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      Black-Scholes期權(quán)定價(jià)的修正模型及其應(yīng)用性研究

      2011-11-01 08:49:40陳溟
      統(tǒng)計(jì)與決策 2011年7期
      關(guān)鍵詞:權(quán)證馬鋼云化

      陳溟

      (內(nèi)蒙古科技大學(xué)數(shù)理與生物工程學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭014010)

      Black-Scholes期權(quán)定價(jià)的修正模型及其應(yīng)用性研究

      陳溟

      (內(nèi)蒙古科技大學(xué)數(shù)理與生物工程學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭014010)

      文章在經(jīng)典B-S模型的基礎(chǔ)上引入了交易費(fèi)用和連續(xù)支付的紅利,對(duì)期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行了進(jìn)一步研究,并且給出了存在交易費(fèi)用和連續(xù)紅利時(shí)的期權(quán)定價(jià)公式。通過馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的實(shí)例分析,進(jìn)一步說明有交易費(fèi)用和連續(xù)紅利存在對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析。

      B-S定價(jià)模型;交易費(fèi)用;連續(xù)紅利

      1973年,美國(guó)芝加哥大學(xué)教授Black.F和斯坦福大學(xué)教授Scholes.M發(fā)表了一篇名為《The pricing of options and Corporate Liabilities》的著名論文,文章給出了Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型,推導(dǎo)出基于股票的任何一種衍生證券的價(jià)格應(yīng)滿足的微分方程,并成功地求解該方程,因此獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。該理論及其以后的多種變形,對(duì)金融衍生工具市場(chǎng)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用。

      經(jīng)典的Black-Scholes模型在研究過程中沒有考慮交易費(fèi)用和連續(xù)紅利,這使得該模型在現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中的實(shí)用性降低。為了提高該模型的實(shí)際應(yīng)用性,使其更加符合現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng),本文在Black-Scholes模型假設(shè)的基礎(chǔ)上,引入了交易費(fèi)用和連續(xù)紅利,并且給出了存在交易費(fèi)用和連續(xù)紅利情況下的期權(quán)定價(jià)公式,然后又引進(jìn)兩個(gè)具有代表性的權(quán)證,進(jìn)一步研究分析,從而說明交易費(fèi)用和連續(xù)紅利的存在對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

      1 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型及其修正模型

      期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes偏微分方程為:

      對(duì)應(yīng)于可用標(biāo)的變量S定義的所有衍生證券,此方程有許多解。解方程時(shí)得到的特定的衍生證券取決于使用的邊界條件。對(duì)于歐式看漲期權(quán),關(guān)鍵的邊界條件為:

      f=max(S-X,0)當(dāng)t=T時(shí)

      對(duì)于歐式看跌期權(quán),關(guān)鍵的邊界條件為:

      f=max(X-S,0)當(dāng)t=T時(shí)

      求解該偏微分方程,可得歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為:

      C(S,t)=SN(d1)-Xe-rf(T-t)N(d2)

      看跌期權(quán)定價(jià)公式為:

      其中:

      N(x)為均值為0標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù),f為期權(quán)價(jià)格,f=f(S,t),S為股票價(jià)格,X為執(zhí)行價(jià)格,T為到期日,σ為股票回報(bào)的波動(dòng)率,rf為瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)利率。

      實(shí)際金融市場(chǎng)中,股票投資者經(jīng)常會(huì)得到一定數(shù)量的紅利,紅利的支付有兩種情形,每年在規(guī)定時(shí)間內(nèi)支付或者按照一定比例連續(xù)支付,這里為方便只討論連續(xù)支付的情形,在規(guī)定時(shí)間內(nèi)支付可將除權(quán)除息日所支付的紅利均攤到每一天,這樣便可認(rèn)為紅利是連續(xù)支付的?,F(xiàn)實(shí)交易中由于對(duì)投資組合的權(quán)重進(jìn)行連續(xù)調(diào)整可引起交易成本不斷增加,所以在修改模型時(shí)將交易成本考慮在內(nèi)成為必然。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是在連續(xù)條件下,先在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)期權(quán)進(jìn)行套期保值,再令dt→0而得到的,當(dāng)考慮交易費(fèi)用時(shí),就不能無限次地對(duì)其進(jìn)行套期保值,否則交易費(fèi)用也會(huì)達(dá)到無窮,這是不可能的。因此,我們可適當(dāng)修改該模型基本假設(shè)里的部分條件,對(duì)Black-Scholes方程基本假設(shè)做如下推廣:

      (1)股票價(jià)格過程遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),其離散形式為:

      其中,準(zhǔn)~N(0,1)其概率密度函數(shù)為:

      這里△t不再是無窮小量,不再求趨于0的極限。

      (2)期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)值遵循伊藤引理,其離散形式為:

      (3)股票連續(xù)支付紅利,利率為q(t),無風(fēng)險(xiǎn)利率為r=r(t)。

      (4)交易費(fèi)用是投資者因買賣股票而產(chǎn)生的直接費(fèi)用,一般由股票多頭支付,并以交易額的固定比例M來表示。

      構(gòu)造投資組合π,買入一份期權(quán)合約f,賣出δ份股票S:

      π=f-δS

      (3)式因套期保值策略而產(chǎn)生的交易份額ω為:

      利用泰勒中值定理,將(4)式的第一項(xiàng)展開得:

      從而可得△π的數(shù)學(xué)期望為:

      兩邊同時(shí)消去△t并移項(xiàng),即可得到有交易成本和連續(xù)支付紅利情況下歐式期權(quán)多頭的定價(jià)方程為:

