k個(gè)矩陣的核子空間的和的維數(shù)

左可正， 謝 濤

（湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北黃石 435002）

k個(gè)矩陣的核子空間的和的維數(shù)

左可正， 謝 濤

（湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北黃石 435002）

利用齊次線(xiàn)性方程組的解的表達(dá)式及分塊矩陣的一個(gè)秩等式，得出了k個(gè)矩陣的核子空間的和的維數(shù)的一個(gè)公式，它推廣了維數(shù)公式.并給出了這個(gè)公式的幾個(gè)應(yīng)用.

核子空間；值域；秩；維數(shù)

1 引言及預(yù)備引理

本文恒設(shè)F是特征為0的域.用Fm×n表示F上的所有m×n矩陣組成的集合，F(xiàn)n表示F上的n維列線(xiàn)性空間.設(shè)A∈Fm×n，用r（A），R（A），N（A）和A－分別表示A的秩，值域，核子空間和廣義逆（AA－A＝A）.用I n表示n級(jí)的單位矩陣.用F［x］表示域F上的x的一元多項(xiàng)式環(huán).

在線(xiàn)性代數(shù)中，有一個(gè)下面眾所周知的維數(shù)公式：

其中V1，V2是域F上的有限維線(xiàn)性空間V的兩個(gè)子空間.

本文將公式（1.1）進(jìn)行了推廣，得出了

其中A1∈Fm1×n，A2∈Fm2×n，…，A k∈Fmk×n.并給出了這個(gè)公式的幾個(gè)應(yīng)用.

為了證明（1.2）式，需要下面的引理1與引理2.

為了給出公式（1.2）的幾個(gè)應(yīng)用，我們還需要下面的引理.這個(gè)引理的結(jié)論，本身給出了兩個(gè)有趣的秩等式.

引理3設(shè)

f1（x），f2（x），…，f k（x）是兩兩互質(zhì)的，A∈Fn×n，那么

證 先用數(shù)學(xué)歸納法證明（1.5）式.

當(dāng)k＝2時(shí)，因?yàn)閒1（x），f2（x）是互質(zhì)的，那么存在u（x），v（x）∈F［x］，使得

歸納假設(shè)k－1時(shí)（1.5）式成立，當(dāng)為k時(shí).由歸納假設(shè)及f1（x）f2（x）…f k－1（x）與f k（x）互質(zhì)，我們得出

由數(shù)學(xué)歸納法，（1.5）式成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1.6）式.

歸納假設(shè)k－1時(shí)（1.6）式成立.當(dāng)為k時(shí)，因?yàn)閒1（x），f2（x），…，f k（x）是兩兩互質(zhì)的，那么f1（x）與f2（x）f3（x）…f k（x）是互質(zhì)的.這樣存在u1（x），v1（x）∈F［x］，使得

由于

2 主要結(jié)果及其應(yīng)用

由（2.5）式和（2.6）式及推論2，得出

下面利用推論2及引理3，來(lái)給出兩個(gè)高等代數(shù)考研試題的證明.

例1（2007年大連理工大學(xué)高等代數(shù)考研試題） 設(shè)V1，V2是x1＋x2＋…＋x n＝0和x i－x i＋1＝0，i＝1，2，…，n－1的解空間.證明：

［1］Ben－Israel A，Greville T N G.Generalized inverses：Theory and Applications［M］.2nd.New York：Springer，2003.

［2］Marsaglia G，Styan G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices［J］，Linear and Multilinear Algebra，1974（2）：269－292.

［3］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)［M］.北京：高等教肓出版社，2003.

The Dimension of the Sun of Nullspaces of k Matrices

ZUOKe－zheng，XIETao
（Department of Math of Hubei Normal University，Huangshi，Hubei，435002，China）

By using the expression of the solution of some homogeneous linear equations and a rank equlity of partitioned matrices，a formular of the dimension of the sun of nullspaces ofkmatrices is obtained，which generalized dimension formular，and some applications of the formular are given.

nullspace；range；rank；dimension

O151.21

A

1672－1454（2011）04－0128－05

2008－12－04

湖北師范學(xué)院教研項(xiàng)目（21）