劉科利，姚吉利

(山東理工大學建筑工程學院，山東淄博255049)

工程坐標與國家坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)選擇與轉(zhuǎn)換精度的關(guān)系研究

劉科利，姚吉利

(山東理工大學建筑工程學院，山東淄博255049)

不同國家或地區(qū)在不同的歷史時期采用的是不同的坐標系，因此存在著國家坐標和地方坐標之間的坐標轉(zhuǎn)換。為了綜合利用測繪成果，工程坐標與國家坐標進行相互轉(zhuǎn)換是必要的。基于高斯平面的工程坐標與國家坐標轉(zhuǎn)換模型，廣泛采用相似變換。通過選擇不同的相似變換參數(shù)，提出無需列誤差方程和法方程即能得到轉(zhuǎn)換參數(shù)最小二乘解的重心化模型，并推導出根據(jù)重心化參數(shù)計算有明確幾何意義參數(shù)的公式。通過實例計算，證明該模型是正確、可靠的。

工程坐標;國家坐標;轉(zhuǎn)換參數(shù);形式參數(shù);重心化

一、引 言

坐標轉(zhuǎn)換分為二維坐標轉(zhuǎn)換和三維坐標轉(zhuǎn)換，由于一般工程的范圍不大，經(jīng)常采用二維坐標轉(zhuǎn)換，也稱為平面坐標轉(zhuǎn)換。但有些現(xiàn)代大型工程規(guī)模有幾十千米，甚至上百千米，起點至終點高差達幾十米，甚至幾百米，須選擇具有高程抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標系統(tǒng)，僅進行二維坐標轉(zhuǎn)換是不夠的，必須進行三維坐標轉(zhuǎn)換。文獻［1］從極坐標和直角坐標的不同表達出發(fā)，導出了平面坐標的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換，進而建立了平移、縮放、旋轉(zhuǎn)同時作用的平面直角坐標轉(zhuǎn)換和逆變換的模型。文獻［2］通過兩個坐標系坐標軸的幾何關(guān)系，建立了平面坐標變換和逆變換的數(shù)學模型。文獻［3］將羅德里格矩陣和反對稱矩陣引入平面坐標轉(zhuǎn)換模型，并將轉(zhuǎn)換參數(shù)直接計算分為3步進行，且只用加減乘除計算轉(zhuǎn)換矩陣，建立了兩個坐標系統(tǒng)下坐標都有誤差的平差模型，坐標轉(zhuǎn)換理論比較完善，但存在如下問題:①以上文獻都是建立在相似變換基礎(chǔ)上進行的研究，部分參數(shù)的幾何意義不明確，如文獻［1-2］中的旋轉(zhuǎn)角不明確;② 一套轉(zhuǎn)換參數(shù)在使用上不方便，坐標轉(zhuǎn)換是相互的，實用上最少應(yīng)有兩套轉(zhuǎn)換參數(shù)，如計算出國家坐標轉(zhuǎn)換到工程坐標的4個參數(shù)，還要計算出工程坐標轉(zhuǎn)換到國家坐標的4個參數(shù);③ 為了消除模型病態(tài)，解算的參數(shù)失去原來的幾何意義，如文獻［4］。本文針對上述3個問題，闡述了不同參數(shù)的幾何意義，并推導出一套完整的參數(shù)關(guān)系公式，在實用上更加方便。

二、坐標轉(zhuǎn)換模型及參數(shù)計算

1.坐標轉(zhuǎn)換模型和參數(shù)幾何意義

如圖1所示，設(shè)某點國家坐標為(XP，YP)，工程坐標為(xP，yP)，則坐標轉(zhuǎn)換模型為［1-3］

圖1 坐標轉(zhuǎn)換模型中各符號的意義

此式是非線性的，轉(zhuǎn)換參數(shù)a、b稱為平移參數(shù)，其幾何意義是經(jīng)過工程坐標系原點在國家坐標系的坐標;λ稱為尺度參數(shù)，幾何意義為相似比;α幾何意義是工程坐標的x軸在國家坐標系的方位角。為了模型解算的方便，式(1)線性化形式可表示為

式中，a0、b0、c和d被稱作形式參數(shù)，沒有任何的幾何意義，與轉(zhuǎn)換參數(shù)的關(guān)系為

2.由兩個公共點坐標計算轉(zhuǎn)換參數(shù)

(1)按幾何意義計算轉(zhuǎn)換參數(shù)

