蘇廣寧， 嚴(yán) 正， 杜 浩

(上海交通大學(xué)電氣工程系電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室， 上海 200240)

引入赫希曼指數(shù)的電力系統(tǒng)諧波分析①

蘇廣寧， 嚴(yán) 正， 杜 浩

(上海交通大學(xué)電氣工程系電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室， 上海 200240)

快速傅里葉變換是進(jìn)行電網(wǎng)諧波分析的最主要方法，但是由于實際應(yīng)用中只能截取有限長序列分析，從而必然產(chǎn)生誤差。為了提高諧波分析的精度，該文提出了引入壟斷經(jīng)驗學(xué)中的赫希曼指數(shù)(HHI)，來衡量頻譜的集中程度，從而得到參與傅里葉變換的最佳序列長度。其中，采用Good-Thomas算法對任意長度序列進(jìn)行快速準(zhǔn)確地基本快速傅里葉變換計算，數(shù)據(jù)源為80點/周波現(xiàn)場實測Comtrade數(shù)據(jù)。通過仿真證實，其效果非常顯著。并用Qt跨平臺語言，實現(xiàn)了基于上述算法的電力系統(tǒng)諧波分析軟件。

諧波； 快速傅里葉變換； 赫希曼指數(shù)； 序列長度

近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，電力系統(tǒng)中出現(xiàn)了大量非線性元件，如輸電系統(tǒng)中的換流設(shè)備等，而負(fù)荷中的非線性元件更是數(shù)不勝數(shù)，如電弧爐、電氣化鐵路、變頻設(shè)備、電焊機(jī)等等。這些非線性元件產(chǎn)生的諧波注入到電網(wǎng)中會對電力系統(tǒng)造成很多不利的影響，威脅到電力設(shè)備的安全經(jīng)濟(jì)運行。對電網(wǎng)中的諧波進(jìn)行準(zhǔn)確的監(jiān)測，是進(jìn)行諧波治理的基礎(chǔ)，其意義非常重大。進(jìn)行諧波分析的最常用方法是快速傅里葉變換FFT(fast Fourier transform)。

在應(yīng)用FFT的過程中，很多工作者認(rèn)為，參與傅里葉變換的序列越長，得到的結(jié)果越準(zhǔn)確。本文將證明這是一種誤區(qū)，并提出了一種借用壟斷經(jīng)濟(jì)學(xué)中的赫芬達(dá)爾-赫希曼指數(shù)HHI(Herfindahl-

Hirschman index)，簡稱赫希曼指數(shù)，來改進(jìn)諧波分析精度的算法。最后，編寫了基于跨平臺語言Qt的電力系統(tǒng)諧波分析軟件。

1 關(guān)于Fourier變換長度選擇的誤區(qū)

很多技術(shù)人員都存在這樣一種共識，在進(jìn)行傅里葉變換的時候，如果采樣信號已經(jīng)確定，那么每次參與變換的序列越長，即N越大，則得到的頻譜愈接近于理論值。應(yīng)該說，在N可以取得非常大的時候，這種說法是正確的，因為此時非整數(shù)周期的截斷效應(yīng)已經(jīng)可以忽略。但實際情況并非如此，可以截取的N總是很有限的，它是否取得越大越好呢?下面做出分析。

設(shè)離散信號x(n)中含有L種諧波分量為

(1)

考慮到系統(tǒng)中間諧波的存在，ωi不一定為基波ω0的整數(shù)倍。用離散傅里葉變換DFT(discrete Fourier transform)的定義將其展開

k=0，1，…，N-1

(2)

經(jīng)過較復(fù)雜的推導(dǎo)，得只含三角函數(shù)的式子為

(3)

由式(3)對ki進(jìn)行如下討論。

(1)當(dāng)所有的ki都能取到整數(shù)時，根據(jù)三角函數(shù)的周期性，由(3)看出，除了當(dāng)k=ki時X(k)≠0，其他的X(k)均為0。

(2)ki不能都取到整數(shù)時，會發(fā)生頻譜泄漏。

(4)

式中：fs為采樣頻率；fi為i次諧波頻率。

若系統(tǒng)中只含有整數(shù)次諧波，即i只取整數(shù)，則只要使截斷后的序列長度為原始信號中基波周期(最大周期)的整數(shù)倍，就可以得到準(zhǔn)確頻譜。在實際電力系統(tǒng)中，無論按標(biāo)準(zhǔn)取80點/周或是256點/周，只要截取長度為整周期數(shù)，就可以使ki為整數(shù)。

但事實上，系統(tǒng)中由于間諧波的存在以及頻率的波動，使得無論N取多少，ki都不可能總為整數(shù)，進(jìn)行頻譜分析時存在頻譜泄漏是不可避免的。應(yīng)該盡量使ki接近整數(shù)，由式(4)知，這可以通過調(diào)整N實現(xiàn)。

