一類Nehari函數(shù)族的擬共形延拓與系數(shù)偏差

謝志春,黃心中
(華僑大學數(shù)學科學學院,福建泉州362021)

研究一類Nehari函數(shù)族的擬共形延拓,給出擬共形延拓的復伸張估計.對該類函數(shù)在單位圓內(nèi)級數(shù)展開的系數(shù)給出一些精確估計,改進并推廣了楊宗信等人的相應結果.

Nehari函數(shù)族;Schwarz導數(shù);擬共形延拓;系數(shù)估計

1 預備知識

1949年,Nehari[1]證明了,若f在D內(nèi)解析,滿足|Sf(z)|≤2/(1-|z|2)2,則f在D內(nèi)單葉.Ahlfors等[2]證明了,若f為D內(nèi)局部單葉的亞純函數(shù),滿足

則f在D內(nèi)單葉且可以擬共形延拓到整個復平面上.其延拓后的復特征為

1979年,Nehari[3]證明了,若f在D內(nèi)解析,滿足

的解析函數(shù)的全體.

文獻[4-9]對函數(shù)類進行深入的研究,稱滿足式(2)的函數(shù)族為Nehari族.Nehari函數(shù)類與區(qū)域常數(shù)、區(qū)域的幾何特征有密切的聯(lián)系[10].可見,對該問題的研究是一個重要的課題.

基于Ahlfors等[2]的研究,文獻[11-12]對f∈N k的擬共形延拓作了進一步研究,文獻[11]得到

其中:M=M(α,k)是常數(shù).

2 主要結果及其證明

設f(z)為單位圓上局部單葉的解析函數(shù)滿足式(3),根據(jù)文獻[5]的方法,令

則在|z|>1上hα(z)的伸縮商為

為此,如定理A所述,希望找出適當?shù)腗(α,k),使得上述的延拓是整個復平面上的擬共形映照,且使得∞為最小.對于|z|>1,經(jīng)計算可得

由文獻[11]的結果,可得hM(z)的伸縮商為

為了找到復伸張較好的延拓,對hM(z)的復特征進行估計.

(1)當M>1時,有

當α=1時,可以得到如下推論.

推論1 若f為單位圓盤D上的亞純函數(shù),且滿足式(1),則有

令N0表示N中滿足就范條件f(0)=0,f′(0)=1,f″(0)=0的子類.對f(z)=z+a3z3+…∈N0的系數(shù)進行研究,可以得到

證明 由文獻[11]中的定理2.1可得

所以,對于|ζ|=1,0≤r<1有

由f′(0)=1,可得

因此有

將上式代入f(z),可得

經(jīng)整理,兩邊同時平方可得

當z→0時,有

整理后可得

當α=2時,文獻[12]對以上的結論作過相應的研究,文中的定理2及推論2推廣了文獻[12]的結果.

[1]NEHARIZ.The Schwarzian derivative and schlicht functions[J].Bull Amer M ath Soc,1949,55(6):545-551.

[2]AHL FORSL,W EILL G.A uniqueness theo rem for Beltramiequations[J].Proc Amer Math Soc,1962,13:975-978.

[3]NEHARIZ.Univalence criteria depending on the Schwarzian derivative[J].Illinois J Math,1979,23(3):345-351.

[4]GEHRING FW,POMM ERENKE C.On the Nehari univalence criterion and quasicircles[J].Comment Math Helv, 1984,59(1):226-242.

[5]CHUAQU IM,OSGOOD B.Finding comp lete confo rmalmetrics to extend conformalmappings[J].Indiana University Mathematics Journal,1998,47(4):1273-1291.

[6]CHUAQU IM,OSGOOD B.Sharp distortion theorems associated with the Schwarzian derivative[J].J London Math Soc,1993,48(2):289-298.

[7]CHUAQU IM,POMM ERENKE C.Characteristic properties of Nehari functions[J].Pacific J Math,1999,188(1): 83-94.

[8]CHUAQU IM,OSGOOD B.General univalence criteria in the disk:Extensions and extremal function[J].Ann Acad Sci Fenn,1998,23(1):101-132.

[9]CHUAQU IM,OSGOOD B.Ahlfo rs-Weill extensionsof confo rmalmappings and critical pointsof the Poincarémetric[J].Comment Math Helv,1994,69(1):659-668.

[10]LEHTO O.Univalent functions and Teichmüller space[M].New York:Sp ringer-Verlag,1987.

[11]楊宗信,陳紀修.Nehari函數(shù)族的偏差定理與擬共形延拓[J].數(shù)學年刊,2004,25(6):695-704.

[12]楊宗信.一類Nehari函數(shù)的偏差性質[J].數(shù)學年刊,2007,28(6):781-790.

(責任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

On the Quasiconformal Extensionsand Coefficien ts Distortion for a Nehari Class

X IE Zhi-chun,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

The quasiconfo rmal extensions for one class of Nehari functions are considered,and their dilatations are estimated.Some sharp coefficient estimates are obtained for these Nehari functions with normal condition.Our results imp rove the one made by Yang and Chen.

Nehari class;Schwarzian derivative;quasiconfo rmal extension;coefficient estimate

O 174.55

A

1000-5013(2011)03-0343-05

2009-09-19

黃心中(1957-),男,教授,主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

福建省自然科學基金項目(2008J0195)