先計算形式參數(shù)a0、b0、c和d。所謂公共點，就是兩個坐標系均知道的點。按式(1)一個公共點可列2個方程，當兩個坐標系有2對公共點時，4個參數(shù)便可唯一解出，根據(jù)平面轉(zhuǎn)換的幾何意義直接得到

(2)由形式參數(shù)計算轉(zhuǎn)換參數(shù)

由式(2)得到2個公共點的方程

用式(5)中第3式減去第1式，第4式減去第2式，得

解出c、d

從而確定a0、b0

按式(3)解算出轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3.由國家坐標轉(zhuǎn)換到工程坐標的4個參數(shù)的計算

由式(1)可得

展開后

設(shè)由國家坐標轉(zhuǎn)換到工程坐標的4個參數(shù)為u、v、m和β，標準形式為

對照式(8)和式(9)，國家坐標轉(zhuǎn)換到工程坐標的4個參數(shù)u、v、m、β和a、b、λ、α的關(guān)系為

4.坐標轉(zhuǎn)換平差模型中參數(shù)的計算

為了提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度和防止錯誤的發(fā)生，公共點的個數(shù)應(yīng)多于2個，此時要進行最小二乘平差計算。因為式(1)不利于平差計算，所以選擇線性化的式(2)進行平差計算，文獻［4］給出了一種簡便算法，可計算參數(shù)和對其精度進行評定，但按式(2)用原坐標建立的法方程是病態(tài)的，通常用重心化坐標計算［5］，其步驟如下:

1)不列誤差方程和法方程，只計算重心坐標之間的總和，即可直接計算形式參數(shù)。

2)計算轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3)精度檢驗。

所謂坐標重心化，就是把兩個坐標系下的坐標平移到平差所用公共點平均坐標上的過程，重心化后形式參數(shù)的前兩個為0，設(shè)重心化坐標為 ()和，重心坐標為(Xg，Yg)和(xg，yg)，則

式中，n為參與平差公共點的個數(shù)，i=1，2，…，n;

由式(2)得到的法方程為

解得

進而由式(3)算得λ、α。重心化下坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系為

將式(11)代入，得

平移參數(shù)為

三、算例分析

筆者將本文所提出的簡便算法應(yīng)用于淄博市的工程坐標系與1980西安坐標系之間的轉(zhuǎn)換，并進行了驗證，取得了非常好的效果。該相互轉(zhuǎn)換的坐標系有6個公共點，其坐標如表1所示，其中前4個點用于轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算，后兩個點用于精度檢驗。

表1 1980西安坐標和工程坐標 m

按本文模型解算參數(shù):a=－49.428 6，b=－4.164 9，λ=0.999 999 528 894 81，α=－2.570 7″用這4個參數(shù)計算得到的5點和6點的國家坐標見表2，差值見表2的6、7列，可見參數(shù)計算是正確的。

表2 計算坐標和原坐標比較m

四、結(jié)束語

本文系統(tǒng)闡述了工程坐標與國家坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)、形式參數(shù)及重心化參數(shù)之關(guān)系，并對轉(zhuǎn)換參數(shù)的幾何意義進行了圖文解釋。首次提出了不用列誤差方程和法方程，就能得到轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解的重心化模型，并推導出根據(jù)重心化參數(shù)計算有明確幾何意義的參數(shù)的公式。通過實例計算，說明本文模型是正確的，并且該模型簡單明了，程序編寫非常簡單，計算量小，能在Excel表中實現(xiàn)所有計算。

［1］ MOFFITT F H，MIKHAIL E M.Photogrammetry［M］.New York:Happer＆Row Publishers，1980:589-593.

［2］ WOLF P R，GHILANI C D.Adjustment Computations［M］.［S.l.］:John＆Sons INC，1997:335-342.

［3］ 姚吉利，王艷.基于羅德里格矩陣的平面坐標轉(zhuǎn)換模型的建立［J］.金屬礦山，2005(11):40-42.

［4］ 姚宜斌.平面坐標系統(tǒng)相互轉(zhuǎn)換的一種簡便算法［J］.測繪信息與工程，2001(1):1-3.

［5］ 李德仁.基礎(chǔ)攝影測量學［M］.北京:測繪出版社，1995.

On Relationship between Convertion Accuracy and Selection of Transformation Parameters of Engineering Coordinate and State Coordinate

LIU Keli，YAO Jili

0494-0911(2011)11-0050-03

P282.2

B

2010-11-15

劉科利(1966—)，男，山東濰坊人，實驗師，主要研究方向為測量數(shù)據(jù)處理。