由式(3)可以看出，頻譜泄漏的多少與N的關(guān)系并不明確，為此，通常認(rèn)為序列越長，諧波分析越準(zhǔn)確的結(jié)論是否正確。下面通過一個實驗來推翻這種論斷，同時實驗的過程本身就是一種提高傅里葉分析精度的算法。

2 計及HHI的電力系統(tǒng)諧波分析

首先，要確定一個衡量頻譜泄漏多少的指標(biāo)。在數(shù)字信號處理的相關(guān)文獻(xiàn)中，尚未看到這種定義。據(jù)了解，在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，有若干用于衡量市場集中度(market concentration rate)的指標(biāo)，如：行業(yè)集中率、赫爾芬達(dá)爾-赫希曼指數(shù)、洛侖茲曲線、基尼系數(shù)、逆指數(shù)和熵指數(shù)等。其中赫希曼指數(shù)(HHI)既反映了行業(yè)的集中度，又體現(xiàn)了該行業(yè)中企業(yè)的規(guī)模分布。它同時具有數(shù)學(xué)上絕對法和相對法的優(yōu)點，從而成為了較理想的市場集中度計量指標(biāo)，經(jīng)常運用在反壟斷經(jīng)濟(jì)分析之中。[2]它的計算公式為

(5)

式中：Si是第i個企業(yè)所占市場份額；n是這個行業(yè)中企業(yè)總數(shù)。

下面就用赫希曼指數(shù)來作為衡量頻譜集中程度的指標(biāo)，參與傅里葉變換的序列長度N在一個區(qū)間內(nèi)連續(xù)取不同的值，觀察HHI(n)的大小變化，并取HHI(n)最大時的序列長度N，作為最終參與FFT的序列長度。

這里，輸入信號的幅度-頻率分布采用高斯函數(shù)形式為

φ(f)=ae-(f-b)2/c2

(6)

其中a、b與c為實數(shù)常數(shù)，且a>0。采用該函數(shù)是因為c2=2的高斯函數(shù)是傅里葉變換的特征函數(shù)。這就意味著高斯函數(shù)的傅里葉變換不僅僅是另一個高斯函數(shù)，而且是進(jìn)行傅里葉變換的函數(shù)的標(biāo)量倍。這就使很容易估計出變換后頻譜的形狀，從而直觀地判斷頻譜泄漏的大小。具體實驗如下。

幅度-頻率分布函數(shù)指數(shù)部分除以20，是為了讓不同頻率諧波的幅值相差不要超過一個數(shù)量級，否則在輸出的高斯分布圖上就無法清楚地看到兩邊的分量。采樣間隔取0.008 123 s，這樣避免被整除，使結(jié)果更具說服力，另外它小于0.01 s，即fs>100 Hz，滿足采樣定理，避免產(chǎn)生頻譜混疊。實驗結(jié)果如下。

輸入信號的理論頻譜如圖1所示。

圖1 原始輸入信號的高斯分布頻譜

取參與傅里葉變換的點數(shù)N在1 000～2 000點之間變化。由圖2所示，在N取1 231點時，HHI最大。用1 231點參與傅里葉變換的頻譜分布圖如圖3，可以看到，它同樣是很好的高斯分布，分析精度很高。而當(dāng)取最大點數(shù)2 000點參與傅里葉變換時，頻譜分布如圖4所示，它已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離高斯分布，分析的精度很差。

圖2 HHI隨輸入序列長度變化曲線

從圖2還可以看到，參與傅里葉變換的點數(shù)從1 000變到2 000的過程中，HHI在1 231點取得最大值，而且整個趨勢是隨著參與傅里葉變換的點數(shù)的增多而遞減的，這與通常人們認(rèn)為的參與傅里葉變換的點數(shù)越多越好的常識是相悖的。

在實際的電力系統(tǒng)當(dāng)中，由于頻率的波動以及間諧波的存在，當(dāng)截取有限長序列進(jìn)行分析時，必然會產(chǎn)生截斷效應(yīng)，引起泄露。上述算例是在一個輸入波形的諧波次數(shù)為隨機(jī)數(shù)的情況下完成的，很有代表性地驗證了，存在這樣一個最優(yōu)序列長度，可以使HHI最大，即泄露最小。正如1中所分析的，此時的N，根據(jù)式(4)，可以使ki最接近整數(shù)。

圖3 按HHI最大的1 231點計算出的頻譜

圖4 按點數(shù)最多的2 000點計算出的頻譜

3 基于Qt語言的諧波分析軟件實現(xiàn)