      歐式期權(quán)空頭的定價(jià)方程為:

      2 求解修正后的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方程

      用偏微分的知識(shí)來求解該方程比較繁瑣,我們可以根據(jù)Black-Scholes模型的公式來推廣有交易費(fèi)用和連續(xù)支付紅利的情況。將此股票與一只不支付紅利的相似股票進(jìn)行比較,紅利的支付使得股票價(jià)格降低,所以支付連續(xù)紅利率q使得股票價(jià)格的增長(zhǎng)率比不支付時(shí)減少了q。

      帶入(6)式中,整理后,可得:

      與B-S基本模型相比,我們可以看出有交易費(fèi)用和紅利的定價(jià)模型只差在無風(fēng)險(xiǎn)利率r上,只需r-q用代替r,便可得到有交易費(fèi)用和紅利的期權(quán)定價(jià)公式。

      于是,有交易費(fèi)用和紅利的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為:

      其中

      3 添加交易費(fèi)和連續(xù)紅利的期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用研究

      我們選取兩個(gè)具有代表性的權(quán)證—馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證。馬鋼權(quán)證選擇2006-11-29至2008-11-28時(shí)間段,云化權(quán)證選擇2007-3-8至2009-3-7時(shí)間段(見表1),通過比較二者的B-S理論價(jià)格與修正價(jià)格的差異,進(jìn)而說明交易費(fèi)用和連續(xù)紅利對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

      3.1 馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的理論價(jià)格

      3.1.1 馬鋼權(quán)證的理論價(jià)格

      表1 馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的有關(guān)數(shù)據(jù)

      由表1可得,S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,c=1.679,通過Matlab軟件編程,可得馬鋼權(quán)證的隱含波動(dòng)率σ為0.5136,d1=1.7096,d2=0.9832

      表2 B-S理論價(jià)格與有交易費(fèi)和連續(xù)紅利的權(quán)證價(jià)格

      查表有:N(d1)=0.956,N(d2)=0.836

      則馬鋼權(quán)證的B-S理論價(jià)格為1.6437。

      3.1.2 云化權(quán)證的理論價(jià)格

      由表1可得,S=22.62,X=17.83,T-t=2,r=0.0252,c=9.34通過Matlab軟件編程,可得云化權(quán)證的隱含波動(dòng)率σ為0.6543,d1=1.5486,d2=0.6232

      查表有:N(d1)=0.9384,N(d2)=0.7295

      則云化權(quán)證的B-S理論價(jià)格為8.8589.

      3.2 考慮有交易費(fèi)和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格

      3.2.1 馬鋼權(quán)證的修正價(jià)格

      有交易費(fèi)用和支付紅利時(shí)的期權(quán)定價(jià)公式為:

      馬鋼權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù):S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,q=0.046,M=0.003

      又由上可得馬鋼權(quán)證的隱含波動(dòng)率為0.5136,則可計(jì)算σL=0.517

      那么可求得有交易費(fèi)用和紅利的馬鋼權(quán)證的修正價(jià)格為1.3836。

      3.2.2 云化權(quán)證的修正價(jià)格有交易費(fèi)用和紅利時(shí)的期權(quán)定價(jià)公式為:

      云化權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù)如下:

      S=22.62,X=17.83,T-t=2,r=0.0252,q=0.018,M=0.003,σ=0.6543,σL=0.6577

      則可得有交易費(fèi)用和紅利時(shí)的云化權(quán)證的修正價(jià)格為8.3104.

      3.3 結(jié)果分析

      馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的B-S理論價(jià)格與修正價(jià)格見表2與圖1、圖2。

      根據(jù)以上實(shí)證分析,我們將有交易費(fèi)用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格與經(jīng)典的B-S定價(jià)模型的結(jié)果進(jìn)行比較分析,結(jié)果如下:

      (1)從散點(diǎn)圖中我們可以看出,有交易費(fèi)用和連續(xù)支付的紅利存在時(shí)的權(quán)證價(jià)格比B-S理論價(jià)格偏低。

      (2)對(duì)于馬鋼權(quán)證來說,考慮交易費(fèi)用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格比經(jīng)典的B-S定價(jià)模型的權(quán)證價(jià)格降低了15.82%.

      (3)對(duì)于云化權(quán)證來說,考慮交易費(fèi)用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格比經(jīng)典的B-S定價(jià)模型的權(quán)證價(jià)格降低了6.19%。

      目前,我國(guó)權(quán)證市場(chǎng)中,交易費(fèi)用一般為千分之三,如果大客戶和券商協(xié)議降傭,那么交易費(fèi)用將更低,特別是在目前我國(guó)股市還沒有做空機(jī)制的情況下,不能無限次地進(jìn)行套期保值,所以就一次單邊交易而言,交易費(fèi)用通??梢院雎圆挥?jì)。

      [1]約翰·赫爾,張?zhí)諅プg.期權(quán)、期貨及其它衍生產(chǎn)品[M].北京:華夏出版社,1999.

      [2]姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

      [3]鄭曉迎,陳金賢.有交易成本的期權(quán)定價(jià)研究[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2000.

      [4]李春泉,劉新平.Black-Scholes模型期權(quán)定價(jià)方法及其應(yīng)用[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,23(4).

      F201

      A

      1002-6487(2011)07-0135-03

      陳溟(1972-),男,內(nèi)蒙古包頭人,碩士,副教授,研究方向:金融數(shù)學(xué)。

      (責(zé)任編輯/亦民)

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