對地面機動目標進行垂直俯沖攻擊，即θf=－90°，目標在地面上做爬坡運動，加速度at=2 m/s2。仿真結(jié)果如圖4所示。脫靶量為0.005 4 m，落角誤差為0.03°。

雖然導(dǎo)彈實際模型地-地攻擊與常速模型空對地攻擊差別比較大，但在制導(dǎo)特性上仍有相似之處。由圖4可知，彈道軌跡明顯分為拉起段和垂直俯沖攻擊段，在拉起段導(dǎo)彈高度不斷增大，在達到轉(zhuǎn)換條件之后導(dǎo)航系數(shù)進行自適應(yīng)調(diào)整，隨后導(dǎo)彈高度開始降低，并進入垂直俯沖攻擊段。

導(dǎo)航系數(shù)N在助推段為0，之后增大為0.25，當t=16.34 s時，導(dǎo)彈飛行時間大于轉(zhuǎn)換時間，N增加至3，表現(xiàn)出明顯的自適應(yīng)變化特性。當N=3時，導(dǎo)彈法向加速度迅速增大，但并沒有達到飽和，之后又逐漸減小，在導(dǎo)彈即將命中目標時接近于零。這使導(dǎo)彈在遠離目標時能夠充分利用自身的可用過載，而在攔截末端過載接近于零，大大減小了對執(zhí)行機構(gòu)的要求。同時，由圖4的導(dǎo)彈速度曲線和質(zhì)量曲線可知，雖然在實際模型下導(dǎo)彈的質(zhì)量、速度等參數(shù)都是時變的，但所設(shè)計的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律仍能以極小的落角誤差精確命中機動目標，充分表明該制導(dǎo)律可滿足實際作戰(zhàn)的要求，具有一定的工程應(yīng)用價值。

圖4 實際模型仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of actual model

3.3 與帶落角約束的傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法的比較

仿真中目標在地面上做沿著飛行彈道法向的正弦加速機動:at=atmaxsin(πt/4)，其中 atmax=2 m/s2，其他初始條件與3.1節(jié)完全相同，則帶落角約束的傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法［9］所能得到的攻擊角度為范圍為

即 θf∈( －120°，－45°)。仿真結(jié)果如表1 表示。

表1 本文方法與傳統(tǒng)方法的仿真結(jié)果對比Table 1 Comparison between simulation results in methods of this thesis and tradition

由表1可知，基于落角約束的傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法在其攻擊角度范圍內(nèi)尚能以較小的脫靶量命中目標，但它只能針對靜止目標表現(xiàn)出較小的落角誤差，對于機動目標，所產(chǎn)生的落角誤差非常大;在其攻擊角度范圍之外，當θf=－45°時，N→∞，此時指令加速度趨于無窮，導(dǎo)彈已無法命中目標，當 θf= －150°時，N=1.71 ＜2，此時導(dǎo)彈雖然以很大的脫靶量和落角誤差命中目標，但其指令加速度在末端已趨于無窮大。因此，基于落角約束的傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法既不能實現(xiàn)全向攻擊，又不能在其可攻擊角度范圍內(nèi)實現(xiàn)對終端攻擊角的落角約束。

由表1還可知，基于落角約束的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律不僅可實現(xiàn)全向攻擊，而且能夠保證較小的脫靶量和落角誤差;同時，自適應(yīng)比例制導(dǎo)律的攔截時間大于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法，這是因為其為了實現(xiàn)落角約束，必須把彈道抬高到一定高度，而抬高彈道勢必要花費更多的時間，雖然基于落角約束的傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法彈道相對較低，但它對于機動目標基本上已經(jīng)失去了落角約束的能力。

4 結(jié)束語

本文詳細推導(dǎo)了滿足終端落角約束的自適應(yīng)比例制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律設(shè)計了導(dǎo)航系數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整函數(shù)，與帶落角約束的傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法相比，它不僅可實現(xiàn)對機動目標的全向攔截，而且能夠以較小的脫靶量和落角誤差精確命中目標;此外，自適應(yīng)比例制導(dǎo)律還有一個優(yōu)點，就是它不僅適用于導(dǎo)彈常速模型，而且對導(dǎo)彈實際模型也表現(xiàn)出優(yōu)良的品質(zhì)，滿足實戰(zhàn)要求，具有一定的工程應(yīng)用價值。由于在制導(dǎo)律的設(shè)計及仿真中沒有考慮到量測數(shù)據(jù)中噪聲的影響，因此把制導(dǎo)信息獲取引入制導(dǎo)律設(shè)計將是下一步研究的主要方向。

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