考慮上述算法，筆者編寫了基于Qt語言的電力系統(tǒng)諧波分析軟件。Qt是Linux下的強(qiáng)大編程工具，它的最大優(yōu)點是可以實現(xiàn)跨平臺編譯。目前變電站監(jiān)控系統(tǒng)普遍采用Windows系統(tǒng)，但是出于對電力系統(tǒng)安全的考慮，已經(jīng)逐步開始將Linux和Solaris系統(tǒng)引入到電力系統(tǒng)當(dāng)中。因此，基于Qt語言編寫的諧波分析軟件，可以更好的適應(yīng)未來電力系統(tǒng)的發(fā)展。

數(shù)據(jù)源采用80點/周的現(xiàn)場實測Comtrade數(shù)據(jù)。軟件中實現(xiàn)了上述算法，即可自動選擇最優(yōu)序列長度進(jìn)行計算，提高了離線諧波分析的精度。

為了可以快速準(zhǔn)確地進(jìn)行任意長度序列的FFT，采用了以Winograd小NDFT算法為基礎(chǔ)的Good-Thomas算法做基本運算[3，4]。這種算法將長度為N=N1×N2的一維DFT轉(zhuǎn)換成尺寸為N1×N2的二維DFT，然后以行-列方式沿每一維采用最有效的算法計算這個二維的DFT。它的運算效率比分裂基FFT更高，當(dāng)然編程也更復(fù)雜。

圖5 基于Qt語言的電力系統(tǒng)諧波分析軟件

4 結(jié)語

本文是在筆者編寫基于現(xiàn)場實測80點/周Comtrade文件數(shù)據(jù)的諧波分析軟件過程中，遇到的實際問題而寫的。文中提出了一種引入壟斷經(jīng)濟(jì)學(xué)中的赫希曼指數(shù)作為衡量頻譜泄漏指標(biāo)的算法，由仿真結(jié)果可以看出，該方法對提高諧波分析的精度有很大的幫助。最后實現(xiàn)了基于跨平臺編譯語言

Qt和該算法的諧波分析軟件。其中為了可以快速對任意長度序列進(jìn)行FFT計算，采用了Good-Thomas算法。

[1] 周厚奎，張昱，金心宇(Zhou Houkui, Zhang Yu, Jin Xinyu).基于傅里葉和小波變換的電網(wǎng)諧波分析(Power harmonic analysis based on Fourier and wavelet transform)[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(Proceedings of the CSU-EPSA)，2005，17(6)：59-62，99.

[2] (美)小賈爾斯·伯吉斯.管制和反壟斷經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].上海: 上海財經(jīng)大學(xué)出版社，2003.

[3] 布萊赫特 R E.數(shù)字信號處理的快速算法[M].北京: 科學(xué)出版社，1992.

[4] 殷福亮,宋愛軍.數(shù)字信號處理C語言程序集[M].沈陽: 遼寧科學(xué)技術(shù)出版社，1997.

[5] (加)Blanchette J，(英)Summerfield M. C++ GUI Qt 4編程[M].北京: 電子工業(yè)出版社，2008.

[6] 易立強(qiáng),鄺繼順(Yi Liqiang, Kuang Jishun).一種基于FFT的實時諧波分析算法(FFT-based algorithm for real-time harmonic analysis)[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(Proceedings of the CSU-EPSA),2007,19(2):98-102.

HarmonicAnalysisofPowerSystemIntroducedHirschmanIndex

SU Guang-ning， YAN Zheng， DU Hao

(Key Laboratory of Control of Power Transimission and Transformation, Ministry of Ecluction,Department of Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Fast Fourier transform(FFT)is the most important method used in power system harmonic analysis.However,taking finite-duration signals makes i inaccuracy.In order to improve analysis accuracy,this paper presents a new algorithm based on the concept of Hirschman index(HHI) in the monopoly economics,which evaluates the intensity of frequency spectrun and gets the best sequence length to participate FFT.Good-Thomas algorithm is used to calculate random length sequence apace accurately.The data source is format Comtrade measuring in the on-site.The simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm.Based on above algorithm,a harmonic analysis software of power system is accomplished using Qt,which is a kind of cross-platform programming language.

harmonic； fast Fourier transform； Hirschman index； sequence length

2009-09-25

2009-11-02

TM714

A

1003-8930(2011)01-0123-04

蘇廣寧(1986-)，男，碩士研究生，研究方向為電能質(zhì)量。Email:realsgn@163.com 嚴(yán) 正(1964-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化運行、電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析、電力市場。Email:zhengyan_sjtu@yahoo.com.cn 杜 浩(1987-)，男，碩士研究生，研究方向為電能質(zhì)量。Email:duhao@mail.sjtu.edu.cn